Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Tom_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

3.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4926 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

значит, что если мысленно разрезать струну в точке x, то действие одного участка струны на другой (сила натяжения T) будет направлена по касательной к струне в точке x.

Для вывода уравнения колебаний выделим участок струны от x до x + x и спроектируем все действующие на этот участок силы (включая и силы инерции) на оси координат. Согласно принципу Д’Аламбера сумма проекций всех сил должна равняться нулю. Так как здесь изучаются только поперечные колебания, то поэтому можно считать внешние силы и силу инерции направленными вдоль оси Ou.

Кроме того, так как исследуются малые колебания, то в процессе

вывода уравнения будем пренебрегать квадратами величины ¶u(x,t) .

¶x

Длина S дуги AB выражается интегралом

x+Δx		æ	¶u ö2
S = ò	1+ ç ÷			dx » Dx .
x	è		¶x ø
x

Это значит, что удлинения участков струны в процессе колебания не происходит и, следовательно, по закону Гука величина

натяжения T0 = T не зависит ни от времени, ни от x. Найдем

проекции всех сил в момент времени t на ось Ou. Проекция силы натяжения с точностью до бесконечно малых первого порядка равна

(рис.1)

Рис. 1

254

ésinα (x + Dx) - sinα (x)ù = T

tg α (x + Dx)

tg α (x)

ú =

0 ê

1+ tg

(x + Dx)

1+ tg α (x) û

¶u (x + Dx,t)

¶u (x,t )

¶x

= T0 ê

æ ¶u (x + Dx,t) ö2

æ ¶u

(x,t)

ö2 ú »

1+ ç

¶x

» T0

é¶u (x + Dx,t)

¶u (x,t )ù

» T0

¶2u (x,t)

Dx.

¶x

¶x2

Пусть p(x,t)

– непрерывная линейная плотность внешних сил,

тогда на участок AB вдоль оси

Ou действует сила

p(x,t) x . Для

нахождения силы инерции участка AB воспользуемся выражением: –

¶2u

, где m – масса участка. Если

ρ(x)

– непрерывная линейная

¶t2

m = ρ x .

Таким образом, проекция на ось u

плотность струны,

то

силы инерции задается выражением -ρ

¶2u

Dx , а проекция всех сил на

¶t2

ось Ou имеет вид:

u + p(x,t) - ρ(x)

= 0 .

êT ¶

ú Dx

0 ¶x2

¶t2

Следовательно,

¶2u - ρ(x)

¶2u

+ p(x,t) = 0 .

(1)

0 ¶x2

¶t2

Это и есть уравнение вынужденных колебаний струны.

Если ρ ≡ const , то уравнение (1) принимает вид

¶2u

= a

2 ¶2u

+ g(x,t) ,

¶t2

¶x2

где a2 =

, g(x,t) =

p(x,t)

Кроме того, функция u(x,t) удовлетворяет

начальным условиям

t=0 = ϕ(x) ,

¶u

=ψ (x) , где ϕ(x) , ψ (x) –

¶t

t=0

заданные функции.

Приведем вывод краевых условий.

а) Если концы струны жестко закреплены, то u

x=0 = 0 , u

x=l

= 0 .

255

б) В случае свободных концов	для получения условия при
x = 0 , спроецируем на ось Ou силы,	действующие на участок KM

(рис. 2). Так как натяжение в точке x = 0 действует лишь параллельно

оси Ох, то проекция сил натяжения на участке KM равна T					¶u(Dx,t)	.
оси Ох, то проекция сил натяжения на участке KM равна T						.
				0	¶x
Проекция внешней силы равна				p(0,t) x , а проекция силы инерции
равна -ρ	¶2u(0,t)	Dx . Приравнивая к нулю их сумму, будем иметь
равна -ρ	¶t2	Dx . Приравнивая к нулю их сумму, будем иметь
	¶t2		+ p(0,t)Dx - ρ ¶2u(0,t) Dx = 0 .
	T	¶u(Dx,t)			(2)
	T				(2)
	0	¶x		¶t2
		¶x		¶t2

Рис. 2

Устремим	x к нулю, тогда,	вследствие		непрерывности и
ограниченности	входящих функций,	получим	условие		¶u
						= 0 .
Аналогично получается условие на правом конце			¶u		¶x	x=0


				= 0 .
			¶x
				x=l

в) Действие упругих сил заделки на левом конце задается выражением −ku(0,t) . Приравниваем в этом случае проекцию всех

сил, действующих на участок KM, на ось Ou к нулю. К левой части уравнения (2) добавится слагаемое −ku(0,t) . Будем иметь

¶u(Dx,t)

- ku(0,t) + p(0,t)Dx - ρ ¶2u(0,t) Dx = 0 ,

¶x

¶t2

æ ¶u

а при

x → 0 получим ç

¶x

- hu ÷

= 0 , h =

x=0

На правом конце струны (рис. 3) проекция всех сил имеет вид

-T

¶u(l - Dx,t)

- ku(l,t) + p(l,t)Dx - ρ ¶2u(l,t) Dx = 0 ,

¶x

¶t2

поскольку sinα(l - Dx) »

¶u

¶x

x=l− x

256

При	æ ¶u		ö
	x → 0 получим ç	¶x	+ hu ÷
	è		ø

Рис. 3

= 0 .

x=l


г) u	x=0 = μ1(t) , u		x=l	= μ2 (t) , где	функции	μ1(t), μ2 (t)


определяют		закон		движения	концов	струны
(μ1(0) = ϕ(0),		μ2 (0) = ϕ(l)) .

Пример 1. Поставить задачу о колебаниях мембраны (свободно изгибающейся натянутой пленки), занимающей в положении равновесия некоторую область D в плоскости Oxy, ограниченную замкнутой кривой L. Рассмотреть только малые поперечные колебания мембраны в предположении, что она находится под действием равномерного натяжения T, приложенного к краям мембраны.

Решение. Из предположения следует, что если провести линию по мембране в любом направлении, то сила взаимодействия между двумя частями, разделенными элементами линии, пропорциональна длине элемента и перпендикулярна его направлению; величина силы, действующей на элемент ds линии, будет равна Tds. Так как будут рассматриваться только поперечные колебания мембраны, при которых каждая ее точка движется перпендикулярно плоскости Oxy параллельно оси Ou, то смещение u точки (x; y) мембраны будет

ф у н к ц и е й	о т	x ,	y	и	t .
Рассматривая только	малые	колебания	мембраны,		будем

считать, что функция u(x, y,t) , а также ее частные производные по x и

y малы, так что квадратами и произведениями их можно пренебречь по сравнению с самими этими величинами.

Выделим произвольный участок σ мембраны, ограниченный в положении равновесия кривой l. Когда мембрана будет выведена из положения равновесия, этот участок мембраны деформируется в участок σ ′ поверхности мембраны, ограниченной пространственной кривой l′ . Площадь участка σ ′ в момент времени t равна

257

σ ¢ = òò		æ	¶u ö2	æ	¶u ö2
	1+ ç		÷	+ ç	¶y	÷	dxdy » òòdxdy = σ .
σ	è		¶x ø	è		ø		σ
Таким образом, при сделанных предположениях можно
пренебречь изменением			площади				произвольно взятого участка

мембраны в процессе колебаний и считать, что любой участок σ ′ мембраны будет находиться под действием первоначального натяжения T.

Выведем уравнение

поперечных

колебаний

мембраны.

Рассмотрим

произвольный участок σ ′ мембраны. Со

стороны остальной части мембраны на

этот участок действует направленное по

нормали к контуру l′ равномерно

распределенное натяжение T, лежащее в

касательной плоскости

поверхности

мембраны. Найдем проекцию на ось Ou

сил натяжения, приложенных к кривой

Рис. 4

l′ ,

ограничивающей участок σ ′

мембраны в положении равновесия (рис. 4).

Проекция на ось Ou сил натяжения,

приложенных к элементу ds′

контура l′ , равна

¶u

ds¢ , а,

значит,

проекция

на

ось

Ou сил

¶n

натяжения, приложенных ко всему контуру l′ , равна

T ò

¶u ds¢ .

(3)

l′

¶n

Так как при

малых

колебаниях мембраны

можно

считать

ds » ds′ , то в интеграле (3) путь интегрирования l′

можем заменить

на l. Тогда, применяя формулу Грина (см. § 5.5), получим

¶u

= T

òò

æ ¶2u

¶2u ö

(4)

2 ÷

¶n

¶x

¶y

÷dxdy .

σ è

Предположим далее, что на мембрану параллельно оси Ou действует внешняя сила p(x, y,t) , рассчитанная на единицу площади.

Тогда проекция на ось Ou внешней силы, действующей на участок σ ′

мембраны, будет равна
òò p(x, y,t)dxdy .	(5)
σ

Силы (4) и (5) должны в любой момент времени t уравновешиваться силами инерции участка σ ′ мембраны, равными

258

-òòρ(x, y) ¶

2u dxdy ,

где ρ(x, y)

¶t

– поверхностная плотность мембраны.

Таким образом, получаем равенство

ρ (x, y) ¶

u +

òò

u -T ç

u ÷ - p(x, y, t)údxdy = 0.

¶t2

¶x2

¶y2 ÷

Отсюда, в силу произвольности площадки σ , следует, что

ρ(x, y) ¶

(6)

= T ç

÷ + p(x, y,t) .

¶t

¶x

¶y

Уравнение (6) есть дифференциальное уравнение поперечных

колебаний мембраны.

В случае однородной мембраны

ρ = const ,

уравнение малых

колебаний мембраны можно записать в виде

= a2

+ f (x, y,t) ,

(7)

¶t

¶x

¶y

где a =

, f (x, y,t) =

p(x, y,t)

Если внешняя сила отсутствует,

т.е. p(x, y,t) = 0 , то из (7)

получаем уравнение свободных колебаний однородной мембраны

u = a2

÷ .

¶t

¶x

¶y

Как и при рассмотрении колебаний струны, одного уравнения (6) недостаточно для полного определения движения мембраны; нужно

задать в начальный момент времени t = 0

смещение и скорость всех

точек мембраны:

t=0

= ϕ

(x, y) ,

¶u

= ϕ (x, y) .

¶t

t=0

Далее, так как на контуре L мембрана

закреплена,

то

должно

быть u

L = 0

при

любом t ³ 0 . □

20.

Уравнение

теплопроводности.

Рассмотрим

с декартовой

системой

координат

OXYZ

твердое тело

Пусть

259

температура этого тела в любой точке (x; y; z) в момент времени t

определяется функцией u(x, y, z,t) . Тогда производные ∂∂ux , ∂∂uy , ∂∂uz

характеризуют скорость изменения температуры в момент времени t в направлении осей X, Y и Z соответственно. Тело V предполагается изотропным, т.е. его тепловые свойства не зависят от направления. Известно, что теплота переходит из более нагретых мест в менее нагретые. Обозначим через α коэффициент теплопроводности тела, а c – его удельную теплоемкость. Эти величины будем считать постоянными.

Выделим элементарный кубик

(рис. 5) в теле V и составим

для него уравнение теплового баланса.

Количество теплоты, проходящей через переднюю грань кубика

в положительном направлении оси OX за время

t , с точностью

до бесконечно малых высшего порядка равно α ∂u(x, y, z,t) y

z t ,

∂x

где

z – площадь передней грани кубика (предполагается,

что в

пределах этой грани производная

∂u

не меняется).

∂x

Аналогично количество теплоты, проходящей через заднюю грань

в положительном направлении оси OX, равно α ∂u(x +

x, y, z,t) y

z t .

∂x

Отсюда

количество теплоты

Qx , входящей

в кубик

через

заднюю и переднюю грани за время

t ,

Q = α

∂u (x + x, y, z,t)

y z t −α

∂u (x, y, z,t)

y z t ≈

∂x

∂2u (x, y, z,t)

≈ α

y z t.

∂x2

Рассуждая подобным образом, получаем, что количество

теплоты

и Qz ,

вошедшее в

кубик через левую и правую,

нижнюю и верхнюю грани, приближенно равно

= α ∂2u

y x z t;

Q = α ∂2u z x y t.

∂y2

∂z2

Тогда общее количество теплоты

Q , вошедшей в кубик

V за

время

t , приближенно равно

260

			æ	2	u	2	u		2	u
DQ = DQ + DQ	y	+ DQ = α ç		¶	u	+ ¶	u	+	¶	u
x	y	z	ç	¶x	2	¶y	2		¶z	2
			è	¶x		¶y			¶z

÷DxDyDzDt. (8)

По закону сохранения тепловой энергии, в кубике V это количество теплоты равно произведению удельной теплоемкости c,

скорости изменения температуры	¶u	, объема кубика x y z и времени
	¶t

t , т.е. DQ = c ¶¶ut DxDyDzDt . Отсюда и из равенства (8) будем иметь

+ ¶

= c ¶u .

α ç

¶x

¶y

¶z

¶t

Обозначив a2 =

, получаем уравнение теплопроводности тела:

¶u = a2

= a2Du .

(9)

¶t

¶x

¶y

¶z

Уравнение (9) получено в предположении, что внутри тела отсутствуют тепловые источники. Если же плотность тепловых источников (количество поглощенной или выделенной теплоты за

единицу времени в единице объема тела) в теле V равна			F(x, y, z,t) ,
то уравнение теплопроводности принимает вид
	¶u	= a2Du + f (x, y, z,t) ,	(10)

	¶t

где f (x, y, z,t) = F(x, y, z,t) .
αc
Уравнения (9) и (10) получены при условии отсутствия теплового
обмена между поверхностью тела и внешней средой.
Для тела V граничные условия определяются на его
поверхности. Поскольку вдоль поверхности S тело V граничит с
окружающей средой, то в каждой точке S необходимо задать либо
температуру u, либо тепловой поток ¶u	(n – нормаль к S), либо
¶n

теплообмен (перепад температур) с окружающей средой. Таким образом, граничное условие может быть задано одним из возможных способов:

1) u S = f (S,t) , где f (S,t) – известная функция точек поверхности S и времени t;

261

∂u

= F(S,t) , где F(S,t) – заданная функция точек

∂n

поверхности S и времени t;

3) при теплообмене с окружающей средой граничные условия в

общем случае имеют вид

∂u

αu

+ β

= Ф(S,t),

∂n

где α, β – константы; Ф – заданная функция.

Начальные условия для уравнения теплопроводности запишутся

u(x, y, z,t)

t=0 = u(x, y, z,0) = ϕ(x, y, z) ,

где ϕ – заданная функция точек тела V.

Пример 2. Поставить задачу об определении температуры однородного изотропного стержня 0 ≤ x ≤ l с теплоизолированной боковой поверхностью, если его начальная температура есть некоторая функция x, а на концы стержня подается извне заданный

Решение. Температура стержня зависит только от координаты

точки x [0;l]

и времени t, т.е. u = u(x,t) . Внутри стержня источники

тепла отсутствуют, т.е. F(x, y, z,t) ≡ 0 , и уравнение (10) принимает вид

∂u(x,t)

= a2

∂2u(x,t)

, где a2 =

∂t

∂x2

Начальное условие записывается в виде u(x,0) = ϕ(x) , 0 ≤ x ≤ l ,

где ϕ(x) – заданная функция. Граничные условия имеют вид

∂u (0,t)

= −

q (t),

∂u (l,t)

(t), 0 < t < ∞,

∂x

ασ

∂x

ασ

где α – коэффициент теплопроводности, σ

– площадь поперечного

сечения стержня, q1(t)

и q2 (t)

– тепловые потоки (количество тепла,

поступающего в единицу времени) в стержень через его концы.

Таким образом, имеем смешанную задачу:

найти решение u(x,t) уравнения

∂u(x,t)

= a2

∂2u(x,t)

, a2 =

, 0 ≤ x ≤ l, 0 < t < ∞,

∂t

∂x2

удовлетворяющее условиям:

u(x,0) = ϕ(x)

(начальное условие),

262

∂u(0,t)	= −	1	q (t) ,	∂u(l,t) =	1	q	(t) (граничные или краевые
∂x	= −	ασ	q (t) ,	∂u(l,t) =	ασ	q	(t) (граничные или краевые
∂x		ασ	1	∂x	ασ	2	□
				условия).			□
					30. Уравнение диффузии.
				Диффузией				называется
				распространение вещества в какой-
				либо			среде,	обусловленное
				неравномерностью				в ней его
Рис.6				концентрации и происходящее лишь
Рис.6				за счет теплового движения молекул.
				за счет теплового движения молекул.

Рассмотрим примеры явлений диффузии соли в растворителе и диффузии нейтронов в реакторе.

Пример 3. Вывести уравнение диффузии соли в растворителе. Решение. Пусть имеются два сообщающихся сосуда. В одном

из них находится раствор соли, а в другом вода (рис. 6). Обозначим через Sx сечение сосуда, абсцисса которого x, и через Sx+Δx – сечение

сосуда, абсцисса которого x + x .		t количество соли, прошедшее
Предположим, что за время
через сечение Sx (площадь которого равна S), равно
−ν S	∂Ф	t ,
	∂x

где Ф – концентрация раствора в сечении Sx , ν – постоянная величина (коэффициент диффузии). Тогда количество соли, вышедшее за время t

из сечения Sx+Δx , таково:
ν S	∂Ф		t +ν S	∂2Ф		x t .
	∂x			∂x2

Следовательно, количество соли, заключенное в объеме
раствора между сечениями Sx		и Sx+Δx			равно
	ν S		∂2Ф	x	t .		(11)
			∂x2

С другой стороны, это количество соли равно изменению
концентрации раствора, т.е. величине					∂Ф
S x		Ф = S		x		t .	(12)
					∂t

Сравнивая (11) и (12), имеем

263

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4926 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.02.2016218.62 Кб35TEST-Kontrolnaya_po_istorii (1).doc
#
18.02.2016107.52 Кб12TEST-Kontrolnaya_po_istorii (1).doc
#
10.11.20196.55 Mб3Tezisy_chast_1._Avtomatizacija_i_mekhanizacija....docx
#
06.09.2019169.47 Кб5Thatcherism.doc
#
18.07.201945.06 Кб2The Baltic Sea Basin .doc
#
18.02.20163.2 Mб59Tom_2.pdf
#
28.09.2019184.55 Кб2Trebovania.rtf
#
18.02.2016176.64 Кб9trebovania_k_oformleniyu.doc
#
18.02.2016284.67 Кб3Trebovania_k_oformleniyu_otchyota_o_praktike.doc
#
28.09.2019248.83 Кб4Trebovania_k_oformleniyu_otchyota_o_praktike.doc
#
18.02.2016248.32 Кб3trebovania_k_oformleniyu_poyasnitelnoy_zapiski.doc