Tom_2

414

k=0

Выражение (2) является каноническим разложением вида (2.10) корреляционной функции случайной функции X (t) . Ввиду теоремы 2.2,

можно записать каноническое разложение случайной функции X (t) :

с математическими ожиданиями, равными нулю, и дисперсиями

D(Uk ) = D(Vk ) = Dk .

Каноническое разложение (3), в котором координатными функциями являются sinωkt и cosωk t , называется спектральным

разложением. Из выражения (3) следует, что спектральное разложение (3) есть стационарная случайная функция, разложенная на гармонические колебания различных частот: ω1, ω2 ,..., ωk ,..., причем амплитуды этих колебаний являются

случайными величинами.

Используя (1), найдем дисперсию случайной функции, заданной спектральным разложением (3):

∞

DX = DX (t) = KX (0) = å Dk .

k=0

Значит, дисперсия стационарной случайной функции равна сумме дисперсий всех гармоник ее спектрального разложения и распределена определенным образом по различным частотам, т.е.

415

образует дискретный спектр. Графически это можно показать следующим образом. По оси абсцисс будем откладывать частоты, а по оси ординат соответствующие дисперсии (рис.2).

Если корреляционная функция KX (τ ), τ , не является

периодической, то разложение (1), а, значит, и (3) уже невозможно. Поэтому стационарный случайный процесс X (t), t (0;+∞) , не является

процессом с дискретным спектром.

Обобщим идею спектрального разложения на случай, когда функция X(t) определена на (0;+∞) , т.е. при T → +∞ , через

распределение дисперсии по частотам непрерывного спектра.

При этом дискретный спектр будет стремиться к непрерывному, в

характеризующее среднюю плотность дисперсии на интервале частот

(ωk ;ωk+1) .

∞

DX = ò SX (ω)dω .

0

416

определена, как и KX (τ ) , на всей числовой оси: S(−ω) = S(ω) , ω ³ 0 , четным образом.

Упражнение 1. Обосновать формулы (6), (8), используя взаимно обратные косинус-преобразования Фурье и считая KX (τ ) абсолютно

интегрируемой на полуоси [0;+¥).

Если разделить спектральную плотность SX (ω) на дисперсию DX ,

то получим нормированную спектральную плотность ρX (ω) :

Это значит, что нормированная спектральная плотность ρX (ω) выражается через нормированную корреляционную функцию rX (τ ) и

наоборот.

Пример 2. Найти корреляционную функцию стационарной ф у н к ц и и Х ( t ) , з н а я е е с п е к т р а л ь н у ю п л о т н о с т ь

Решение. Отметим, что случайный процесс Х (t) с указанной спектральной плотностью называют низкочастотным белым шумом.

По формуле (6) имеем

§ 4. Марковские процессы

418

Марковским процессом, протекающим в физической системе, называется такой случайный процесс X(t), при котором для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в данный момент и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние.

10. Марковский процесс с дискретными состояниями.

Марковский процесс называется процессом с дискретными состояниями, когда множество различных фазовых состояний системы конечно или счетно.

Когда переходы системы из состояния в состояние возможны только в фиксированные моменты времени t1,t2 ,..., то марковский

процесс X(t) называется процессом с дискретным временем или цепью Маркова. Когда же переходы системы из состояния в состояние возможны в любые случайные моменты времени t, то марковский процесс называется процессом с непрерывным временем.

Например, по оси абсцисс случайным образом перемещается точка X. В момент времени t = 0 точка находится в начале координат (x = 0) и остается там на протяжении 1 секунды. Через секунду

бросается монета: если выпал герб – точка X смещается на единицу длины вправо, если надпись – влево. Через секунду монета бросается снова и делается такое же перемещение точки X и т.д. Процесс изменения состояния X(t) точки представляет собой марковский процесс с дискретным временем (t = 0,1,2,...) (цепь Маркова) и

счетным множеством состояний (x0 = 0; x1 =1; x2 = −1;...) .

Пусть имеем физическую систему S, которая может находиться в различных фазовых состояниях: A1, A2 ,..., An , причем переходы системы из состояния в состояние возможны только в моменты времени t1,t2 ,...,tm . Будем называть эти моменты шагами процесса и

рассматривать марковский случайный процесс, который происходит в системе S, как функцию целочисленного аргумента 1,2,..., m (номера

шага). Тогда X(m) будет определять состояние системы S через m шагов цепи Маркова.

Обозначим Aik – событие, заключающееся в том, что на k-м шаге

система находится в состоянии Ai . Для любого k события Aik , i = 1,n ,

образуют полную группу событий, так как в процессе эксперимента система S обязательно займет одно из названных состояний. Цепи Маркова с дискретными состояниями принято описывать посредством переходных вероятностей.

Допустим, что после (m −1) -го шага система S оказалась в состоянии Aj . Каждой паре состояний (Aj , Ak ) поставим в

419

соответствие условную вероятность Pjkm = P(Akm / Amj −1 ) перехода на m-м шаге из состояния Aj в состояние Ak , называемую переходной в е р о я т н о с т ь ю .

20. Однородная цепь Маркова. Равенство Маркова. Марковская цепь называется однородной, если переходные вероятности не зависят

от номера шага: Pjki = Pjk . В противоположном случае она называется

неоднородной. Когда для каждого состояния физической системы S известна вероятность перехода в любое другое состояние за один шаг, то переходные вероятности Pij записывают в виде матрицы

которая называется матрицей перехода. Так как в каждой строке матрицы находятся вероятности всех возможных переходов из выбранного состояния, т.е. образующие полную группу событий, то

n

åPij = 1, i =1, 2, ..., n .

j=1

Если сумма элементов каждого столбца также равна единице, то матрица перехода называется двойной стохастической. Как видим, на главной диагонали переходной матрицы P1 находятся вероятности

Pii , которые соответствуют ситуации, когда система не выходит из состояния Ai .

Рассмотрим следующую задачу. Найти переходные вероятности Pij (m) перехода системы из состояния Ai за m шагов в состояние Aj ,

когда вероятности Pij известны. Для этого введем промежуточное (между Ai и Aj ) состояние Ar . Будем считать, что из первоначального состояния Ai за k шагов система перейдет в промежуточное состояние Ar с вероятностью Pir (k) , после чего за остальные m − k шагов из промежуточного состояния Ar она перейдет в окончательное состояние Aj с вероятностью Prj (m - k) . Тогда, согласно формуле полной вероятности, вероятность Pij (m) будет равна

420

Докажем, что, зная все переходные вероятности Pij = Pij (1) , т.е. матрицу P1 перехода из состояния в состояние за один шаг, можно найти вероятности Pij (2) перехода из состояния в состояние за два шага, т.е. матрицу перехода P2 . По известной матрице P2 можно найти матрицу P3 перехода из состояния в состояние за три шага и т.д.

30. Вероятности состояний цепи Маркова. Для описания случайного процесса, протекающего в цепи Маркова с дискретными

на k-м шаге система S будет находиться в состоянии Ai . Вероятности

421

n

Pi (k) удовлетворяют условию åPi (k) =1, так как кроме Ai , i =1, n ,

i=1

другие состояния невозможны.

Вероятности Pi (k) называются вероятностями состояний цепи Маркова. Распределение вероятностей состояний в начале процесса (на нулевом шаге) P(0) = (P1(0), P2 (0),..., Pn (0)) называется начальным распределением вероятностей цепи Маркова. Зная P(0) и матрицу перехода P1 в однородной цепи Маркова, можно найти P(1) = (P1(1),..., Pn (1)) :

где P(s) = (P1(s),..., Pn (s)) – вероятности состояний после s-го шага.

Пример 2. В результате проверки техническая система S (ЭВМ, станок, регулятор, транспортное средство и т.д.) может оказаться в одном из следующих состояний: 1) система полностью исправна; 2) система имеет незначительные неисправности, не препятствующие ее функционированию; 3) система имеет существенные неисправности, ограничивающие круг посильных ей задач; 4) система не работает.

422

P(1) = P(0)P1 = (1; 0; 0; 0) × P1 = (0,3; 0,4; 0,1; 0,2), P(2) = P(1)P1 = (0,09; 0,2; 0,27; 0,44),

P(3) = P(2)P1 = (0,027; 0,076; 0,217; 0,68). Значит, P4 (3) = 0,68. □

40. Понятие об эргодичности. На практике, когда процесс в системе S протекает достаточно долго, возникает вопрос о предельном распределении вероятностей Pi (m) при m → ∞ . Если существуют

распределения вероятности P(0) , то для системы S существует

предельный стационарный режим. Другими словами, система переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний

pi = P( Ai ), i = 1, n , практически не меняются. Эти вероятности

можно понимать как среднее относительное время пребывания с и с т е м ы в i - м с о с т о я н и и .

Система, для которой существуют положительные предельные вероятности, называется эргодической, а случайный процесс –

эргодическим.

Теорема 1 (эргодическая теорема). Если в однородной цепи Маркова при некотором k все Pij (k) > 0 , то существуют предельные

Равенства (6), (6’) получаются предельным переходом из (5), когда m → ∞ .

Задания для самостоятельной работы

1.Найти математическое ожидание, дисперсию и корреляционную

423