Tom_2

Решение. Найдем M (XY ) . Для этого переберем все клетки

таблицы, перемножим значения компонент X, Y и вероятности, записанные в этих клетках, и все эти произведения сложим.

Тогда M (XY) = 0 + 0 + 0 + (-1) ×0,2 + 0 +1×0,1 = -0,1. Значит, KXY = M (XY ) - mX mY = -0,1- 0,16 = -0,26 .

Пусть exp(u) = eu . Закон распределения системы непрерывных

распределения, вероятностный смысл которых ясен из обозначений.

Более точно, X Î N(mX ,sX ), Y Î N (mY ,sY ) , т.е. случайные величины X ,Y , входящие в систему, также имеют нормальное распределение.

Справедливо следующее утверждение.

Вслучае нормального распределения системы (X ,Y )

зависимостью, поэтому значение коэффициента корреляции rXY есть

мера линейной зависимости нормально распределенных на плоскости случайных величин X, Y.

30. Функции случайных величин. Пусть X – случайная величина, а y = ϕ(x) – обычная функция, область определения

которой содержит множество значений случайной величины X. Тогда Y = ϕ(X ) – случайная величина, являющаяся функцией от случайной

величины X, которая свои значения y принимает так: y = ϕ(x) , где x – какое-то значение, принятое в ходе опыта случайной величиной X.

394

Говорят также, что X есть аргумент функционально зависимой случайной величины Y.

Возникает задача: как, зная распределение случайного аргумента X, определить закон распределения функции Y = ϕ(X ) ? Если X –

дискретная случайная величина, то это сделать нетрудно; а если X – непрерывная случайная величина, то это сложнее, и на этот счет справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть X – непрерывная случайная величина с плотностью распределения f (x) , а ϕ(x) – монотонная

дифференцируемая функция; тогда плотность распределения случайной величины Y = ϕ(X ) есть

g ( y) = f (ψ ( y))ψ ′( y) ,

где ψ ( y) – функция, обратная к ϕ.

Математическое ожидание случайной величины Y = ϕ(X ) находится так: MY = åϕ (xi ) pi , если случайная величина X

i

+∞

дискретна; MY = ò ϕ (x) f (x)dx , если X непрерывна и ее плотность

−∞

последующей заменой переменной ψ ( y) = x .

Пример 3. За каждый процент перевыполнения плана полагается 40 тыс. руб., а за каждый процент недовыполнения заработок

Каков ожидаемый размер премии, если известно, что план выполнен?

Решение. Найдем ожидаемый размер премии Y. Это есть функция от процента выполнения плана. К прогнозу выполнения плана снизу пристраиваем еще одну строку значений Y (тыс. руб.).

395

Следовательно, случайные величины X , Y некоррелированы, будучи связанными функциональной зависимостью.

Задания для самостоятельной работы

1.Трое товарищей садятся в лифт 9-этажного дома. Какова вероятность того, что они выйдут на разных этажах?

2.За круглым столом рассаживаются 12 человек, среди которых 6 мужчин и 6 женщин. Какова вероятность того, что за столом мужчины будут чередоваться с женщинами?

3.В партии из 100 изделий содержится 12 бракованных. Наугад выбираются 3 изделия. Какова вероятность того, что среди них окажется одно бракованное?

4.Цена единицы продукта первого вида колеблется на рынке в пределах 1,5 – 2 у.е., а второго вида – в пределах 3 – 5 у.е. Покупатель желает приобрести два вида продуктов. Какова вероятность того, что ему придется платить не более 6 у.е.?

5.Игрок в спортлото 6 из 36 выигрывает, если при зачеркивании 6 клеток из 36, имеющихся в карточке, он угадывает 3, 4, 5 или 6 номеров. Найти вероятность выигрыша одной отмеченной карточки.

6.Из колоды в 36 карт вытаскиваются 2 карты. Какова вероятность того, что первая будет черной масти, а вторая – красной?

7.Студент знает 25 из 30 вопросов первой части предмета и 20 из 30 второй части. На экзамене были заданы два вопроса из первой части

иодин вопрос из второй. Какова вероятность того, что он ответит на все вопросы?

396

8.Производится залп двумя ракетами, каждая из которых поражает цель с вероятностью 0,9. Найти вероятность поражения цели.

9.Имеется n = 5 испытаний Бернулли с вероятностью успеха p = 34 .

Найти вероятность того, что число успехов будет больше числа неуспехов.

10.Всхожесть семян данного сорта растений оценивается вероятностью 0,8. Какова вероятность, что из 5 посеянных семян взойдут не менее 3?

11.В магазин поступили 40 холодильников первого завода и 60 – второго завода. Первый завод допускает брака 1 %, второй – 0,5 %. Покупатель случайным образом выбирает холодильник. Какова вероятность того, что он выберет исправный агрегат?

12.В результате трех бросаний игральной кости была получена сумма цифр, равная 17. Какова вероятность того, что при последнем бросании выпала цифра 6?

13.Прибор состоит из двух узлов, которые в течение времени T отказывают с вероятностями p1 = 0,1 , p2 = 0,05 . Работа каждого узла необходима для работы прибора в целом. После испытаний в течение времени T прибор отказал. Найти вероятность того, что отказал первый узел, а второй исправен.

14.В разыгрываемой лотерее из 40 билетов имеется 5 выигрышных. Найти функцию распределения для числа выигрышных билетов из 5 купленных.

15.Имеются 4 заготовки для одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали из каждой заготовки равна 0,9. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа заготовок, оставшихся после изготовления первой годной детали.

16.Стрелок стреляет 3 раза по мишени в виде круга радиуса R, и все пули попадают в мишень. Считая, что точки поражения могут оказаться в любых точках круга, найти функцию распределения величины ρ – расстояния от центра круга до ближайшей точки поражения.

17.Дана функция распределения случайной величины X:

Найти коэффициент a и плотность вероятностей случайной величины X.

397

18.Из партии в 20 изделий, среди которых имеются 5 нестандартных, выбирают случайным образом для проверки их качества 3 изделия. Найти математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение для случайной величины X нестандартных изделий, содержащихся в выборке.

19.Автомобиль проезжает подряд три светофора, дающие независимо друг от друга зеленый сигнал в течение 1,5 мин и красный в течение 1,2 мин. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение случайной величины X числа остановок автомобиля.

20.Непрерывная случайная величина X имеет функцию распределения

Найти параметры a и b, MX и DX.

21.В цехе имеются 6 одинаковых станков, коэффициент использования каждого из которых равен 0,7. Найти вероятность того, что в некоторый момент работают 3 станка.

22.Среднее число вызовов на АТС за время t = 5 мин равно 30. Найти вероятность того, что за 1 мин поступит не более двух вызовов.

23.На остановке человек ожидает автобус. Для поездки ему подходят 2 маршрута, интервал движения автобусов одного маршрута – 30 мин, а второго –15 мин. Какова вероятность, что его время ожидания не превосходит 5 мин?

24.Для зерноуборочного комплекса момент отказа считается распределенным по показательному закону. В технической документации устанавливается норма надежности: в 90% случаях отказ не должен происходить в течение 80 часов работы. Найти среднее время безотказной работы и функцию надежности комплекса.

25.Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами 1; 0,5. Найти вероятности P{ X > 0} , P{0 £ X < 2} .

26.Нагрузка на вал двигателя распределена по нормальному закону с параметрами a = 450, σ = 30 . Найти пределы, в которых изменяется нагрузка с вероятностью 0,9.

27.Случайная величина X > 0 распределена по логарифмически нормальному закону, если ее логарифм есть нормальная случайная величина, т.е. ln X Î N (a,b) . Найти MX, DX.

398

28. Диаметр изготавливаемой станком-автоматом детали имеет нормальное распределение: a = 4,5 см и σ = 0,05 см. Найти

вероятность того, что диаметр взятой наугад детали отличается от среднего значения не более чем на 1 мм.

29.Число телевизоров повышенного качества составляет в среднем 40 % общего их выпуска. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что в партии из 500 телевизоров доля повышенных по качеству отличается от средней не более чем на 0,06.

30.Вероятность изготовления детали размеров в пределах допуска (номинала) равна 0,85. Найти вероятность того, что из 100 деталей половина окажется в номинале.

31.В порту каждые сутки с вероятностью p = 301 может появиться одно большегрузное судно. Вероятность появления более одного судна мала. Найти вероятность того, что за месяц (30 дней) порт посетят не более 5 судов.

32.Найти вероятность того, что при 900 бросаниях монеты число гербов будет менее 450.

33.Посажено 100 семян растения, каждое из которых всходит с вероятностью 0,7. В каких пределах заключено число семян, дающих всходы с вероятностью 0,99?

34.При массовом производстве продукции 5 % выходит в брак. Сколько изделий нужно отобрать, чтобы с вероятностью 0,99 можно было утверждать, что среди них доля брака отличается от 5 % не более чем на 1 %?

35.Каждый десятый проданный телевизор возвращают обратно в магазин. За прошедший месяц было продано примерно 1000 телевизоров. Найти вероятность того, что возвращено будет не менее 70 телевизоров.

36.Дана таблица, определяющая закон распределения системы двух случайных величин (X ,Y )

Найти: 1) коэффициент λ; 2) математические ожидания mX и mY ; 3) дисперсии σ X2 и σY2 ; 4) коэффициент корреляции rXY .

399

37. Дана случайная величина X с рядом распределения

математические ожидания и дисперсии этих случайных величин; построить графики их функций распределения.

400

ГЛАВА 11

ОСНОВЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ (СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ)

§ 1. Основные определения. Характеристики случайных функций

Обобщением понятия случайной величины является случайная функция, значение которой в каждый момент времени является случайной величиной.

10. Случайная функция, реализация, сечение. В предыдущем разделе рассматривались случайные величины, то есть величины, которые в результате опыта принимают то или иное значение, но неизвестно, какое именно. Такой подход к изучению случайных явлений в ряде практических задач является недостаточным. На практике часто приходится иметь дело со случайными величинами, которые непрерывно изменяются при проведении опыта. Примерами таких величин могут быть: ошибка радиодальномера при непрерывном измерении изменяющейся дальности, отклонение траектории управляемого летательного аппарата от теоретической в процессе управления, изменение динамической нагрузки на валах и звеньях транспортной машины и т.д. Изучением подобных случайных явлений занимается специальный раздел теории вероятностей – теория случайных функций (иначе – теория случайных процессов). Случайная функция – такая функция, которая в результате опыта принимает тот или иной вид, но заранее неизвестно, какой именно.

Случайная функция − это любая функция X , определенная на

T = . Конкретный вид, который принимает случайная функция в результате опыта, называется реализацией случайной функции (рис.1).

401

Примеры случайных функций: микропрофиль дороги, как функция пути; колебания кузова автомобиля при движении по дороге; колебания силового агрегата при движении автомобиля; угол крена судна; высота полета самолета, управляемого автопилотом, и т.д.

Условимся обозначать случайные функции большими буквами латинского алфавита: X (t), Y (t), Z(t) и т.д., а соответствующие им

реализации маленькими буквами: x(t), y(t), z(t) и т.д. Аргументом

случайной функции может быть не только время, но и другая величина. Например, случайная функция, которая является атмосферным давлением или температурой воздуха, зависит от высоты над поверхностью земли. Существуют случайные функции, которые зависят от нескольких аргументов. Например, случайные функции – характеристики атмосферы

– зависят от 4 аргументов (координат (x; y; z) точки на местности и в р е м е н и t ) .

Сечением будем называть значение случайной функции при конкретном значении аргумента t . Например, сечением случайной

X (t1) = X (t1,ω), ω Ω .

Например, случайным процессом будут гармонические

значении t = t0 – случайная величина X (t0 ) = ξ sin(ωt0 + ε ) .

20. Законы распределения случайных функций. Как отмечалось выше, при каждом фиксированном значении аргумента t значение случайной функции является случайной величиной. Если придавать

402

аргументу t разные значения, то получим разные значения случайной функции, которые порождают систему случайных величин. Значит, случайную функцию можно рассматривать как обобщение системы n случайных величин в случае, если число n будет большим (n → ∞) .

В связи с этим, полной вероятностной характеристикой случайной функции при заданном значении аргумента t является закон распределения случайной величины X (t) . Этот закон, называемый

одномерным законом распределения случайной функции X (t) , можно задать плотностью распределения сечения X (t1 ) : f1 = f1 (x1, t1 ) ,

x1 Î .

Двумерным законом распределения случайной функции X (t)

называется совместный закон распределения ее сечений X (t1) , X (t2 ) при двух произвольно взятых значениях аргумента t1 и t2 :

где f2 – плотность распределения системы ( X (t1), X (t2 )) .

Соответственно, n-мерным законом распределения случайной

где fn – плотность распределения системы (X (t1),..., X (tn )) .

Покажем, что по известной двумерной плотности (1) можно найти одномерную плотность. На самом деле, рассматривая f2 как плотность распределения системы двух случайных величин, согласно (2)

Упражнение 1. Доказать равенства (3), воспользовавшись условием независимости (10.4.16).

Из (3) вытекает, что полной характеристикой случайной функции с независимыми сечениями является ее одномерный закон распределения.

403