Tom_2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MX = M (σ X0 + a) = σ MX0 + a = a +

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

3.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 4938 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

ì0,		x £ a;
ï	x	- a
F (x) = íï			, a < x £ b;	(9)

ïb - a
ï1,		x > b.
î

Плотность распределения равномерной случайной величины есть

ì		1	, a	< x £ b;
p(x) = íï					(10)
	b - a
ï		x £ a,		x > b.
î0,

На рис. 1 приведены графики функций F(x) и p(x).

F(x)				p(x)
1				1
1				1
				b − a

0	a	b			0	a	b
			x					x

Рис. 1

Из выражения для плотности видно, что для равномерно распределенной случайной величины вероятность попадания в любой интервал, содержащийся в [a;b] , пропорциональна длине этого интервала.

Найдем числовые характеристики распределения:

+∞

- a

a + b

MX = ò xp(x)dx = òx

dx =

(11)

b - a

−∞

M (X 2 )

= òb

x2dx =

1 b3 - a3

a2 + ab + b2

b - a

- a

Тогда

- (a + b)2

DX = M (X 2 )- (MX )2 =

a2 + ab + b2

(b - a)2

. (12)

Пример 3. Интервал движения троллейбуса 15 минут. Какова вероятность того, что пассажир, приходя на остановку троллейбуса в случайный момент времени, будет ожидать транспорт не более 5 минут? Найти среднее время ожидания.

Решение. Пусть X – время ожидания. Очевидно, случайная величина X распределена равномерно на отрезке [0;15] . Тогда

P{X < 5} = F (5) =		5	=	1	, а MX =	0 +15	= 7,5 мин. □
	15			3		2

374

40. Показательное распределение. Показательное распределение

является одним из основных распределений в теории массового обслуживания и теории надежности. Функция распределения в этом случае имеет вид

F (x) = P{X < x} = 1- e−λx ,		x ³ 0 ,	(13)
где λ > 0 , а плотность вероятности
	p(x) = λe−λx , x ³ 0		(14)
и F(x) = p(x) = 0, если	x < 0.
Пусть ν1, ν2 , ...	случайные моменты	времени,	в которые

происходит некоторое событие А (например, отказ некоторой системы), а X – случайная величина – число появлений события А за время t. Поток событий называется простейшим, если X распределена по закону Пуассона.

Найдем вероятность того, что время до появления первого события будет меньше t.

P{ν1 < t} = 1- P{ν1 ³ t} = 1- p0 (t ) = 1- e−λt ,

т.е. момент времени ν1 распределен по показательному закону. Упражнение 1. Показать, что в случае простейшего потока все

интервалы между наступлениями события А, т.е. величины νk+1 -νk , также распределены по показательному закону.

Вычислим числовые характеристики распределения.

∞

−λx

−λx ù

∞

−λx

MX = ò xλe

dx =

ë-xe

+ òe

dx =

(15)

∞

−λx

−λx ù

∞

−λx

M (X

) = ò x

λe

+ 2ò xe

dx =

ë-x

DX = M (

X 2 )- (MX )2 =

σ ( X ) =

(16)

λ2

Для показательного распределения математическое ожидание и

среднеквадратичное

отклонение

равны

, где

0 < λ

– параметр

распределения.

50. Функция надежности. Пусть ν – момент отказа некоторой технической системы. Функция надежности R(t) определяется как вероятность того, что система будет работать безотказно до момента времени t, т.е.

R(t) = P{n > t} .

(17)

375

В частности, если поток отказов простейший, то случайная величина ν распределена по показательному закону и

R(t ) = e−λt .

(18)

60. Распределение Вейбула. Непрерывная случайная величина Х имеет распределение Вейбула с параметрами α > 0, λ > 0, если ее

плотность распределения вероятностей задана формулой

ì0, x £ 0,
ï	(19)
p(x) = í	(19)
ïαλxα −1e−λxα	, x > 0.
î

Таким образом, распределение Вейбула описывает положительную ( X > 0 ) случайную величину. Очевидно, при α =1 из (19) получается показательное распределение с параметром λ > 0 . Поэтому, как и показательное распределение, распределение Вейбула широко используется в теории надежности. В частности, этому закону подчиняется время безотказной работы многих технических

устройств. При α = 2 из (19)

получается также важное с точки зрения

приложений распределение Рэлея.

Интегрируя (19), находим функцию распределения

ì0,

x £ 0,

F(x) =

p(t)dt = í

ï1- e−λxα , x > 0.

−∞

Упражнение 1. Показать, что основные числовые

характеристики распределения Вейбула имеют вид

−

æ 2

æ 2 ö

æ 1 öö

MX = λ

α Gç1

, DX = ç

Gç

÷ -

÷÷

α 2

è α

è α ø

è α øø

+∞

где G(x) = ò e−ttx

−1dt

− гамма-функция.

Функция надежности некоторой технической системы в этом случае имеет вид

R(t) = e−λtα .

Основной причиной широкого использования закона Вейбула в теории надежности является то, что он, обобщая экспоненциальный закон, содержит дополнительный параметр α . Подбирая нужным образом параметры λ и α можно получить лучшее соответствие опытным данным по сравнению с экспоненциальным законом, который зависит от одного параметра λ.

§ 7. Нормальное распределение

376

Рассмотрим закон нормального распределения и определим его основные числовые характеристики.

10. Функция распределения и плотность. Нормальное распределение играет наиболее значительную роль в прикладных задачах теории вероятностей и, в частности, в технике. Случайная величина X называется распределенной по нормальному закону с параметрами a и σ (записывают X N(a,σ ) ), если ее функция

р а с п р е д е л е н и я

и м е е т

в и д :

(t - a)

F (x) =

ò exp í-

ýdt .

(1)

2πσ

2σ

−∞

В соответствии с этим, плотность вероятности нормально

распределенной величины будет равна

(x - a)

f (x)

exp

í-

2σ 2

ý .

(2)

2πσ

Здесь для обозначения плотности вероятности используется f (x)

вместо p(x).

Покажем, что функция (2) действительно является плотностью,

+∞

(t - a)

f (x) =1. Пусть I =

т.е. что

ò exp í-

ýdt , после замены

2πσ

2σ

−∞

t - a

+∞

u =

получим I =

exp í-

ýdt . Вычислим выражение

2π

−∞

+∞

+∞ +∞

+t2

2 =

ò e−

ò ò e−

2 dt1

2 dt2 =

2 dt1dt2 .

2π

−∞

−∞ −∞

Рассматриваем

последний интеграл

как

двойной и

перейдем

в нем к полярным координатам:

t1 = r cosϕ ,

t2 = r sinϕ .

Якобиан

преобразования равен r.

377

F(x)

f (x)

σ = 0.1

σ = 1

σ = 0.1

σ = 10

σ = 1

0.5

σ = 10

Рис. 1

Получим

∞

2π

+∞

r2 ù

I 2 =

ò dϕ ò e−

× 2π ×

e−

dr2 = ê

× 2e−

rdr =

=1,

2π

следовательно I =1.

Графики функции распределения F(x) и плотности f (x) имеют вид, показанный на рис.1.

При больших σ кривая плотности становится более пологой, а чем меньше σ, тем острее пик функции в точке x = a , при σ → 0 f (x) → δ (x − a), δ (x) – функция Дирака.

Если a = 0 , σ = 1, то говорят, что случайная величина X = X0

имеет стандартное нормальное распределение. В этом случае функция

распределения F(x) =

+ Ф(x) ,

где Ф(x)

плотность

ϕ(x)

определяются так:

Ф(x) =

òe−

ϕ (x) =

e−

2 dt,

2 .

(3)

2π

Функция Ф(x) называется стандартной функцией Лапласа,

378

а ϕ(x) часто называют малой функцией Лапласа. Значения этих

функций при x ³ 0 приведены в таблицах нормального распределения (см. приложение, табл. П1, 2). Очевидно, Ф(−x) = −Ф(x) . При

пользовании таблицами следует отличать Ф(x) от функции F(x) ,

которая определяется как

Рис. 2

−

− 2

F (x) =

dt =

òe

dt .

(4)

2π

−x

Функция F(x) равна

вероятности

P{ X0 < x}

и на рис. 2

представлена площадью заштрихованной области от −∞ до x, а

F(x)

равна P{-x < X0 < x}

представлена

площадью

криволинейной

трапеции от −x до x.

Связь между функциями Ф(x)

выражается формулами

и F(x)

(x)

Ф(x) =

F (x) = 2Ф(x).

(5)

Таким образом, получаем

(6)

< x} = F (x) = 2Ф(x) .

Если P{X0 < t} = α ,

то

t = F −1(α )

значение t называется

квантилью распределения уровня α. Из (5) следует, что если F(t) = α ,

то t является квантилью уровня

1+α

Из примера 2 §4 следует,

что

X = σ X0 + a Î N (a,σ ) ,

если

Î N(0,1) . Обратно,

если

X N(a,σ ) ,

то X

X - a

Î N

(0,1) .

Пример 1. В технических

приложениях

часто встречается

«правило трех сигм», согласно которому значениями нормальной случайной величины, отличающимися от среднего значения больше чем на 3σ, пренебрегают. Найти вероятность этого события.

Решение.

{

X - a

> 3σ

}

= 1- P

X - a

< 3ü

= 1- P

{

< 3 =

}

(3) =1- 0,9973

= 0,0027 .

□

=1- F

379

20. Параметры нормального распределения. Найдем числовые характеристики нормального распределения.

Так как подынтегральная функция нечетная, то MX0 = 0 .

M( X 2 ) = M (σ X0 + a)2 = M (σ 2 X02 + 2aσ X0 + a2 ) =

=σ 2M (X02 )+ 2aσ MX0 + Ma2 = σ 2M (X02 )+ a2 =

+∞

ò x2e−

dx + a2

xde−

+ a2 =

= -

2π

−∞

+∞

σ 2

−

2 +∞

−

ê-

+ a

= σ

+ a

2π

−∞

2π −∞

Тогда DX = M (X 2 ) - (MX )2 = σ 2 + a2 - a2 = σ 2 .

Таким образом,

MX = a,

DX = σ 2 .

(7)

Параметры a и σ нормального распределения равны математическому ожиданию и среднеквадратичному отклонению, соответственно. Для определения закона нормального распределения достаточно найти параметры a и σ, так как они однозначно определяют плотность распределения.

Упражнение 1. Показать, что асимметрия и эксцесс для нормального распределения равны нулю. Эти параметры характеризуют меру отклонения распределения случайной величины о т н о р м а л ь н о г о .

Пример 2. Отклонения диаметров подшипников от своего номинального значения подчинены нормальному закону. Выборочные данные показали, что в 90 % случаев эти отклонения не превосходят 1,5 мк. Определить величину рассеивания значений диаметров.

Решение. Из условия задачи следует, что

P{ X - MX £ 1,5} = 0,9 . Тогда

X - MX

1,5

P í

= 0,9

Þ P í

= 0,9 .

1,5

Используя табл. П2, находим

= 1,65 , откуда σ = 0,91 . □

380

30. Определение характеристик нормального распределения.

На практике параметры нормального распределения, как и любого другого, находятся по экспериментальным данным. Пусть имеются n значений x1, x2 ,..., xn случайной величины X N(a,σ ) , полученные в n

независимых опытах. Эти значения можно рассматривать как значения независимых одинаково распределенных по закону N(a,σ ) случайных

величин. В качестве оценок для a и σ естественно взять величины, соответствующие математическому ожиданию и дисперсии дискретной случайной величины с равновероятными значениями:

x =

åxi ,

σ€2 =

å(xi

- x)2 .

(8)

n i=1

Посмотрим, насколько

хороши

такие

оценки.

Считая

случайными величинами, получим,

что

σ€2

также

есть

некоторые случайные величины.

Определим их средние значения.

æ 1 n

å i

Mx = M ç

na = a .

è n i=1 ø

n i=1

Среднее значение оценки совпадает с истинным значением,

такую оценку считаем удовлетворительной.

Далее, пусть yi

= xi - a ,

тогда yi также будут

независимыми

случайными величинами

со

средними My = 0 и дисперсиями Dy = σ 2 .

Вычислим

ö2

(x - x )2 = M

( y

+ a)

ç y

+ a -

= M

ç y

÷ =

åç

åç i

i=1

n k=1

i=1

n k=1

n æ

æ n

ö2 ö

n é

n n

= M

ç y2

÷ =

êMy2

M ç

y y

åç

i å

n2 ç å

åå i

k ÷

i=1 è

k=1

è k=1

i=1

è i=1 k=1

ååM

( yk yl )ú = nσ 2 -

σ 2 +

nσ 2 = (n -1)σ 2 ,

k=1 l=1

так как M (yi y j ) = Myi My j = 0 .

Поэтому Mσ€2 ¹ σ 2	и оценку σ€2			из (8) следует	исправить.
В качестве оценки для σ 2	берут величину
		1	n
	s2 =		å(xi	- x )2 ,	(9)

		n -1 i=1

381

тогда Ms2 = σ 2 .

§ 8. Закон больших чисел и локальные предельные теоремы

При определенных весьма общих условиях совокупное действие многих случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая. Эти условия указываются в теоремах, объединенных названием закона больших чисел. Докажем неравенство Чебышева и установим закон больших чисел в форме теорем Чебышева и Бернулли. Сформулируем усиленный закон больших чисел, локальную предельную теорему Муавра-Лапласа. Приведем формулировку и доказательство теоремы Пуассона.

10. Неравенство Чебышева. Для доказательства важных теорем закона больших чисел выведем сначала неравенство Чебышева.

Пусть X – произвольная случайная величина со средним значением MX и конечной дисперсией DX, тогда

X - MX

³ ε} £

(1)

ε 2

Доказательство (для непрерывной случайной величины с

плотностью p(x)).

+¥

DX = M êé( X - MX )2

úù

= ò (x - MX )2 p(x)dx =

-¥

= ò (x - MX )2 p(x)dx + ò

(x - MX )2 p(x)dx ³

x-MX

<ε

x-MX

³ε

³ ò (x - MX )2 p(x)dx ³ ε 2

p(x)dx =

x-MX

³ε

x-MX

³ε

= ε 2P{

X - MX

³ ε}.

Отсюда следует неравенство (1).

□

20. Закон больших чисел в форме Чебышева.

Теорема Чебышева. Пусть случайные величины X1, X2 ,..., Xn ,...

попарно независимы и их дисперсии ограничены одним и тем же числом c, тогда для любого ε > 0

	ì	1	n				1	n
	ì		n					n
	ï		å=	X		-		å=	MX
lim P í		n		X	k	-	n		MX	k
n®¥	ï	n			k		n			k
	î		k 1					k 1
	î		k 1					k 1

< ε ï ®1. (2)

ïþ

382

Доказательство.

æ 1	n		ö		1	n		k
ç	å		k ÷			å		k
= M ç		X	÷	=			MX
è n k=1			ø		n k=1

Обозначим Y = 1 ån X , тогда MY =

nk=1

и, так как Xk попарно независимы, тоnn k

DY = Dç

nc =

k ÷

è n k=1

k=1

Применим к случайной величине Yn неравенство Чебышева.

Yn - MYn

³ ε} £

DYn

® 0 при n → ∞ , тогда

ε 2

nε 2

Yn - MYn

< ε} = 1- P{

Yn - MYn

³ ε} ®1 при n → ∞ .

Подставляя вместо Yn и MYn их выражения, получим

соотношение (2). В частном случае,

если все Xk

одинаково

распределены и MXk = a , то из (2) получим

å Xk

- a

(3)

lim P í

< ε ý ®1. □

n→∞

k=1

Если выполняется (3), то говорят, что последовательность

случайных величин {Yn } = í

å Xk ý

сходится к своему среднему

k=1

значению a по вероятности, или, что к этой последовательности применим закон больших чисел.

30. Теорема Бернулли. Пусть имеется n испытаний Бернулли с вероятностью успеха p, где m – число успехов, а q = 1− p , тогда для

любого ε > 0

ì	m			ü

P í			- p	< ε ý	®1, если n → ∞ ,	(4)
		n
î				þ

т.е. частота события A в вероятностном смысле стремится к вероятности события A при неограниченном увеличении числа и с п ы т а н и й .

Эта теорема дает обоснование статистическому определению вероятности, когда при больших n за вероятность события принимают его частоту.

Доказательство. Рассмотрим неравенство Чебышева для схемы независимых испытаний Бернулли. Здесь m – число успехов, и, заменяя в (1) Х на m, МХ на np, ε на nε , получаем

383

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 4938 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.02.2016218.62 Кб37TEST-Kontrolnaya_po_istorii (1).doc
#
18.02.2016107.52 Кб12TEST-Kontrolnaya_po_istorii (1).doc
#
10.11.20196.55 Mб3Tezisy_chast_1._Avtomatizacija_i_mekhanizacija....docx
#
06.09.2019169.47 Кб5Thatcherism.doc
#
18.07.201945.06 Кб2The Baltic Sea Basin .doc
#
18.02.20163.2 Mб59Tom_2.pdf
#
28.09.2019184.55 Кб2Trebovania.rtf
#
18.02.2016176.64 Кб9trebovania_k_oformleniyu.doc
#
18.02.2016284.67 Кб3Trebovania_k_oformleniyu_otchyota_o_praktike.doc
#
28.09.2019248.83 Кб4Trebovania_k_oformleniyu_otchyota_o_praktike.doc
#
18.02.2016248.32 Кб3trebovania_k_oformleniyu_poyasnitelnoy_zapiski.doc