Tom_2

Переходя в (5) к пределу при n → ∞ , получаем теорему Бернулли. □

Пример 1. При штамповке пластинок из пластмассы по данным ОТК брак составляет 3%. Оценить вероятность того, что при просмотре партии в 1000 пластинок, выявится отклонение от установленного процента брака меньше, чем на 1%.

40. Усиленный закон больших чисел. Закон больших чисел (2)

утверждает, что

по вероятности. Усиленный закон больших чисел утверждает, что соотношение (6) выполняется с вероятностью 1, т. е.

Вывод этого закона опускаем.

50. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа. Рассмотрим n испытаний Бернулли с вероятностью успеха p и неуспеха q. Пусть X

есть число успехов в n испытаниях. Вероятность Pn (m) = P{ X = m}

выражается формулой Бернулли. Однако, при больших n вычисления по этой формуле становятся практически невозможными. Для

вычисления вероятностей Pn (m) = pnm используют предельные теоремы.

Предельная теорема Муавра–Лапласа. Пусть x = m - np .

npq

При n → ∞

384

равномерно для всех m, для которых x находится в каком-либо конечном интервале.

Пример 2. При массовом производстве изделий при штамповке вероятность брака равна 0,7. Какова вероятность того, что из 100 взятых наугад изделий окажется 20 бракованных?

Решение. Непосредственный подсчет вероятности C10020 0,2200,880

весьма затруднителен. Используем предельную теорему Муавра-Лапласа. Тогда

60. Теорема Пуассона. Если в серии испытаний Бернулли p = pn зависит от номера испытаний таким образом, что npn ® a при n → ∞ ,

то

Вероятность повреждения в пути равна 0,01. Найти вероятность того, что поврежденных изделий будет не более 3.

Решение. Здесь р = 0,01, n = 200, и для вычисления вероятности применим теорему Пуассона.

a = np = 2 ;

385

§ 9. Центральная предельная теорема. Применения закона больших чисел и центральной предельной теоремы

Нормальный закон является универсальным в том смысле, что при сложении большого числа достаточно произвольных случайных величин получается нормальное распределение. Этот факт устанавливает центральная предельная теорема (ЦПТ). Сформулируем ЦПТ и ее следствие – интегральную теорему Муавра-Лапласа. Рассмотрим применения закона больших чисел и ЦПТ.

10. Центральная предельная теорема. Эта теорема устанавливает предельное распределение сумм большого числа случайных величин.

Пусть X1,..., Xi ,... – независимые и одинаково распределенные

Это значит, что закон распределения случайной величины Yn - na

σ n

неограниченно приближается к нормальному закону с параметрами 0; 1. Итак, универсальность нормального закона заключается в том, что при

соответствующей нормировке распределение последовательности сумм независимых случайных величин сходится к нормальному закону.

Пример 1. Количество тонн цемента, взятое за день с

хватит на квартал (90 дней)?

Решение. Пусть Xi – случайное количество цемента, взятое в i-й

день со склада. Считаем, что эти величины независимы и одинаково распределены с указанным выше рядом распределения. Тогда

386

MXi = 20 , DXi = 200 . В соответствии с ЦПТ закон распределения их суммы за квартал Y90 – приближенно нормальный с параметрами

при больших n нормированное биноминальное распределение близко к нормальному. Этот факт отражает интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа, являющаяся следствием ЦПТ.

Пусть имеется n испытаний Бернулли с вероятностью успеха p; m – число успехов. Тогда для любых фиксированных α и β при n → ∞

справедливо

Для доказательства этой теоремы отметим, что число m можно представить суммой n независимых и одинаково распределенных случайных величин, после чего используем ЦПТ.

Упражнение 1. Доказать интегральную предельную теорему Муавра-Лапласа.

Используя соотношение (2), получим несколько формул, удобных для практических вычислений вероятностей при больших n.

Преобразовывая левую часть (2), находим

Пример 2. Вероятность попадания в цель из скорострельного орудия равна 0,8. Найти вероятность того, что при 900 выстрелах число попаданий будет заключено в границах от 690 до 740.

387

Решение. Имеем: p = 0,8 ; q = 0,2 ; n = 900 ; α = 690 ; β = 740 .

Из формулы (3) получаем

P{690 < m < 740} = Ф(1,667) -Ф(-2,5) = 0,905 - (1- 0,988) = 0,893 . □

Пример 3. При вытачивании болтов наблюдается в среднем 10 % брака. Исследуется партия из 400 болтов. Найти с вероятностью 0,9 пределы, в которых заключено число бракованных болтов в этой партии.

Пример 4. Каково должно быть n, чтобы с вероятностью p0 отклонение частоты от вероятности появления события A в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p не превосходило ε ?

Решение. Из табл. П.2 функции F% (x) по заданной вероятности p0 определим квантиль tp0 функции F% (x), т. е. такое значение tp0 , что F% (tp0 ) = p0 . Из формулы (5) получим ε pqn = tp0 , откуда находим n. □

30. Усреднение влияния независимых факторов. ЦПТ и закон больших чисел, помимо теоретического, имеют важное прикладное значение. Следствием этих утверждений является то обстоятельство, что при очень большом числе случайных факторов их суммарный результат становится более определенным. Поясним это положение примерами.

1. Ошибки округления. Абсолютная погрешность округления числа до k-го разряда есть случайная величина, равномерно

388

распределенная на [-ε; ε ] , где ε = 0,5×10−k . Согласно классической точке зрения при сложении m округленных чисел суммарная ошибка

Согласно правилу трех сигм, с вероятностью 0,9973, то есть фактически

оценку суммарной ошибки округления называют правилом Чеботарева. Если m = 1000 , то классическая оценка имеет вид D £1000ε . В то же

время по правилу Чеботарева получаем D £ 55ε , что согласуется с

практикой. Следовательно, объяснение того факта, что ошибки округления при объемных вычислениях не дают заметных искажений, базируется на ЦПТ.

2. Физические измерения. Стандартная процедура определения значения некоторой физической величины c выглядит следующим образом. Осуществляется серия из n независимых испытаний, в каждом из которых регистрируется значение ci измеряемой

физической величины, которое, строго говоря, является случайным.

распределения, так как фиксированы условия эксперимента. Полагаем, что измерения свободны от систематических ошибок, то есть Mci = c

389

справедливо (6). По этой причине в качестве значения физической величины c берут среднее арифметическое n независимых измерений.

Согласно ЦПТ, ошибка измерения Yn - c имеет распределение,

равенстве (6), количество измерений n следует выбрать удовлетворяющим неравенству

Yn - c < 3σn < D Þ n > 9Dσ22 .

§ 10. Системы случайных величин

Определим систему случайных величин и дадим ее основные характеристики.

10. Системы случайных величин. Часто результат опыта описывается не одной случайной величиной X, а несколькими случайными величинами X1, X2 ,..., Xn .

В этом случае говорят, что указанные случайные величины образуют систему (X1, X2 ,..., Xn ) .

Систему двух случайных величин (X ,Y ) можно рассматривать

как случайную точку на плоскости.

Событие, состоящее в попадании случайной точки (X ;Y ) в

события, заключающегося в одновременном выполнении равенств

390

m n

X = xi , Y = y j , т.е. pij = P{X = xi ;Y = y j } , при этом åå pij =1.

i=1 j=1

Таблица может содержать бесконечное множество строк и столбцов.

Закон распределения системы непрерывных случайных величин (X ,Y ) будем задавать с помощью плотности вероятности f (x, y) .

Вероятность попадания случайной точки (X ;Y ) в область D

определяется равенством

P{( X ; Y ) Ì D} = òò f (x, y)dxdy .

D

Функция f (x, y) обладает следующими свойствами: 10. f (x, y) ³ 0 .

+∞ +∞

20. ò ò f (x, y)dxdy =1.

−∞ −∞

Упражнение 1. Доказать свойства плотности 10, 20.

Если все случайные точки (X ;Y ) принадлежат некоторой конечной области D0 , то условие 20 примет вид òò f (x, y) dxdy =1 .

D0

Математические ожидания дискретных случайных величин X и Y, входящих в систему, определяются так:

а соответствующие характеристики непрерывных случайных величин – по формулам

Как и в § 5, ряды (1) и интегралы (2) предполагаются абсолютно сходящимися.

Точку (mX ;mY ) называют точкой рассеивания системы случайных величин (X ,Y ) .

Дисперсии дискретных случайных величин X и Y определяются формулами

а дисперсии непрерывных случайных величин X, Y, входящих в систему, находятся по формулам

391

Средние квадратичные отклонения случайных величин X и Y определяются так:

Для дисперсий можно использовать также формулы из § 5:

DX = M (X 2 ) - (MX )2 , DY = M (Y 2 ) - (MY )2 .

Пример 1. Пусть (X ,Y ) имеет следующую таблицу распределения:

Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин X и Y.

Решение. Имеем:

mX = 0 × 0 +1×0,2 + 0 ×0,1+1× 0,1+ 0 × 0,5 +1×0,1 = 0,4 ; mY = -1× 0 + 0 ×0,1+1× 0,5 -1× 0,2 + 0 × 0,1+1×0,1 = 0,4 .

О т с и с т е м ы в е л и ч и н (X ,Y ) п е р е й д е м к с и с т е м е

DX = (-0,4)2 ×0 + (0,6)2 ×0,2 + (-0,4)2 ×0,1+ (0,6)2 ×0,1+

+(-0,4)2 ×0,5 + (0,6)2 ×0,1 = (0,6)2 ×0,4 + (0,4)2 ×0,6 = 0,24 ;

DY = (-1,4)2 ×0,2 +(0,4)2 ×0,2 +(0,6)2 ×0,6 = 0,392 + 0,032 + 0,216 = 0,64 . □

20. Ковариация и корреляция. Важную роль в теории систем случайных величин играет корреляционный момент (ковариация)

392

Для дискретных случайных величин корреляционный момент находится по формуле

KXY = åå(xn - mX )( ym - mY ) pnm , m n

а для непрерывных

+∞ +∞

KXY = ò ò (x - mX )( y - mY ) f (x, y)dxdy

−∞ −∞

при условии абсолютной сходимости ряда и интеграла.

Случайные величины X и Y называют некоррелированными, если их корреляционный момент KXY равен нулю, и коррелированными –

в противном случае.

По свойствам математического ожидания

= M ( XY ) - mX MY - mY MX + mX mY = M ( XY ) - mX mY .

Такое выражение для корреляционного момента иногда удобнее для вычислений, и отсюда следует, что независимые случайные величины некоррелированы.

Если корреляционный момент положителен, то случайные величины называются положительно коррелированными, если отрицателен – то отрицательно коррелированными.

Вместо корреляционного момента часто используется

коэффициент корреляции

rXY = -1 при a < 0 .

Это следует из того, что ввиду (6)

D(-aX + Y ) = a2 DX - 2aKXY + DY = D(b) = 0.

Пример 2. Найти коэффициент корреляции rXY для случайных величин X, Y из примера 1.

393