- •Міністерство освіти і науки України
- •Ббк 22.1я73
- •Правила оформлення контрольної роботи:
- •Основні питання програми
- •Модуль 1 Системи рівнянь, вектори та аналітична геометрія
- •1.1. Визначники, матриці, розв’язання систем лінійних рівнянь
- •1.2. Елементи векторної алгебри
- •1.3. Пряма на площині
- •1.4. Криві другого порядку
- •1.5. Площина та пряма в просторі
- •Модуль 2 вступ в математичний аналіз
- •2.1. Розкриття невизначеностей, і і іі визначні границі
- •2.2. Диференціальне числення функцій однієї змінної
- •Основні правила диференціювання:
- •2.3. Застосування похідних для дослідження функцій
- •2.4. Похідні в механіці
- •2.5. Диференціальне числення функцій декількох змінних
- •Модуль 3 нЕвизначений і визначений інтеграли
- •3.1. Основні методи інтегрування
- •Основні властивості невизначеного та визначеного інтегралів:
- •3.2. Невласні інтеграли
- •3.3. Застосування визначених інтегралів
- •Модуль 4 диференціальні рівняння
- •4.1. Розв’язання диференціальних рівнянь деяких типів
- •Модуль 5 кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли
- •5.1. Подвійні, потрійні інтеграли та їх застосування
- •5.2. Криволінійні інтеграли
- •Модуль 6 числові і степеневі ряди
- •6.1. Числові ряди
- •Ознака Даламбера. Якщо для знакододатного ряду існує
- •6.2. Степеневі ряди
- •Модуль 7 комплексні числа. Елементи теорії функцій комплексної змінної
- •7.1. Комплексні числа
- •7.2. Обчислення значень елементарних функцій
- •Модуль 8. Теорія ймовірностей і елементи математичної статистики
- •8.1. Основні поняття і теореми теорії ймовірностей
- •8.2. Дискретні випадкові величини
- •8.3. Неперервні випадкові величини
- •8.4. Біноміальний та пуассонів закони розподілу
- •8.5. Нормальний, рівномірний та показниковий закони
- •Числові характеристики: , . (8.5.7)
- •8.6. Елементи математичної статистики
- •Контрольна робота № 1 Модуль 1. Системи рівнянь, вектори та аналітична геометрія
- •Модуль 2. Вступ в математичний аналіз
- •Модуль 3. Невизначений і визначений інтеграли
- •Модуль 4. Диференціальні рівняння
- •Контрольна робота № 2 Модуль 5. Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли
- •Модуль 6. Числові і степеневі ряди
- •Література
- •Таблиця значень функції Гаусса
- •Продовження додатка а Таблиця значень функції Гаусса
- •Додаток б Таблиця значень функції Лапласа
- •Продовження додатка б Таблиця значень функції Лапласа
- •Додаток в Значення (розподіл Пуассона)
- •Продовження додатка в Значення (розподіл Пуассона)
2.1. Розкриття невизначеностей, і і іі визначні границі
Обчислення границь базується на таких основних теоремах:
Якщо існують і, то:
, (2.1.1)
, (2.1.2)
, (2.1.3)
. (2.1.4)
Перша визначна границя:
. (2.1.5)
Друга визначна границя:
. (2.1.6)
; , (‑стала величина). (2.1.7)
Для всіх неперервних функцій
. (2.1.8)
Слід пам'ятати, що (для ):
, якщо ;, якщо.
Щодо техніки обчислення границь, слід відзначити, що в найпростіших випадках знаходження границі зводиться до підстановки у вираз під знаком границі граничного значення аргументу. Але часто така підстановка призводить до невизначених виразів виду Знаходження границь у цих випадках називається розкриттям невизначеності.
Наприлад, якщо невизначеність з’явиться, коли в чисельнику (знаменнику) є ірраціональний вираз, тоді треба позбутися ірраціональність у чисельнику (знаменнику) шляхом помноження на "спряжений" вираз.
Невизначеність виду при наявності тригонометричних функцій розкривається за допомогою першої визначної границі та часто вимагає попередніх тотожних перетворень (наприклад, за допомогою формул:,,,).
Друга визначна границя розкриває невизначеність . Наслідками (2.1.6) є вирази:
, . (2.1.9)
Приклад 2.1.1. Знайти границі: 1) , 2) , 3) .
Розв’язання. 1) Маємо невизначеність . Винесемо в чисельнику і знаменнику старший ступінь змінної і скоротимо:
(тому, що ,).
Аналогічно,
2) ;
3) .
Приклад 2.1.2. Обчислити .
Розв’язання. В даному випадку користуватися формулою (2.1.3) не можна, тому що границя знаменника дорівнює нулеві. Безпосередня же підстановка у вираз під знаком границі граничного значення аргументу приводить до невизначеності .
Розкладемо на множники чисельник і знаменник. (Зауважимо, що , якщо‑ корені). Коренями квадратного рівнянняє,, значить.
Отже, за рахунок розкладання на множники і скорочення, позбавляємось невизначеності, після чого в результаті підстановки в отриманий вираз маємо
.
Приклад 2.1.3. Обчислити 1) ,2) .
Розв’язання. 1) Підстановка у вираз (під знаком границі) значенняприводить до невизначеності. Для її розкриття помножимо чисельник і знаменник на вираз, що "спряжений" з чисельником (користуючись формулою скороченного множення). Після цього скоротимо наі одержимо:
.
2) У випадку маємо невизначеність. Помноження і ділення виразу під знаком границі на "спряжений" з ним виразз урахуванням (2.1.7)) дає:
.
Приклад 2.1.4. Знайти границі: 1) ,2) , 3) .
Розв’язання. Враховуючи, що ,, за допомогою формул тригонометрії, властивості (2.1.2) та першої визначної (2.1.5) маємо:
1)
,
2) ,
3) .
Приклад 2.1.5. Знайти границі: 1) , 2) .
Розв’язання. Маємо невизначеність , яка розкривається за допомогою другої визначної границі (2.1.6).
1)
(відповідь у данному випадку можна було отримати безпосередньо за (2.1.9)).
2)
Зауважимо, що приклади 2.1.1 – 2.1.5 відповідають завданню 2.1 контрольної роботи.
Література: [1, с. 93 ‑ 125], [2, с. 101 ‑ 134], [3, с. 172 – 208, 247 ‑ 264], [7].