Tom_2

проверить нулевую гипотезу о том, что математическое ожидание генеральной совокупности равно некоторому числу a0 , т.е. гипотезу

H0 : a = a0 .

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема n и по ней найдена выборочная средняя x . Задача состоит в том, чтобы по выборочной средней при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H0 : a = a0 при альтернативной гипотезе H1 : a ¹ a0 .

В качестве статистического критерия возьмем нормально

F(uα ) = 1-2α ,

Ф(t) – функция Лапласа.

Область отклонения гипотезы будет такой:

Z Î(-¥;-uα )È (uα ;+¥) .

Если значение

Z = xσ- a n

удовлетворяет неравенствам (5), то гипотезу H0 : a = a0 принимают; в противном случае ее отклоняют и принимают гипотезу H1 : a ¹ a0 .

При использовании статистики (4) для проверки нулевой гипотезы

Критическая область значений статистики Z будет

правосторонней, Z Î(u2α ;+¥).

464

Если же статистика Z проверки гипотезы H0 : a = a0 при альтернативной гипотезе H1 : a < a0 , то область принятия гипотезы H0 задается неравенством

Z> -u2α

икритическая область значений статистики Z будет левосторонней,

Z Î(-¥;-u2α ) .

Заметим, что принятие гипотезы H0 не означает, что она является единственно подходящей. Это означает лишь, что гипотеза H0 не противоречит выборочным данным. Естественно, что наряду с H0 могут существовать и другие гипотезы.

Пример 2. На станке изготавливаются детали с номинальным контролируемым размером 14 мм. Известно, что распределение контролируемого размера является нормальным с параметрами a = 14 мм и σ = 0,5 мм. В течение суток было отобрано 90 деталей и сделаны замеры контролируемого параметра, средний размер которого оказался x =14,3 . Можно ли считать, что станок изготавливает детали увеличенного размера с уровнем значимости 0,05?

Решение. Из условия следует, что необходимо проверить

Далее найдем значение u2α при α = 0,05 . По табл. П2 находим,

что u2α = 1,64 .

Так как в результате имеем, что Z > u2α , то статистика Z попала

в критическую область, и, следовательно, нулевую гипотезу отвергаем. Это означает, что с вероятностью ошибки меньшей, чем 0,05, можно утверждать, что контролируемый размер деталей является

завышенным по сравнению с номинальным размером. □

30.2. Пусть теперь генеральная совокупность распределена по нормальному закону и значение дисперсии неизвестно. Требуется

где s2 – исправленная статистическая дисперсия выборки, n – объем выборки, x – среднее значение выборки. Величина T здесь распределена

465

по закону Стьюдента с ν = n −1 степенями свободы и имеет функцию распределения Fν (t) . Критическая область здесь определяется неравенством

где величина tα ,ν определяется из уравнения

P{T > tα ,ν } = α ,

α– уровень значимости. Значение tα ,ν находится по табл. П3.

Пример 3. Техническая норма предусматривает на выполнение некоторой операции на конвейере 30 с. Поступила жалоба от рабочих, что они затрачивают больше времени на эту операцию. ОТК произвел хронометраж у 16 рабочих и получил следующие результаты (табл. 1).

Можно ли по имеющимся хронометрическим данным при уровне значимости 0,02 отклонить предположение, что действительное среднее время исполнения операции соответствует норме?

Решение. Нулевая гипотеза здесь есть H0 : a = 30 , альтернативная – H1 : a ¹ 30 . Для проверки гипотезы H0 необходимо

вычислить по элементам выборки объема n = 16 значение статистики T (см. (7)). Будем предполагать, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону. По данным табл. 1 находим среднее значение выборки x и исправленную статистическую

Задания для самостоятельной работы

466

6.Из партии в 10 000 электрических лампочек отобрано случайно 200 лампочек. Срок службы лампочек в генеральной и выборочной совокупности дан в следующих таблицах, соответственно.

Найти генеральные и выборочные средние, дисперсии, средние квадратичные отклонения, а также среднюю и предельную ошибки выборки.

7.Из генеральной совокупности с нормальным распределением извлечена выборка с объемом n = 10 (см. табл.).

Найти доверительный интервал для математического ожидания

с доверительной вероятностью γ = 0,99, если σ 2 = 4.

8.Какой должен быть объем бесповторной выборки для определения среднего возраста 1000 мужчин, если дисперсия не превышает 16, а доверительная вероятность равна 0,95. Ошибка в определении возраста не должна превышать одного года.

9.Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n и результаты наблюдений сведены в интервальный вариационный

9.1.На станции технического обслуживания автомобилей исследовались затраты времени на ремонт карбюратора. Были зафиксированы следующие результаты:

9.2. Даны результаты испытания стойкости 100 сверл:

468

9.3.Получены следующие значения (в %) содержания фосфора в 100 чугунных образцах

10. Даны результаты исследования 100 напыленных образцов на прочность напыленного слоя:

Предполагая, что величина прочности распределена по нормальному закону N(a,σ ) , найти точечные оценки

параметров a, σ и записать гипотетическую функцию распределения F (x).

С помощью критерия χ 2 Пирсона проверить гипотезу о согласии

выборочного распределения с законом нормального распределения при уровне значимости α = 0,05 .

11.При продолжительном наблюдении за весом X пакетов орешков, заполняемых автоматически, установлено, что стандартное отклонение веса пакетов σ = 10 г. Взвешено 25 пакетов, при этом

утверждение неверно, то станок-автомат требует подналадки.

12.Исследовалось время безотказной работы бытовых автоматических стиральных машин, для которых гарантийный срок 150 дней. Для этого фиксировалось время (в днях) с момента продажи до момента первого обращения покупателя в мастерскую по обслуживанию. Были зафиксированы следующие результаты:

Можно ли по имеющимся данным при уровне значимости 0,02 отклонить предположение, что действительное среднее время безотказной работы стиральной машины соответствует гарантийному сроку?

ГЛАВА 13

469

Условной средней Y x = M (Y X = x) называется среднее значение случайной величины Y при X = x . Поскольку каждому значению х

соответствует одно значение условного среднего, то есть Y x = f (x)

является функцией от х, то можно сказать, что случайная величина Y зависит от случайной величины X корреляционно.

Корреляционной зависимостью Y от Х называется

функциональная зависимость условной средней Y x от х.

Уравнение y = f (x) называется уравнением регрессии Y на X.

Функция f (x) называется регрессией Y на X, а ее график – линией регрессии случайной величины Y на случайную величину X.

Аналогично определяются условное среднее X y = M (X Y = y),

корреляционная зависимость X от Y и функция регрессии ϕ( y) = X y

случайной величины X на Y.

Например, корреляционная зависимость имеется: а) между ростом и весом человека – с увеличением роста средний вес также возрастает; б) между надежностью автомобиля и его возрастом – чем больше возраст, тем меньше надежность.

Одна из случайных величин, зависимость между которыми анализируется, обычно называется фактором, а другая считается зависимой от этого фактора. Скажем, возраст автомобиля – фактор его н а д е ж н о с т и .

Основными задачами теории корреляции являются:

1.Установление формы корреляционной связи, то есть вида функции регрессии (линейная, квадратичная, показательная и т.д.);

2.Оценка тесноты корреляционной связи. Теснота корреляционной связи Y от X оценивается величиной рассеивания

значений Y около Y x . Большое рассеивание означает слабую

зависимость Y от X либо отсутствие зависимости. Малое рассеивание указывает на существование достаточно сильной зависимости.

Важной в приложениях является ситуация, когда обе функции регрессии f (x) и ϕ(y) являются линейными. Тогда говорят, что

случайные величины X, Y связаны линейной корреляционной зависимостью (линейной корреляцией). Так будет, если система (X ,Y )

имеет совместное нормальное распределение (см. п. 10.10.20).

471

20. Корреляционное отношение. Такое отношение является показателем степени статистической зависимости. Пусть случайная величина Y зависит в основном от фактора X и некоторого остаточного (небольшого по величине) фактора в виде случайной величины ε, которая влияет на Y, но не на X. Характеристикой общей изменчивости значений случайной величины Y является ее дисперсия

D(Y ) = M ([Y − aY ]2 ) , где aY = M (Y ) . В эту величину вносят свой вклад и фактор X и остаток ε. Рассмотрим их вклад. Для избежания

громоздких обозначений далее будем обозначать через Z результат усреднения случайной величины Z, т.е. ее математическое ожидание.

групповых центров относительно общего центра определяет

показывает, какая доля вариации значений случайной величины Y обусловлена вариацией значений фактора X, и называется

корреляционным отношением.

Для корреляционного отношения справедливы следующие утверждения:

1) 0 ≤ηY X ≤ 1;

472

2) условие ηY X = 1 необходимо и достаточно для однозначной функциональной зависимости Y от X.

Действительно, при ηY X = 1 имеем D(Y,ост.) = D(Y X ) = 0 ,

а так как D(Y x)³ 0 , то отсюда следует, что D(Y x) = 0 при всяком x.

Последнее означает, что Y есть константа при всяком значении фактора X, т.е. Y есть функция от X.

Наоборот, если Y есть функция от X, то D(Y x) = 0 при всяком x,

а тогда D(Y X ) = 0 и, значит, ηY X = 1;

3) условие ηY X = 0 необходимо и достаточно для отсутствия

регрессионной зависимости Y от X.

Действительно, если ηY X = 0 , то D(Y,факт.) = 0 Þ M (Y x)= M(Y) .

Поэтому M (Y x) есть константа при любом x и, значит, нет

регрессионной зависимости Y от X. Обратное очевидно;

4) чем ближе ηY X к единице, тем ближе статистическая

зависимость Y от X к однозначной функциональной, и наоборот, чем ближе зависимость Y от X к однозначной функциональной, тем

ближе ηY X к единице.

Пример 1. Система случайных величин (X ,Y ) имеет таблицу распределения

Найти коэффициент детерминации и корреляционное отношение между X и Y.

Решение. Находим ряд распределения Y, M (Y ) и D(Y ) :

Найдем условные законы распределения:

473