Tom_2

X F = Ym

n

имеет распределение Фишера со степенями свободы ν1 = m и ν2 = n ( F ~ Fm,n ). Таким образом, распределение Фишера F определяется

двумя параметрами m и n.

При больших m и n это распределение приближается к нормальному. Заметим также, что Tn2 = F1,n , где Tn – случайная

величина, имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы ν = n , F1,n – случайная величина, имеющая распределение

Фишера с числами степеней свободы ν1 = 1 и ν2 = n .

Распределение Фишера используется при проверке статистических гипотез и для него составлена табл. П5 критических точек Fα ;ν1;ν2 ,

как правило, при уровнях значимости α = 0,10 ; α = 0,05 ; α = 0,01 .

Например, F0,05;10;10 = 2,98 .

40. Интервальное оценивание математического ожидания случайной величины X с неизвестной дисперсией. Пусть случайная величина X N(a,σ ) , где σ неизвестно. Нужно построить

доверительный интервал для оценки математического ожидания a с заданной доверительной вероятностью γ (надежностью).

Для решения сформулированной задачи по выборке (x1, x2 ,..., xn ) вычисляем выборочное среднее x и исправленную выборочную

дисперсию s2 .

Введем случайную величину

T = x − a , s

n

которая не зависит ни от a, ни от σ и имеет распределение Стьюдента с n – 1 степенью свободы. Можно записать

степенями свободы.

454

По табл. П3 определяем аргумент функции Стьюдента,

50 . Интервальное оценивание среднеквадратичного отклонения нормально распределенной случайной величины.

P(σ - s < δ ) = P(s -δ < σ < s + δ ) = γ .

Преобразуем двойное неравенство в круглых скобках так:

455

Для подобных задач типична ситуация, когда δ < s , т.е. q < 1. Считаем, что последнее выполняется. Тогда из (6’)

ни от a, ни от σ и имеет плотность распределения χ 2 с (n – 1)

степенями свободы.

Получаем окончательные формулы для доверительного интервала:

табл. П4.

При построении доверительного интервала для дисперсии достаточно возвести все члены последнего неравенства в квадрат.

Если q ³ 1, то неравенство (6) приобретает вид

0 < σ < s(1+ q)

и, соответственно, видоизменяется формула (7) для доверительного интервала.

Пример 2. Пусть по выборке объема 20 найдено s = 0,03. Требуется с надежностью γ = 0,90 построить доверительный интервал

χ2 æç1- 0,90 ;20 -1ö÷ = χ 2 (0,05;19) = 30,1.

è2 ø

Доверительный интервал строим исходя из формулы (7):

456

В заключение отметим, что с учетом предельного свойства распределения χ 2 в случае большой выборки (n > 50) для построения

доверительного интервала для σ 2 можно использовать следующую формулу:

где tγ определяется по табл. П2.

§ 5. Статистическая проверка гипотез

10. Статистическая гипотеза. Уровень значимости и мощность критерия. Результаты выборочных исследований широко используются в статистике для проверки предположений, выдвигаемых относительно характера или параметров распределения случайной величины в генеральной совокупности. Такие предположения называются статистическими гипотезами. Гипотеза называется параметрической, если в ней содержится некоторое утверждение о значении параметра известного распределения. Гипотезу, в которой сформулированы предположения относительно вида распределения, называют непараметрической.

Параметрическая гипотеза называется простой, если она содержит только одно предположение относительно параметра; в противном случае имеем дело со сложной гипотезой.

Если исследовать всю генеральную совокупность, то, безусловно, можно было бы наиболее точно установить истинность той или другой гипотезы. Однако такое исследование далеко не всегда возможно, и суждение об истинности статистических гипотез проверяется на основании выборки.

Обычно выделяют некоторую основную или нулевую гипотезу H0 . Наряду с нулевой гипотезой H0 рассматривают альтернативную гипотезу H1 , являющуюся логическим отрицанием H0 . Так,

относительно параметров нормально распределенной генеральной совокупности можно выдвинуть следующие гипотезы:

а) нулевую H0 : a = a0 ; альтернативные – H1 : a ¹ a0 , либо H1 :

a < a0 , либо H1 : a > a0 ;

б) нулевую H0 : σ = σ0 ; альтернативные – H1 : σ ¹ σ0 , либо

H1 : σ < σ0 , либо H1 : σ > σ0 ;

457

Правило, по которому решают о принятии или отклонении гипотезы H0 (соответственно – отклонении или принятии H1 ),

называют критерием. Множество значений статистического критерия разделяется на два подмножества: область S отклонения нулевой

гипотезы и область S принятия этой гипотезы. Если значение x критерия попало в область S, то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза H1 ; если же точка x попала в

S , то принимается H0 , а H1 отвергается.

При этом могут иметь место ошибки двух родов. Если будет принята H1 , тогда как на самом деле верна гипотеза H0 , то это –

ошибка первого рода, ее вероятность обозначают через α:

α = P{x Î S / H0} = P{H1 / H0} ,

где P{H1 / H0} – вероятность того, что будет принята гипотеза H1 , если на самом деле верна гипотеза H0 . Число α называют уровнем

значимости и обычно для α используют стандартные значения: 0,1; 0,05; 0,01 и др.

Если же будет принята гипотеза H0 , тогда как на самом деле верна гипотеза H1 , то такая ошибка – ошибка второго рода, ее вероятность обозначают через β:

β = P{x Î S / H1} = P{H0 / H1} .

Правильные решения также подразделяют на два вида. Если будет принята гипотеза H0 , тогда как и на самом деле в генеральной совокупности она верна, то вероятность такого решения будет

1-α = P{x Î S / H0 } = P{H0 / H0} .

Может быть принята гипотеза H1 , тогда как и на самом деле она верна. Вероятность этого решения равна 1− β :

Число (1) называют мощностью критерия.

Для определения лучшего критерия проверки гипотезы H0

необходимо среди всех критериев, которые имеют одну и ту же вероятность ошибки первого рода, выбрать тот, для которого вероятность ошибки второго рода наименьшая. Допускаемая ошибка первого рода или уровень значимости задаются заранее.

458

20. Критерии согласия. Рассмотрим критерии согласия, которые применяются для проверки непараметрических гипотез о том, что распределение изучаемой случайной величины подчиняется некоторому известному закону распределения, например, нормальному, биномиальному и т.д.

Выдвигается гипотеза о том, что случайная величина X имеет функцию распределения F (x). Выдвижению гипотезы предшествует предварительная обработка опытных данных, например, строится эмпирическая функция распределения или гистограмма. Для сравнения близости эмпирических данных с выдвигаемой гипотезой необходимо выбрать некоторую меру близости, которая, вообще говоря, зависит от характера решаемой задачи. Например, в качестве меры близости можно взять расстояние между гипотетической F и эмпирической Fn функциями одним из следующих способов:

−∞

Отметим, что мера близости – это случайная величина, так как является функцией выборки и характеризуется своим законом распределения.

20.1. Общая схема построения критериев согласия.

1. Выбирается мера близости χ (Fn , F ) , причем желательно,

чтобы она не зависела от конкретного вида функции F, имела достаточно простой вид и была чувствительна к отклонениям опытных данных от предполагаемой гипотезы.

2. Задается вероятность α, называемая уровнем значимости, которая обычно выбирается так: α = 0,05 или α = 0,01 .

3. Решается уравнение P{xα £ x} = α и находится область значений x, которая называется критической областью.

4.По выборке вычисляется значение xq – выборочное значение.

5.Сравнивается выборочное значение xq и xα для заданного уровня значимости. Если xq ³ xα , то это означает, что наблюдение

попало в критическую область, т.е. произошло маловероятное событие. Наступление такого события ставит под сомнение

выдвигаемую гипотезу – она отвергается. Если xq < xα , то делаем

459

заключение, что опытные данные не противоречат выдвигаемой гипотезе.

20.2. Статистический критерий χ 2. Выдвигается гипотеза о законе распределения случайной величины X ~ F(x) (или X ~ f (x) ).

Разбиваем область значений, которые может принимать X на l интервалов D1, D2 ,..., Dl . Вычисляем вероятность попадания случайной величины в каждый интервал при выдвинутой гипотезе:

pk = ò dF или pk = ò f (x)dx = ò F¢(x) dx.

1)если χα2 £ χq2 , то гипотеза отвергается;

2)если χα2 > χq2 , то гипотеза не отвергается.

Пример 1. Проведены 100 замеров температуры Т масла в двигателе при средних оборотах (табл. 1).

Таблица 1

460

С помощью критерия χ 2 Пирсона проверить гипотезу о согласии

выборочного распределения с законом нормального распределения случайной величины T при уровне значимости α = 0,05 .

Решение. 1) Вычисляем точечные оценки параметров нормального распределения

a » x = 46× 4 + 48×13 + 50 ×34 + 52×32 + 54×12 + 56 ×5 = 51. 100

При вычислении σ ≈ s удобно пользоваться формулой

с функцией распределения F(x) в i-й частичный интервал и теоретические частоты npi . Значения функции Лапласа Ф(x) берем из

461

и числу степеней свободы l −1− r = 6 −1− 2 = 3 ( l = 6 – число интервалов, r – число параметров проверяемого закона, рассчитанных

20.3. Статистический критерий Колмогорова. Справедлива также

Теорема Колмогорова. Пусть F (x) – гипотетическая функция распределения случайной величины X, (x1, x2 ,..., xn ) – выборка объема

n и Fn (x) – эмпирическая функция распределения.

Тогда

где Dn = sup Fn (x) - F (x) *.

x

Случайная величина Dn , называемая статистикой Колмогорова, используется для решения следующих задач:

1.Проверка гипотезы H0 : Fn (x) = F(x) , где Fn (x) –

эмпирическая функция распределения случайной величины X,

* При применении данного критерия следует учитывать, что функция F (x) не должна зависеть от параметров выборки.

462

вычисленная по выборке (x1, x2 ,..., xn ) , а F(x) – гипотетическая

функция распределения случайной величины X.

2. Построение доверительных границ для F(x).

При использовании статистики Колмогорова нужно иметь ввиду табл. П6 приложения, в которой для типичных уровней значимости α приведены значения критической точки dα , удовлетворяющей уравнению

Так как распределение статистики Колмогорова Dn не зависит от оцениваемой функции F(x) и в качестве меры расстояния между Fn (x) и F(x) используют максимальное отклонение, то величину Dn

можно применять для построения доверительных границ непрерывной функции распределения F(x).

Для любой неизвестной непрерывной F(x) при произвольном x

Значит, доверительная область есть полоса шириной 2dα , в центре которой находится выборочная функция распределения Fn (x) , причем с вероятностью (1−α) истинная функция распределения F(x) целиком

лежит внутри этой полосы.

Сформулированный результат дает основание для оценивания минимального объема выборки, необходимого для аппроксимации неизвестной функции распределения F (x) с заданной точностью.

В частности, для n ³ 80 имеют место соотношения:

распределения повсюду отстоит от истинной не более чем на 0,161. Рассмотрим применение общей схемы проверки гипотез к задаче

проверки гипотезы о математическом ожидании.

30. Проверка гипотез о математическом ожидании нормальной случайной величины при известной и неизвестной дисперсиях.

30.1. Пусть генеральная совокупность распределена по нормальному закону. Предположим, что значение дисперсии σ известно. Требуется

463