Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Tom_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

3.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 4933 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

1 .

=ep1t ,

=ep2t , ... ,

=epnt ,

p - pn

p - p1 ×

p - p2 ×

то, на основании свойства линейности, имеем

A( p)

n A( p

)

A( p )

F( p) =

= å

×epkt = f (t). □

B( p)

k=1 B ( pk )

p - pk

k=1 B ( pk )

Очевидно, что коэффициенты ck

(k = 1,2,...,n) определяются

как вычеты комплексной функции F( p)

в простых полюсах:

A( pk )

= Res

A( p)

B¢( p )

B( p)

p= pk

A( p)

Если F( p) =

–

правильная дробь,

но корни (нули)

B( p)

p1, p2 ,..., pn знаменателя B( p) имеют кратности m1,m2 ,..., mn

соответственно, то оригинал

f (t) изображения F( p) определяется

A( p)

ö(mk -1)

f (t) =

lim

ept ×( p - p

)mk ÷

(5)

(m -1)! p® pk ç

B( p)

k=1

Теорему 2 можно сформулировать следующим образом:

Если изображение F( p) =

A( p)

является дробно-рациональной функцией

B( p)

от p и p1, p2 ,..., pn

– простые или кратные полюсы этой функции, то

оригинал

f (t) , соответствующий изображению F( p) , определяется

формулой

F( p) = A( p) =. åRes(F ( pk )epkt )= f (t) .

B( p) × k=1

Замечание 1. Если коэффициенты многочленов A( p) и B( p) действительны, причем знаменатель B( p) имеет комплексные корни,

то каждой паре комплексно-сопряженных		корней		p = α ± iβ
соответствуют слагаемые	Res (F( p)ept )	и	Res	(F( p)ept ),
	p=α +iβ		p=α -iβ

являющиеся также сопряженными величинами, а потому их сумма равна удвоенной действительной части каждой из них, т.е.

Res (F( p)ept )+	Res (F( p)ept ) = 2Re	Res	(F( p)ept )	)	. (6)
p=α +iβ	p=α -iβ	(p=α +iβ		)

Пример 5. Найти оригинал f (t) , если:

324

а) F( p) =

sin

;

б)

F( p) =

p - 3

p2 + 4

Решение. а) Имеем

F( p) =

1 æ

1 1

sin

-...÷

-...

3! p3

5! p5

3! p4

5! p6

p è

На основании теоремы 1, f (t) = t -

1 t3

1 t5

- ..., t > 0.

3! 3!

5! 5!

б) Воспользуемся теоремой 2 разложения, получим: A( p) = p − 3 ,

B( p) = p2 + 4 , B′( p) =

согласно формуле (4),

f (t) =	2i - 3		e	2it	+	-2i - 3
	2	× 2i				2(-2i)

2 p , корни знаменателя p1 = 2i и p2 = -2i и,

e−2it = 41i (2i(e2it + e−2it ) - 3(e2it - e−2it )) =

=41i (2i(cos2t + isin 2t + cos2t - isin 2t) - 3(cos2t + isin 2t - cos2t + isin 2t)) =

=41i (4i cos2t - 6isin 2t) = cos2t - 32 sin 2t.

(Сравните с формулой (6).) □ Общий способ определения оригинала по изображению дает

обратное преобразование Лапласа (формула обращения Римана-Меллина),

имеющее вид:

	1	γ +i∞
f (t) =		ò F( p)ept dt,	(7)
	2πi
		γ −i∞

где интеграл берется вдоль любой прямой Re p = γ > s0 .

При определенных условиях интеграл (7) вычисляется по формуле

	1	γ +i∞
f (t) =	1	ò
f (t) =	2π i	ò
		γ −i∞

F( p)ept dt = å Res (F( p)ept ).

k=1 p= pk

На практике отыскание функции-оригинала обычно проводят следующим образом: прежде всего следует по таблице оригиналов и изображений попытаться отыскать для заданного изображения F( p)

соответствующий ему оригинал; второй путь состоит в том, что функцию F( p) стараются представить в виде суммы простейших

рациональных дробей, а затем, пользуясь свойством линейности, найти оригинал; наконец, использовать теоремы разложения, свойство умножения изображений, формулу обращения и т.д.

325


Пример 6. Найти оригинал по его изображению F( p) =								1	.
Пример 6. Найти оригинал по его изображению F( p) =								p3 ( p -1)	.
Решение.				I	способ.	Здесь	A( p) =1, B( p) = p3 ( p -1) ,
¢	3	- 3p	2	,	p1 = 1 –	простой	корень знаменателя	( m1 =1 ),
B ( p) = 4 p		- 3p		,	p1 = 1 –	простой	корень знаменателя	( m1 =1 ),

p2 = 0 – трехкратный корень (m2 = 3) . Используя формулы (4) и (5),

имеем:

1×t

3 ö¢¢

f (t) =

lim

( p - 0)

- 3

2! p®0

è p3( p -1)

ept

ö¢¢

= et +

lim

= et -

- t -1,

p -

2 p®0

1ø

т.е. f (t) = et -

- t -1.

II способ. Разобьем дробь

на сумму простейших дробей:

p3 ( p -1)

F(p) =

= -

. Следовательно, f (t) = -1-t -

2 +et .

p3(p-1)

p-1

III способ.

Представим

F( p)

как

произведение

1 .

так

как

=et , то пользуясь

p3 ( p -1)

p -1 .

свойством умножения изображений, имеем

u = τ 2

du = 2τ dτ

F ( p)=

2et

τ dτ =

t-τ

dτ

t-τ

v = -e

ëdv = e

t-τ

é u = τ

du = dτ ù

× 2òτ e

dτ =

= -

t-τ

dτ v = -e

t-τ ú =

ëdv = e

= -

+ 0 + (-τ ×et-τ )

t - et-τ

t =

= -

- t + 0

-1+ e

= e

- t -1 = f (t).

§ 2. Применение преобразования Лапласа к решению различных уравнений и задач

326

Qn ( p)

10. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

y(n) + a y(n−1)	+ ... + a	n	y = f (t) ,	(1)
1		n

удовлетворяющее начальным условиям

y(0) = y0 , y′(0) = y1, ... , y(n−1) (0) = yn−1,

где y0 , y1,..., yn−1 – заданные числа.

Будем считать, что искомая функция y(t) вместе с ее производными и функция f (t) являются оригиналами.

.	.
Пусть y(t) =Y( p) и	f (t) = F( p) . Пользуясь свойствами
.	.

дифференцирования оригинала и линейности, перейдем в уравнении (1) от оригиналов к изображениям:

( pnY ( p) − pn−1y0 − pn−2 y1 − ... − yn−1 ) + a1 ( pn−1Y ( p) − pn−2 y0 − ... − yn−2 ) + +...+ an−1 ( pY ( p) − y0 ) + anY ( p) = F( p).

Полученное уравнение называют операторным (или уравнением в изображениях). Разрешим его относительно Y ( p) :

Y ( p)( pn + a pn−1 + ... + a		p + a		) = F( p) + y ( pn−1			+ a pn−2 + ... + a			) +
1	n−1	n			0			1	n−1
+ y	( pn−2 + a pn−3 + ... + a				)+ ... + y			n−1	,
1		1		n−2
т.е. Y ( p)Qn ( p) = F( p) + Rn−1( p) , где Qn ( p)					и Rn−1( p)				– алгебраические
многочлены от p степени n и n −1, соответственно.
Из последнего уравнения находим
	Y ( p) =		F( p) + Rn−1( p)			.				(2)

Полученное равенство называют операторным решением дифференциального уравнения (1). Оно имеет более простой вид, если

все начальные условия равны нулю, т.е. y(0) = y′(0) = ... = y(n−1) (0) = 0 . В этом случае

	Y ( p) =	F( p)	.	(3)

		Q ( p)
	y(t) ,	n
Находя оригинал		соответствующий		найденному

изображению (2), получаем частное решение дифференциального уравнения (1). Полученное решение y(t) во многих случаях

327

оказывается справедливым при всех значениях t (а не только при t ³ 0 ).

Указанным методом можно найти и общее решение дифференциального уравнения (1), для чего следует начальные

условия

задавать

следующем

виде:

y(0) = C ,

y′(0) = C

, ..., y(n−1) (0) = C

При решении дифференциального уравнения иногда удобно

применять формулу Дюамеля (см. (1.3)).

Рассмотрим уравнение

(1) при

нулевых начальных условиях

y(0) = y′(0) = ... = y(n−1) (0) = 0 . Допустим, что известно решение

y (t)

f (t) = 1

уравнения (1) при правой части

и нулевых начальных условиях.

Так как f (t) = 1= F( p)

, формула (3) имеет вид

Y1( p) =

(4)

pQn ( p)

где Y1( p)

– изображение решения y1(t) .

Из равенств (3) и (4) находим

Y ( p) = pF( p)Y1( p) . Согласно

формуле Дюамеля,

pF( p)Y1

( p) = f (t) y1(0)

+ ò f (τ ) y1′(t −τ )dτ .

Учитывая, что y1(0) = 0 , получаем

f (τ )y ′(t −τ )dτ .

Y ( p) = pF( p)Y ( p) =

Отсюда решение уравнения (1) при нулевых начальных условиях

будет иметь вид

y(t) = ò f (τ )y1′(t −τ )dτ ,

(5)

где y1(t)

f (t) = 1 и нулевых начальных

– решение уравнения (1) при

условиях.

Пример 1. Решить задачу Коши:

y′′ + 4y′ + 4y = e−2t (cost + 2sint); y(0) = −1, y′(0) =1.

328

Решение. Перейдем к изображениям: y(t) =Y ( p), y′(t)

= pY ( p) +1,

p + 2

y′′(t)= p2Y( p) + p −1, cost + 2sin t =

. Согласно свойству смещения,

p2 +

p + 4

получим e−2t (cost + 2sin t) =

. Поставленной задаче Коши

( p + 2)2 +1

соответствует операторное уравнение

p + 4

p2Y ( p) + p −1+ 4 pY ( p) + 4 +

4Y ( p) =

( p

+ 2)2 +1

решение которого имеет вид

Y ( p) = −

p3 + 7 p2 +16 p +11

(( p + 2)2 +1)( p + 2)2

Разлагая правую часть этого равенства на простые дроби, находим:

Y ( p) = −

p + 4

( p + 2)2 +1

( p + 2)2

Перейдем к оригиналу, воспользовавшись свойством линейности, теоремой смещения и таблицей изображений. Имеем y(t) = e−2t (t − cost − 2sin t) . □

Пример 2. Найти с помощью формулы Дюамеля решение

задачи Коши: y′′ + 4y = sin2 t,							y(0) = 0, y′(0) = 0.
Решение.				Составим		вспомогательное уравнение											y ′′ + 4y = 1
						y1(t)											1	1
и найдем			его	решение		y1(t)			при	нулевых						начальных		условиях
(y (0) = y			′(0) = 0) .
1		1
				.						.						y ′′(t) = p2Y ( p) , а так
Пусть y (t) =Y ( p) . Тогда									y ′(t) = pY ( p) ,							y ′′(t) = p2Y ( p) , а так
			1	. 1					1	.	1					1	1
.	1
как 1=		то операторное уравнение имеет вид
как 1=	p	то операторное уравнение имеет вид
.	p
					( p2 + 4)Y ( p) =						1		.
					( p2 + 4)Y ( p) =								.
									1			p
												p
						1				1	.
Отсюда Y				( p) =		1			. Но	1					= 1 sin 2t , поэтому
Отсюда Y				( p) =	p(p	2 + 4)			. Но						= 1 sin 2t , поэтому
			1							p2 + 4 . 2
										p2 + 4 . 2
				.		t		1				1
			Y1( p) = y1(t) = ò					1	sin 2tdt =			1		(1− cos2t) .
			Y1( p) = y1(t) = ò						sin 2tdt =					(1− cos2t) .
				.		0	2				4
				.

329

Найдем теперь решение y(t) данной задачи по формуле (5):

		t	1				1	t
y(t) = òsin2 τ ×			1	sin 2(t -τ )dτ =			1	ò(1- cos2τ )sin 2(t -τ )dτ =
y(t) = òsin2 τ ×			2	sin 2(t -τ )dτ =			4	ò(1- cos2τ )sin 2(t -τ )dτ =
		0	2				4	0
		0						0
	1	t			1	t
=	1	òsin 2(t -τ )dτ -			1	ò(sin 2t + sin(2t - 2τ ))dτ =
=	4	òsin 2(t -τ )dτ -			8	ò(sin 2t + sin(2t - 2τ ))dτ =
	4	0			8	0
		0				0

= 18 (1- cos2t - t sin 2t).

Аналогично применяется операционный метод для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Покажем это на конкретном примере.

Пример 3. Найти решение системы

x¢ + y = et , x + y¢ = e-t

при начальных условиях x(0) = x0 ,	y(0) = y0 .
.	.	¢	.
Решение. Пусть x(t) = X ( p) ,	y(t) =Y( p) , тогда	¢		,
Решение. Пусть x(t) = X ( p) ,	y(t) =Y( p) , тогда	x (t)= pX ( p) - x0		,
.	.		×

y¢(t)= pY ( p) - y0 и получаем операторную систему

pX ( p) - x + Y ( p) =

p -1

pY ( p) - y + X ( p) =

Решая систему, найдем

p2 +1

X ( p) =

( p2 -1)2

-1 0

p2 -1

Y ( p) =

y +

1- x0

2 p

( p2 -1)2

p2 -1

и, следовательно,

x(t) = x0 ch t - y0 sh t + t ch t,

y(t) = y0 ch t + (1- x0 )sh t - t sh t.

Пример

Три одинаковые

точечные массы m закреплены на струне

так,

что

расстояние

между

ними

M1(x1)

l M3(x3)

расстояния

от

крайних

масс

до

M2(x2)

330

закрепленных концов струны равны l. В начальный момент все массы находятся в положении равновесия, причем средней массе сообщается скорость v0 . Вывести уравнения движения системы (рис. 1).

Решение. Дифференциальные уравнения движения системы найдем с помощью уравнений Лагранжа, которые для малых

свободных колебаний имеют вид
	d æ		¶T ö		+	¶П	= 0,
		ç		÷
			¶qk			¶qk
	dt è			ø
			&
где T – кинетическая, П –			потенциальная энергия системы, qk –

обобщенные координаты, а точка означает производную по времени.

Если x1(t), x2 (t), x3 (t)

– отклонение масс от положения равновесия, то

T =

- x1x2 - x2 x3 ),

(x1 + x2

+ x3 ), П

l (x1 + x2

+ x3

где P – натяжение струны. Уравнения движения имеют вид:

x1 + λ (2x1 - x2 ) = 0,

+ λ (2x2 - x1

- x3 ) = 0,

где λ =

+ λ (2x3 - x2 ) = 0,

= x1

Принимая во внимание начальные условия x1(0) = x2 (0) = x3 (0) =

(0) = x3 (0) = 0 ,

x2 (0) = v0 ,

получаем операторные уравнения

( p2 + 2λ ) X1( p) - λ X2 ( p) = 0,

-λ X

( p) + ( p2 + 2λ ) X

( p) - λ X

( p) = v ,

-λ X2 ( p) + ( p2 + 2λ ) X3 ( p) = 0,

где

Решив эту систему,

( p) = x (t) ,

( p) = x (t)

. 2

имеем

X2 ( p) =	p2 + 2λ	v0 , X1( p) = X3
	( p2 + 2λ )2 - 2λ2

Применяя теорему 2 разложения, находим:

x (t) = x (t) = -

sinω1t

sinω2t

2 2

( p) =				λ				v0.
		( p2 + 2λ )2 - 2λ2
(t) =	v0		æ sinω1t		+	sinω2t ö				,
			ç						÷
	2			ω		ω	2
			è	1				ø

где ω1 = (2 + 2 )λ , ω2 = (2 - 2 )λ . □

331

В некоторых случаях возможно операторное решение и линейных дифференциальных уравнений с переменными

о э

ц и

е н

т а м и .

Пример 5. Решить задачу Коши для дифференциального

уравнения Бесселя с нулевым индексом:

ty′′ + y′ + ty = 0,

y(0) = 1.

Решение. По теореме о дифференцировании изображения находим

¢ .

ty =-Y ( p) , а так как y

= pY ( p) - y0 , то

¢¢

. é

¢ ù¢

- 2 pY ( p) + y0 .

=- ë p Y ( p) - y0 p - y0 û = - p Y ( p)

Подставляя полученные выражения в уравнение, приходим к

операторному уравнению

( p

+ pY ( p) = 0 .

+1)Y ( p)

В результате получается не алгебраическое, а дифференциальное операторное уравнение с независимым комплексным переменным p. После разделения переменных и интегрирования получим

Y ( p) =		C	.

	1+ p2
	1+ p2

Так как lim pY ( p) = C , то имеем C = y0 = y(0) . Полагая y(0) = 1

p→∞

и используя выражение функции Бесселя с нулевым индексом, получаем соотношение

∞	(-1)k æ t		ö2k .		1		□
y(t) = J0 (t) = å	ç		÷	=		.

					1+ p2
k=0	(k!)2 è	2 ø .

20. Интегральное уравнение типа свёртки. Уравнение вида

ay(t) = f (t) + λ ò K(t,τ )y(τ )dτ , α £ t £ β ,

где y – неизвестная функция, f и K – заданные функции, a,λ,α, β –

постоянные, называется линейным интегральным уравнением Фредгольма первого рода, если a = 0 , или второго рода, если a ¹ 0 .

Функция K, определенная в квадрате

D = {(t,τ ) Î 2		α < t < β , α < τ < β} ,
D = {(t,τ ) Î 2		α < t < β , α < τ < β} ,
k

называется ядром интегрального уравнения. Если f (t) = 0 , то уравнение называется однородным.

332

Уравнение

ay(t) = f (t) + λ ò K(t,τ )y(τ )dτ

называется линейным интегральным уравнением Вольтерра первого рода, если a = 0 , или второго рода, если a ¹ 0 .

Если ядро уравнения K зависит только от разности t −τ , т.е. K(t,τ ) = K(t −τ ) , то интеграл

òK(t -τ )y(τ )dt = K(t) * y(t)

является свёрткой функций K и y. В этом случае уравнение Вольтерра

ay (t) = f (t) + λòK (t -τ ) y(τ )dτ

будет уравнением типа свёртки и его решение можно найти операционным методом, пользуясь свойством умножения.

Если интеграл

∞

òe− pt K (t)* y(t)dt

абсолютно сходится, то преобразование Лапласа переводит свёртку, согласно свойству 9) из § 1, в произведение изображений, т.е.

K(t)* y(t) = K( p)Y ( p) ,

где

( p) = K(t) .

Поэтому

уравнение

типа

свёртки после

перехода

изображениям

перейдет

y(t) = =Y ( p) ,

f (t) = F( p) ,

K(t) = K( p) ,

операторное уравнение

aY ( p) =

F( p) + λ K( p)Y ( p) ,

откуда

F( p)

Y ( p) =

или

- λK ( p)

Y ( p) =

F( p) +

K( p)

F( p) .

a - λ K( p)

333

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 4933 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.02.2016218.62 Кб37TEST-Kontrolnaya_po_istorii (1).doc
#
18.02.2016107.52 Кб12TEST-Kontrolnaya_po_istorii (1).doc
#
10.11.20196.55 Mб3Tezisy_chast_1._Avtomatizacija_i_mekhanizacija....docx
#
06.09.2019169.47 Кб5Thatcherism.doc
#
18.07.201945.06 Кб2The Baltic Sea Basin .doc
#
18.02.20163.2 Mб59Tom_2.pdf
#
28.09.2019184.55 Кб2Trebovania.rtf
#
18.02.2016176.64 Кб9trebovania_k_oformleniyu.doc
#
18.02.2016284.67 Кб3Trebovania_k_oformleniyu_otchyota_o_praktike.doc
#
28.09.2019248.83 Кб4Trebovania_k_oformleniyu_otchyota_o_praktike.doc
#
18.02.2016248.32 Кб3trebovania_k_oformleniyu_poyasnitelnoy_zapiski.doc