Tom_2

при свободном внутреннем теплообмене, если в левом конце его (при x = 0 ) поддерживается постоянная температура u0 , а через

правый конец (при x = l > 0 ) происходит теплообмен с окружающей средой, температура которой задана функцией ϕ(t) .

(Указание. Для получения граничного условия при x = l воспользоваться тем, что количество тепла, проходящего через

качества теплоизоляции конца стержня от окружающей среды. Сравнивая оба выражения для q , получаем граничное условие

∂u(l,t) + h [u(l,t) −ϕ(t)] = 0 ).

∂x α

7. Используя телеграфные уравнения, поставить задачу об отыскании

постоянно и равно E0 . (Указание. Найти функции u(x,t) и i(x,t) , определенные при 0 £ x < +¥ и 0 £ t < ¥ , являющиеся решениями

8.На границе бесконечного изотропного однородного цилиндра, направляющая которого – кривая L – лежит в плоскости,

перпендикулярной образующей, поддерживается температура, зависящая только от положения точки на L. Используя уравнение (10), поставить задачу об установившемся стационарном

304

распределении температуры внутри цилиндра (плоская задача Дирихле). (Указание. Систему координат выбираем так, что ось Oz параллельна образующей. Область, ограниченную кривой L в плоскости Oxy , обозначим через D. Нужно найти функцию u(x, y) , которая для всех точек M (x; y) D удовлетворяет

уравнению ¶2u + ¶2u = 0 , т.е. является гармонической в области

¶x2 ¶y2

D, а на границе области, т.е. на кривой L, удовлетворяет условию

10.Струна, закрепленная на концах x = 0 и x = 1 в начальный момент имеет форму u = h(x4 - 2x3 + x). Найти форму струны для любого момента времени t, если начальные скорости отсутствуют.

11.Струна закреплена в точках x = 0 и x = l . Начальные отклонения точек струны равны нулю, а начальная скорость выражается формулой

Найти форму струны для любого момента времени t.

305

Заменой x2-τt упростить ответ).

13. Дан тонкий однородный стержень длины l, изолированный от внешнего пространства, начальная температура которого равна

f (x) = cx(l - x) . Концы стержня поддерживаются при температуре l2

равной нулю. Определить температуру стержня в момент времени t > 0 . (Указание. Закон распределения температуры стержня

15.При условии h = 1 в прямоугольнике Q с вершинами в точках A(0;0), B(0;5), C(4;5), D(4;0) и границей S найти приближенное

решение граничной задачи

306

uxx − ut = 0, (x;t) Q, u(x,t) = ϕ(x,t), (x;t) S,

если ϕ(x,0) = x, ϕ(0,t) = 0, ϕ(4,t) = 4 .

307

308

ГЛАВА 9

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

§1. Преобразование Лапласа. Основные понятия

исвойства

Операционное исчисление – один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев сводить исследование линейных дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, а также линейных интегро-дифференциальных уравнений типа свертки к рассмотрению более простых алгебраических задач. К этим классам уравнений приводят многие задачи электротехники, радиотехники, теории автоматического регулирования и ряда других областей науки и техники.

Методы операционного исчисления предполагают реализацию следующей условной схемы решения задачи.

1.От искомых функций переходят к некоторым другим функциям – их изображениям.

2.Над изображениями производят операции, соответствующие заданным операциям над самими функциями.

3.Получив некоторый результат при действиях над изображениями, возвращаются к самим функциям.

В качестве преобразования, позволяющего перейти от функций

ких изображениям, будем применять так называемое преобразование Лапласа.

10. Оригинал и изображение. Оригиналом будем называть комплекснозначную функцию f (t) действительного переменного t,

удовлетворяющую следующим условиям:

1)f (t) = 0 , если t < 0 ;

2)f (t) – кусочно непрерывная, интегрируемая функция на любом

конечном интервале оси Ot ;

3) с возрастанием t модуль функции f (t) растет не быстрее некоторой показательной функции, т.е. существуют числа M > 0 и s0 ³ 0 , такие, что для всех t имеем

f (t) £ Mes0t .

Нижнюю грань множества чисел s0 , удовлетворяющих указанному неравенству, называют показателем роста функции f (t) .

310

Изображением функции f (t) (по Лапласу) называется функция

F( p) комплексного переменного p = s + iδ , определяемая равенством

0

где интеграл берется по положительной полуоси.

Преобразование (1), ставящее в соответствие оригиналу f (t) его изображение F( p) , называется преобразованием Лапласа. Соответствие

полуплоскости Re p > s0 , где s0 – показатель роста f (t) , и является в

этой полуплоскости аналитической функцией.

Если функция F( p) является изображением функции f (t) , то

lim F( p) = 0 .

p®¥

В самом деле,

Решение. а) Данная функция является оригиналом, так как она непрерывна для всех t > 0 и является функцией ограниченного роста,

т.е. может быть представлена при t > 0 в виде 2 = 2 ×e0×t . Отсюда следует, что s0 = 0 , M – любое действительное число, большее или

равное 2 (см. свойство 3)).

б) Функция в этом случае не является оригиналом, т.к. в точках t = π2 + π k , k = 0,1,2,..., которые принадлежат промежутку (0;∞) , она

имеет разрывы второго рода. □ Пример 2. Пользуясь определением, найти изображения функций

311

б) Данная функция является оригиналом. По формуле (1) имеем

0

направлением arg p < π2 (рис. 1).

Функция τ ® e-ττα аналитическая в полуплоскости T = {τ Î | Reτ > 0} . Рассмотрим замкнутый контур L, составленный

из упорядоченного набора (γ1,γ R ,γ - ) ориентированных частей (см. рис. 2). По теореме Коши для аналитических функций имеем

312

òe-ττα dτ = ò e-ττα dτ + ò e-ττα dτ + ò e-ττα dτ = 0,

20. Свойства преобразования Лапласа. Будем обозначать через f (t), g(t), ... оригиналы, а через F( p), G( p), ... – их изображения.

Непосредственно из свойств интегралов

получаем следующие свойства преобразования Лапласа.

1) Линейность. Для любых комплексных постоянных α и β

.

α f (t) + β g(t) =α F( p) + βG( p) , т.е. линейной комбинации оригиналов

×

соответствует такая же линейная комбинация изображений.

т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число α приводит к делению изображения аргумента на это число.

Доказательство. В самом деле, полагая αt = τ имеем

.

eαt f (t)= F( p -α) , т.е. умножение оригинала на функцию eαt влечет

×

за собой смещение переменной p.

313