Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Tom_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

3.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 4929 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

2 l

nπ x

где b

f (x)sin

xsin

dx +

- x)sin

dx.

nπ x

Проинтегрируем

по

частям,

полагая

u = x ,

dv = sin

dx ,

nπ x

du = dx и v = -

cos

, получим

nπ

b =

cos

nπ x

sin

nπ x

l è nπ

n2π 2

l ø

nπ x

nπ x ö

nπ

cos

sin

nπ

n2π 2

Следовательно, искомое решение имеет вид

∞

nπ

−

n2π 2t

nπ x

u(x,t) =

sin

или

n=1 n2

∞

−

(2k+1)2π

(2k

+1)π x

u(x,t) =

å(-1)

sin

□

π 2

(2k +1)2

k=0

40. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге методом Фурье. Уравнение теплопроводности для стационарного случая обращается в уравнение Лапласа

¶2u

= 0 ,

¶x2

¶y

¶z2

т.к.

¶u

º 0 . Уравнение Лапласа можно записать в виде

u = 0 . Здесь u

¶t

есть функция только точки и не зависит от времени.

Для задач, относящихся к плоским фигурам, уравнение Лапласа

записывается в виде

¶2u

= 0 .

(30)

¶x2

¶y

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге формулируется следующим образом: найти функцию u = u(x, y) , удовлетворяющую

284

уравнению (30) внутри круга радиусом a и граничному условию u = f (x, y) на границе этого круга, где f – заданная гладкая функция.

Введем полярную систему координат ρ,ϕ по формулам x = ρ cosϕ , y = ρ sinϕ , 0 ≤ ρ ≤ a , 0 ≤ ϕ ≤ 2π с началом в центре круга.

Тогда искомая функция имеет вид u = u(x, y) = u(ρ cosϕ,ρsinϕ) = u(ρ,ϕ) .

Запишем уравнение Лапласа в полярных координатах:

2 %

¶u

= 0 .

(31)

¶ρ

¶ϕ2

Частное решение уравнения (31), в соответствии с методом Фурье,

ищем в виде

ρ,ϕ) = R(ρ)Ф(ϕ) .

(32)

Подставив выражение (32) в уравнение (31) и разделив

переменные, получим

dR ö

ç ρ

d ρ

Ф¢¢

d ρ ø

= -

= λ = const ,

так как левая часть равенства не зависит от ϕ , а правая – от ρ .

Из последнего равенства получаем два уравнения

Ф′′ + λФ = 0,

Ф º 0 ;

(33)

d ρ

÷ - λR

= 0, R º 0 .

(34)

d ρ è

Общим решением уравнения (33) является функция

Ф(ϕ) = Acos

(35)

λϕ + Bsin λϕ ,

где A, B – константы.

Так как функция u%(ρ,ϕ) является 2π -периодической, т.е.

u(ρ,ϕ) = u(ρ,ϕ + 2π ) , то должно быть Ф(ϕ) = Ф(ϕ + 2π ) . Это возможно,
%	%
согласно равенству (35),			при		= n ,	где n = 0,1,... . Следовательно
согласно равенству (35),			при	λ	= n ,	где n = 0,1,... . Следовательно
		Фn (ϕ) = An cos nϕ + Bn sin nϕ ,						(36)
где An , Bn – константы.
	Решение	R = R(ρ)	уравнения			(34) будем	искать в	виде
R = Cρ μ , где		C – константа, отличная от нуля.					Подставим	это
выражение в уравнение (34):
		μ(μ -1)ρμ−2 + μρ μ−2 - λρμ−2 = 0

или

μ(μ -1) + μ - n2 = 0 , откуда μ2 = n2 или μ = ±n .

285

Итак, линейно независимыми решениями уравнения (34) являются функции ρn и ρ−n . Следовательно, общее решение этого уравнения есть

Rn (ρ) = Cn ρn + Dn ρ−n , где Cn и Dn – константы.

Решением уравнения Лапласа является гармоническая функция u%(ρ,ϕ) , непрерывная в круге ρ ≤ a . В таком случае, согласно теореме

Вейерштрасса, эта функция ограничена в круге ρ ≤ a . Вследствие ограниченности решения u%(ρ,ϕ) необходимо положить Dn = 0 , так как в противном случае Rn (r) → ∞ при ρ → 0 .

Таким образом, согласно соотношению (32), частным решением задачи Дирихле для круга является функция

u%n (ρ,ϕ) = (An cos nϕ + Bn sin nϕ)Cn ρn = (an cos nϕ + bn sin nϕ)ρn ,

где an = AnCn , bn = BnCn – константы.

В следствие линейности и однородности уравнения Лапласа его решением будет функция

∞	n	(an cos nϕ + bn sin nϕ ) =
%	n
un (ρ,ϕ ) = å ρ
n=0		(37)
∞		(37)
∞	(an cos nϕ + bn sin nϕ )
= a0 + åρn	(an cos nϕ + bn sin nϕ )

n=1

при условии, что этот ряд сходится и его можно дважды почленно дифференцировать.

Чтобы определить коэффициенты an и bn ряда (37), воспользуемся

условием u	ρ=a =	%	на границе круга	%	= f (ρ cosϕ, ρ sinϕ) .

		f		ρ ≤ a , где f
%

В точках окружности x = a cosϕ , y = asinϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , функция f%

будет зависеть только от ϕ :			f% = f%(ϕ) . Подставив ρ = a в ряд (37),
получим		∞
		∞	n		%
u(a,ϕ) = a0 +		åa	n	(an cosnϕ + bn sin nϕ) =	%
u(a,ϕ) = a0 +		åa		(an cosnϕ + bn sin nϕ) =	f .
%
		n=1
Пусть функция	f%	разложима в ряд Фурье по основной
тригонометрической системе на (0;2π ) , т.е.
	α0	∞
f%(ϕ) =	α0	+ å(αn cos nϕ + βn sin nϕ) ,
f%(ϕ) =	2	+ å(αn cos nϕ + βn sin nϕ) ,
	2	n=1
		n=1

где

286

α0

2π

(ϕ)dϕ ; αn

2π

f%(ϕ)cos nϕdϕ ;

βn =

2π f%(ϕ)sin nϕdϕ .

Сравнивая ряды Фурье для функций u(a,ϕ) и

f (ϕ) , из равенства

u(a,ϕ) =

α0 = 2a0 ,

αn = a

an ,

βn = a

bn , т.е.

f (ϕ) получаем

2π

f% (j)dϕ;

2π f%

(ϕ )cos nϕdϕ;

2π ò0

π an

ò0

(38)

2π

f% (ϕ )sin nϕdϕ, n = 1, 2, ... .

π an

Итак, решением задачи Дирихле для круга радиуса a является ряд (37), коэффициенты которого определяются по формулам (38).

Получим другую форму записи решения этой задачи. Подставим коэффициенты (38) в ряд (37). В результате будем иметь:

u%(ρ,ϕ) = 21π 2òπ

= π1

	∞	ææ	1	2π	ö
f%(θ )dθ +	å	ρn çç		ò	f%(θ )cos nθ dθ ÷cos nϕ +
f%(θ )dθ +		ρn çç	π an		f%(θ )cos nθ dθ ÷cos nϕ +
		çç	π an		÷
	n=1	èè		0	ø

æ	1		2π	ö	ö
+ç				f%(θ )sin nθ dθ ÷sin nϕ ÷		=	(39)
+ç		n ò		f%(θ )sin nθ dθ ÷sin nϕ ÷		=	(39)
ç	π a	n ò		÷	÷
è	π a	0		ø	ø

2π	æ 1			∞	æ ρ ön			ö
ò	ç			å				÷
	f%(θ )ç	2	+		ç		÷	cos n(ϕ -θ )÷dθ.
0	è	2		n=1	è	a ø		ø
0	è			n=1				ø

Преобразуем выражение, стоящее во внешних скобках равенства.

cos n(ϕ -θ ) =

ein(ϕ−θ )

+ e−in(ϕ−θ )

По формуле Эйлера:

. Тогда,

полагая

z =

< 1

(ρ < a)

и пользуясь формулой суммы геометрической

< 1, будем иметь

прогрессии при

∞

ρ ön

∞

åç

÷ cos n(ϕ -θ ) =

åzn (ein(ϕ−θ ) + e−in(ϕ−θ ) ) =

n=1è

a ø

2 n=1

∞ æ

zei(ϕ−θ )

ze−i(ϕ−θ )

n ö

ç1

åç(

)

(

)

n=1è

zei(ϕ−θ )

ze−i(ϕ−θ )

1- z2

ç1

i(ϕ−θ )

1- ze

−i(ϕ−θ ) ÷

1- 2z cos(ϕ -θ ) + z

Подставляя это выражение в равенство (39), получаем

287

%	1	2π	(1- z2 ) f%(θ )
		ò		2	dθ .
u(ρ,ϕ) =	2π		1- 2z cos(ϕ -θ ) + z
		0

Полагая z = ρa , окончательно получаем решение задачи Дирихле в виде

%	1	2π			f (θ )(a2 - ρ2 )
		ò		2		2	dθ .	(40)
u(ρ,ϕ) =	2π		a		- 2aρ cos(ϕ -θ ) + ρ
		0

Выражение (40) называется интегралом Пуассона.

Пример 9. Найти стационарное распределение температуры на однородной тонкой круглой пластинке радиуса R, верхняя половина которой поддерживается при температуре 1°, а нижняя – при температуре 0°.

Решение. Если −π < θ < 0 , то f (θ ) = 0 , а если 0 < θ < π , то f (θ ) = 1. Распределение температуры выражается интегралом:

	1	π			R2 - ρ2
u(ρ,ϕ) =		ò					dθ .
u(ρ,ϕ) =	2π	ò	R	2	- 2Rρ cos(θ -ϕ) + ρ	2	dθ .
	2π	0	R		- 2Rρ cos(θ -ϕ) + ρ
		0

Пусть точка (ρ;ϕ) расположена в верхнем полукруге, т.е.

0 < ϕ < π ;

тогда θ −ϕ изменяется от −ϕ до π −ϕ и этот интервал

длины π

не содержит точек ±π .

Поэтому введем подстановку

θ -ϕ

= t ,

откуда cos(θ -ϕ) =

1- t

, dϕ =

2dt

. Тогда получим

+ t

1+ t2

æ ϕ ö

æ ϕ

сtgç

2 ø

R2 - ρ2

R + ρ

сtgç

u (ρ,ϕ ) =

è 2

dt =

arctg

×t ÷

R - ρ

æ ϕ

æ ϕ ö (R - ρ )

+ (R + ρ )

-tgç ÷

-tgç

è 2

2 ø

R + ρ

öù

êarctg

ctg

+ arctg

÷ú =

R - ρ

- ρ

øû

R + ρ æ

+ tg

çctg

- ρ

arctg

R - ρ è

= -

arctg

R + ρ

ö2

2Rρ sinϕ

R - ρ

или

288

tg(uπ ) = - R2 - ρ2 . 2Rρ sinϕ

Так как правая часть равенства отрицательна, то u при 0 < ϕ < π

удовлетворяет неравенствам 12 < u < 1 . Для этого случая получаем

решение tg(π -uπ) =	R2 - ρ2	, или u =1-	1	arctg	R2 - ρ2	(0 < ϕ < π ) .
	2Rρ sinϕ				2Rρ sinϕ
			π

Если же точка расположена в нижнем полукруге, т.е. π < ϕ < 2π , то интервал (−ϕ;π −ϕ) изменения θ −ϕ содержит точку −π , но не

содержит 0, и можно сделать подстановку ctg θ -2ϕ = t , откуда

cos(θ -ϕ) =	t2	-1	, dθ = -		2dt		. Тогда для этих значений ϕ	имеем

	t2	+1		1		+ t2

		æ ϕ	ö
		tgç	÷
u(ρ,ϕ) = -	1	èò2	ø
u(ρ,ϕ) = -	π	èò2
	π	æ ϕ ö
		-ctgç	÷
		è	2 ø

R2 - ρ2 dt =

(R + ρ)2 + (R - ρ)2 t2

æ R - ρ

öù

= -

êarctgç

+ arctgç

ctg

÷ú.

R + ρ

øû

Производя аналогичные преобразования, находим

		u = -	1	arctg	R2 - ρ2	(π < ϕ < 2π ) .
		u = -	π	arctg	2Rρ sinϕ	(π < ϕ < 2π ) .
			π		2Rρ sinϕ	положительна (sinϕ < 0) , то
Так		как правая		часть теперь		положительна (sinϕ < 0) , то
0 < u <	1 .	□
	2

§ 4. Метод сеток для решения уравнений математической физики

10. Основные понятия метода сеток. В большинстве случаев получить решение дифференциального уравнения в частных производных с помощью элементарных или специальных функций невозможно. В связи с этим важное значение приобретают приближенные методы его решения. Многие краевые задачи решаются численно методом сеток. Сущность этого метода состоит в следующем. Задачу решения дифференциального уравнения в частных

289

производных с непрерывной областью изменения аргументов и краевыми условиями подменяют другой задачей. Вместо непрерывной области изменения аргументов рассматривается соответствующая дискретная область изменения аргументов; дифференциальное уравнение заменяется уравнением в конечных разностях, в которых производные искомой функции в выбранных дискретных точках заменяются разностными отношениями. Граничные и начальные условия должны быть сформулированы для новой задачи. Решение заданного дифференциального уравнения приводится к решению уравнения в конечных разностях, что означает решение системы алгебраических уравнений с большим числом уравнений и неизвестных.

Пользуясь методом сеток, приходится оперировать с приближенными числами. Поэтому следует выяснить, как влияют погрешности, внесенные в начале вычислений, на дальнейшие вычисления, на их точность.

Во многих случаях погрешность, внесенная на некотором этапе расчета, при дальнейших вычислениях возрастает и полученное решение задачи становится чисто формальным, далеким от истинного. Может случиться, что погрешности, внесенные в вычисления, при дальнейших операциях не растут, их влияние уменьшается и не сказывается заметно на окончательном результате вычислений. Принято говорить, что в первом случае вычислительная схема неустойчива, а во втором устойчива. Практически можно пользоваться только устойчивыми схемами.

20. Решение уравнений с двумя переменными. Будем считать x, y декартовыми ортогональными координатами точки на плоскости.

Покроем эту плоскость сеткой x = mh , y = nh ; m, n = 0;±1,... , где h –

заданное положительное число. Вершины каждого квадрата полученной сетки называются узлами, а число h – шагом.

В каждом узле (x; y) при условии, что все шесть точек (x; y) ,

(x − h; y) ,	(x + h; y) , (x; y − h) , (x; y + h) , (x + h; y + h)	принадлежат
области	D задания функции u(x, y) , дважды	непрерывно

дифференцируемой в D, производные, входящие в заданное дифференциальное уравнение в частных производных заменяются соответствующими разностными отношениями. В зависимости от выбора таких отношений можно получать различный вид системы линейных алгебраических уравнений, которую называют разностной схемой.

В данном случае будем считать, что

290

ux ≈	u(x, y) − u(x − h, y)	,
	h

uy ≈	u(x, y) − u(x, y − h)	,
	h

uxx ≈ u(x + h, y) + u(x − h, y) − 2u(x, y)	,
h2		(1)
uxy ≈ u(x + h, y + h) − u(x + h, y) − u(x, y + h) + u(x, y)		(1)
uxy ≈ u(x + h, y + h) − u(x + h, y) − u(x, y + h) + u(x, y)		,
h2

uyy ≈	u(x, y + h) + u(x, y − h) − 2u(x, y)	.

	h2
Рассмотрим в области D уравнение с частными производными.
a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + d(x, y)ux +			(2)
	+l(x, y)uy + f (x, y)u = g(x, y).

Согласно формулам (1) уравнение (2) в каждом узле (x; y) заменим
равенством
a(x, y)[u(x + h, y) + u(x − h, y) − 2u(x, y)] +
+2b(x, y)[u(x + h, y + h) − u(x + h, y) − u(x, y + h) + u(x, y)]+
+c(x, y)[u(x, y + h) + u(x, y − h) − 2u(x, y)]+			(3)
+hd(x, y)[u(x, y) − u(x − h, y)]+ hl(x, y)[u(x, y) − u(x, y − h)]+
	+h2 f (x, y)u(x, y) = h2 g(x, y).

Если точка (x; y) пробегает узлы, которые принадлежат области D,

то (3) дает систему линейных алгебраических уравнений относительно значений функции u(x, y) в указанных узлах. Некоторые из этих

значений либо непосредственно определяются независимо от системы (3), исходя из начальных данных и краевых условий, либо эти последние порождают дополнительные к (3) линейные алгебраические уравнения, которые вместе с системой (3) составляют приближенную сеточную замену всей исходной задачи.

Решение полученной системы алгебраических уравнений принимается за приближенное решение рассматриваемой задачи.

Например, в случае конечно-разностной замены задачи Дирихле для гармонических функций, краевые условия учитываются следующим образом. Обозначим через Qδ совокупность всех

квадратов системы, которые принадлежат области D, по крайней мере, одна из вершин которых удалена от границы S области D на расстояние не большее, чем наперед заданное число δ > h , где h – шаг сетки. В каждом узле (x; y) , который является вершиной квадрата из

Qδ за u(x, y) возьмем заданное на S значение ϕ(x, y) искомой

291

гармонической функции в ближайшей от (x; y) точке границы S. Если

таких точек на S несколько, то произвольно выбираем одно какоенибудь из заданных значений функции ϕ в этих точках и к нему

п р и р а в н и в а е м		u(x, y)	.
Пример 1. В прямоугольнике Q с вершинами в точках A(−3;4) ,
B(3;4) , C(3;−4) ,	D(−3;−4) и границей S найти приближенное решение
задачи Дирихле	uxx + uyy = 0, (x; y) Q
	uxx + uyy = 0, (x; y) Q
	u (x, y) = ϕ (x, y), (x; y) S,
если h = 1, δ = h +	1.
	8

Отдельно рассмотреть случаи, если: а) ϕ(x, y) = 1; б) ϕ(x, y) = y ;

в) ϕ(x, y) = x + y .

Сравнить найденные приближенные решения с точными решениями этих задач.

Решение. Значения u(x, y) в вершинах квадратов Qδ определяются по указанной выше схеме, а u(0,0) , u(0,1) , u(0,−1) (конечноразностная замена уравнения Лапласа в рассматриваемом

случае	имеет	вид
u (x +1, y) + u (x −1, y) + u (x, y +1) + u (x, y −1) − 4u (x, y) = 0 )
определяются из следующей линейной системы:
	4u(0,0) − u(0,1) − u(0,−1) = u(1,0) + u(−1,0),
	u(0,0) − 4u(0,1) = −u(1,1) − u(−1,1) − u(0,2),

u(0,0) − 4u(0,−1) = −u(1,−1) − u(−1,−1) − u(0,2).

В случае а) u(0,0) = u(0,1) = u(0,−1) =1; точное решение – u(x, y) =1.

В	случае	б)	u(0,0) = 0 ,	u(0,1) =	3	,	u(0,−1) = −	3	;	точное
решение – u(x, y) = y .					2			2
решение – u(x, y) = y .
В	случае	в)	u(0,0) = 0 ,	u(0,1) =	3	,	u(0,−1) = −	3	;	точное
решение – u(x, y) = x + y . □					2			2
решение – u(x, y) = x + y . □

30. Решение уравнения теплопроводности методом сеток.

Рассмотрим решение методом сеток одного из уравнений

параболического типа – уравнения теплопроводности (см. § 2 п. 2)
a2	∂2u	=	∂u	.	(4)
	∂x2		∂t

292

Искомая функция u = u(x,t) определяет распределение

температуры в любой точке x стержня длиной l в любой момент времени t. Заданы начальные условия u(x,0) = f (x) (распределение

температуры в начальный момент времени) и краевые (граничные) условия u(0,t) = ϕ(t) , u(l,t) =ψ (t) (тепловые режимы на концах

стержня

в зависимости от времени). Функции f (x) , ϕ(t) , ψ (t) предполагаются

непрерывными.

Выберем систему координат Oxt и в области 0 £ x £ l , t ³ 0 , построим прямоугольную сетку с шагом h по оси Ox и с шагом τ по

оси Ot .	Обозначим	xm = m × h ,	tn = nτ ,	um,n = u(xm ,tn ) ,	назначим
систему	узлов:	(m;n) ,	(m +1;n) ,	(m;n +1) ,	(m −1;n) .

Воспользовавшись одним из наборов формул, выражающих производные через разности, аппроксимируем уравнение (4)

		L(u) = a	2	¶2u	-	¶u	= 0 ,		(5)
				¶x2		¶t
конечно разностным уравнением

a	2 um+1,n - 2um,n + um−1,n					=	um,n+1	- um,n	.
		h2					τ

В задачах рассматриваемого						типа		соотношение между

величинами h и τ может существенно влиять на точность результата вычислений. Величину τ положим равной μh2 = τ , где μ –

положительный числовой множитель, который будет выбран удобным для наших расчетов. Уравнение

2 um+1,n - 2um,n

+ um−1,n

um,n+1 - um,n

μh2

после преобразований примет вид

um,n+1 = μa2um+1,n + (1- 2a2μ )um,n + a2μum−1,n .

(6)

Учитывая, что

um+1,n = u(xm + h,tn ),

um−1,n = u(xm - h,tn ),

m,n+1

= u(x ,t

+τ ) = u (x ,t

+ μh2 )

и воспользовавшись формулой Тейлора, получаем

(u) =

êéa2 (um+1,n - 2um,n + um−1,n )-

(um,n+1

- um,n )úù

293

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 4929 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.02.2016218.62 Кб36TEST-Kontrolnaya_po_istorii (1).doc
#
18.02.2016107.52 Кб12TEST-Kontrolnaya_po_istorii (1).doc
#
10.11.20196.55 Mб3Tezisy_chast_1._Avtomatizacija_i_mekhanizacija....docx
#
06.09.2019169.47 Кб5Thatcherism.doc
#
18.07.201945.06 Кб2The Baltic Sea Basin .doc
#
18.02.20163.2 Mб59Tom_2.pdf
#
28.09.2019184.55 Кб2Trebovania.rtf
#
18.02.2016176.64 Кб9trebovania_k_oformleniyu.doc
#
18.02.2016284.67 Кб3Trebovania_k_oformleniyu_otchyota_o_praktike.doc
#
28.09.2019248.83 Кб4Trebovania_k_oformleniyu_otchyota_o_praktike.doc
#
18.02.2016248.32 Кб3trebovania_k_oformleniyu_poyasnitelnoy_zapiski.doc