Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Tom_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

3.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 4927 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

				S	x	∂Ф		t =ν S	∂2Ф		x t ,
				S	x		∂t	t =ν S		∂x2	x t ,
							∂t			∂x2
или	∂Ф	=ν	∂2Ф	.
или	∂t	=ν	∂x2	.
	∂t		∂x2
	Пусть		ν = a2 , тогда дифференциальное уравнение диффузии
имеет вид ∂Ф = a2 ∂2Ф .					□
		∂t		∂x2
	Пример 4. Вывести уравнение диффузии нейтронов в реакторе.
	Решение.			В следствие				утечки		нейтронов через поверхность

реактора, плотность нейтронов n (число нейтронов в 1 см3) и поток ϕ = nν (число нейтронов, пересекающих 1 см2 поверхности в 1 с) не

постоянны по объему реактора. Внутри реактора нейтроны испытывают большое число столкновений и эффективно накапливаются, образуя максимальную плотность в центре реактора. Приближаясь к поверхности, нейтроны с большой скоростью вылетают из реактора, что вызывает уменьшение плотности. Вне реактора поток нейтронов практически равен нулю.

Общее выражение величины теплового потока через единицу поверхности в среде с теплопроводностью k, в которой температура меняется от точки к точке, имеет вид

Q = −k dTdx .

Знак минус указывает, что направление потока обратно направлению возрастания температуры. Если температура T убывает с

ростом координаты x, то градиент dTdx отрицателен и поток идет в

положительном направлении оси Ox.

Основной закон теории диффузии нейтронов формулируется так: результирующий поток нейтронов через поверхность обусловлен различием плотности нейтронов n или потока ϕ = nν в соседних точках.

Нейтронный ток (или поток) через единицу поверхности

264

		dϕ		¢
	I = -D dx = -Dϕ				,

	где D – экспериментальный коэффициент
	диффузии, равный λt		( λ – транспортная
	3		t
	длина свободного пробега). Ток нейтронов
	направлен из области с большим потоком
	ϕ в область с меньшим потоком.
	Пусть имеется		такой настолько
	широкий и плоский реактор в форме
	плиты, что плотность нейтронов внутри
	него меняется только в одном направлении
Рис. 7	по оси Ox (рис. 7).
	Очевидно, что плотность нейтронов,

а также поток ϕ будут максимальными в центре реактора и достаточно

малыми у его краев.

Рассмотрим элемент среды в виде пластинки бесконечно малой толщины dx , площадь которой 1 см2. Результирующий поток наружу из пластинки равен разности токов, проходящих через правую поверхность Iвых и пронизывающих левую поверхность Iвход . Этот

результирующий поток называется утечкой нейтронов из элемента объема материала реактора. Таким образом, утечка равна Iвых - Iвход .

Значения токов через обе поверхности, выраженные через пространственные производные от потоков, есть, соответственно,

-Dϕ′(x + dx) и Dϕ′(x) .

Пусть градиент в точке x + dx представляется линейной функцией

ϕ¢(x + dx) = ϕ¢(x) + æç dϕ¢ ö÷dx ,

èdx ø

где ddxϕ′ – скорость изменения градиента с изменением координаты.

Тогда утечка (убыль) нейтронов из элемента объема толщины dx и единичной площади равна

Iвых - Iвход = -D(ϕ¢(x + dx) -ϕ¢(x)) = -Dæç dϕ¢ ö÷dx =

èdx ø

æ	d	dϕ ö	d 2ϕ
= -Dç		÷dx = -D	dx2	dx.

è dx dx ø

Предполагается, что нейтрон движется по нормали к грани (на самом деле это движение беспорядочно) кубика материала реактора.

265

Рис. 8

По отношению к летающему нейтрону каждое ядро представляет собой некоторую площадку, величину которой обозначим через σ и

назовем поперечным сечением.

Площадь всех ядер в 1 см3 равна Nσ , где N – число атомов в единице объема. Это произведение обычно обозначается буквой Σ и называется макроскопическим поперечным сечением.

Скорость поглощения нейтронов равна Σϕ (в единице объема) или Σϕdx (в тонкой пластинке).

В условиях стационарного процесса прибыль нейтронов равна их утечке плюс поглощение веществом. Тогда балансирующее равенство записывается в виде

f (x)dx = −D d 2ϕ dx + Σϕdx, dx

где f (x) – число тепловых нейтронов, возникающих в каждую

секунду в единице объема. Сокращая на dx , получаем искомое

уравнение диффузии нейтронов

D d2ϕ − Σϕ = − f (x) . □ dx2

40. Телеграфные уравнения. Рассмотрим длинную однородную электрическую линию (цепь), сопротивление R, индуктивность L, утечка G и емкость C которой распределены вдоль провода непрерывно и равномерно и рассчитаны на единицу длины. Для простоты будем считать линию двухпроводной (рис. 8).

Обозначим напряжение между проводами в момент времени t на расстоянии x от некоторого фиксированного начала через u = u(x,t) , а

ток – через i = i(x,t) . Напомним, что коэффициент самоиндукции L связан с ЭДС самоиндукции uc соотношением

uc = L ∂∂ti ; ток смещения iсм и напряжение

между проводами –	формулой i	= C	∂u	(два провода можно

	см		∂t
рассматривать как	конденсатор),	а коэффициент утечки G

с током утечки iy и напряжением – формулой iy = Gu .

266

Выделим участок провода [x; x + dx]. Тогда в момент времени t ток и напряжение в точке x + dx приближенно равны i + ¶¶xi dx и u + ¶¶ux dx

соответственно. Падение напряжения на участке [x; x + dx] провода,

вызванное падением его сопротивления								Rdx , т.е. величиной iRdx ,
и возникновением ЭДС самоиндукции Ldx								¶i , равно
								¶t
æ				¶u		ö			¶i	dx .
u - çu +				¶x		dx÷ = iRdx + L			¶t	dx .
è				¶x		ø			¶t
Отсюда
		¶u			+ Ri + L ¶i		= 0 .			(13)
		¶x				¶t	[x; x + dx], вызванное токами
Изменение же тока				на		участке	[x; x + dx], вызванное токами
утечки и смещения
æ			¶i			ö			¶u
i - çi +					dx÷ = Gudx + C					dx ,
i - çi +			¶x		dx÷ = Gudx + C				¶t	dx ,
è			¶x			ø			¶t
откуда
		¶i			+ Gu + C ¶u		= 0			(14)
	¶x				+ Gu + C ¶u		= 0			(14)
	¶x					¶t

(величины R, L,G,C рассчитаны на единицу длины).

Система соотношений (13) и (14) называется системой телеграфных уравнений относительно u и i. Из этой системы методом исключения можно получить одно уравнение относительно u или i. Продифференцируем уравнение (13) по x, а уравнение (14) по t:

¶2u

+ R

¶i

+ L

¶2i

= 0,

¶x

¶t¶x

¶x

(15)

¶u

¶2u

¶2i

+ G

+ C

= 0.

¶x¶t

¶t

Выразив	¶i	из уравнения (14), а	¶2i	из второго уравнения
	¶x		¶x¶t

системы (15) и подставив их в первое уравнение этой системы,

получим телеграфное уравнение

¶2u	+	RC + LG ¶u	+	RG	u -	1 ¶2u	= 0.	(16)

¶t2		LC ¶t		LC		LC ¶x2

267

Если из системы (15) исключить u, то легко показать, что ток i удовлетворяет телеграфному уравнению

∂2i

RC + LG ∂i

i −

1 ∂2i

= 0.

(17)

∂t2

LC ∂t

LC ∂x2

Сформулируем задачу Коши для телеграфного уравнения.

Рассмотрим бесконечно простирающуюся в обе стороны линию. Для такой линии в начальный момент необходимо задать распределение напряжения и тока:

где f (x),ϕ(x)

t=0 = f (x); i

t=0 = ϕ(x),

(18)

– заданные функции.

Из уравнений (13) и (14) найдем

∂u

∂i

. Из выражения

∂t

(14) следует

t=0

∂i

∂u

+ Gu

t=0 + C

= 0.

∂x

∂t

t=0

∂i

= ϕ′(x) ,

Отсюда,

из первого равенства (18)

и равенства

∂x

t=0

имеем

∂u

= − G f (x) −

ϕ′(x) .

(19)

∂t

t=0

Аналогично получим

∂i

= −

ϕ(x) −

f ′(x) .

(20)

∂t

t=0

Итак, в математической постановке задача о распространении напряжения (тока) вдоль длинной линии сводится к решению телеграфного уравнения (16) (или (17)) при начальных условиях (18) и (19) (или (18) и (20)).

Пример 5. Привести телеграфное уравнение (16) к виду

∂2v	= LC	∂2v	− β 2v ,	(21)
∂x2		∂t2

где β = RC + LG . 2LC

Решение. Исключим из уравнения (16) слагаемое, содержащее ∂∂ut .

Введем для этого замену неизвестной функции u(x,t) = v(x,t)eαt ,

268

где		α – некоторая, пока еще не выбранная постоянная.							Вычисляя
¶u	,	¶2u	и вставляя полученные		выражения		в	уравнение (16),
¶t	,	¶t2	и вставляя полученные		выражения		в	уравнение (16),
¶t		¶t2
умноженное на LC, получаем уравнение
			LCeαt ¶2v	+ eαt (RC + LG +		2α LC) ¶v		+
			¶t2				¶t
			+eαt éα 2 LC +α (RC + LG) + RG			ù v - eαt ¶2v = 0.
			ë			û	¶x2
		Выберем теперь		α так,	чтобы	выполнялось			равенство
RC + LG + 2α LC = 0 , т.е.				положим	α = - RC + LG			, тогда	получим
						2LC

уравнение (21). □

Пример 6. Провод длиной l, по которому проходит переменный ток, покрыт такой хорошей изоляцией, что поток через его поверхность практически отсутствует. Кроме того, активное сопротивление столь мало, что им можно пренебречь. Начальное значение силы тока в проводе равно нулю, а начальное напряжение

задается формулой v(x,0) = E0 sin (2m +1)π x , где m – фиксированное

натуральное число. Оба конца провода изолированы. Поставить задачу нахождения силы тока в каждой точке провода в любой момент времени.

Решение. Если омическое сопротивление и поток через поверхность провода столь малы, что ими можно пренебречь, т.е. можно положить G = 0 , R = 0 , то сила тока i(x,t) , согласно (17),

удовлетворяет

уравнению

¶2i

= a

2 ¶2i

, где

, L –

¶t2

¶x2

индуктивность,

–

емкость

провода.

Поскольку

v(x,0) = E sin (2m +1)π x ,

то

из

формулы

¶v(x,t)

= Ri(x,t) + L ¶i

(x,t) , учитывая, что i(x,0) = 0 , получим

¶x

¶t

E0 (2m +1)π

(2m +1)

¶i (x,0) = -

cos

π x.

¶t

2lL

269

Так как оба конца провода изолированы, искомая функция i(x,t) удовлетворяет однородным краевым условиям i(0,t) = 0 , i(l,t) = 0 . Таким образом задача допускает следующую математическую формулировку: найти решение i(x,t) дифференциального уравнения

∂2i

= a2

∂2i

∂t2

∂x2

удовлетворяющее начальным:

E0 (

2m +1)

(2m +1)π

i(x,0) = 0,

∂i

(x,0) = −

cos

∂t

2lL

и однородным краевым условиям

i(0,t) = 0,

i(l,t) = 0 . □

§3. Методы решения уравнений математической физики

(22)

(23)

(24)

10. Метод Д’Аламбера. Одним из широко используемых способов решения уравнения колебаний струны является метод характеристик, называемый в этом случае методом Д`Аламбера. Рассмотрим задачу Коши для бесконечной однородной струны: требуется найти решение волнового уравнения

∂2u	= a2	∂2u		,	− ∞ < x < +∞;		t > 0	(1)
∂t2	= a2	∂x2		,	− ∞ < x < +∞;		t > 0	(1)
∂t2		∂x2
при начальных условиях			u(x,0) = f (x) ;					(2)
			u(x,0) = f (x) ;					(2)
			∂u		(x,0) = F(x)			(3)
			∂t		(x,0) = F(x)			(3)
			∂t
(рассматриваются только свободные колебания струны).
Для уравнения (1) уравнения характеристик определяются из
соотношения (см. § 1 п. 20)
(dx)2 − a2 (dt)2 = 0, dx m adt = 0 .
Общими интегралами этих уравнений являются прямые x + at = C1
и x − at = C2 , где C1	и C2	– константы. Приводим с помощью замены
ξ = x + at , η = x − at	уравнение (1) к виду					∂2u	= 0 . Решением этого
ξ = x + at , η = x − at	уравнение (1) к виду					∂ξ∂η	= 0 . Решением этого
						∂ξ∂η
уравнения, согласно примеру (1.2) , является функция
u (x,t) = f1 (x + at) + f2 (x − at) ,								(4)

270

где f1, f2 – произвольные, дважды непрерывно дифференцируемые

функции.

Определим их, исходя из начальных условий (2) и (3). При t = 0 из равенств (4) и (2) имеем

f1(x) + f2 (x) = f (x) .

(5)

Аналогично из равенств (4) и (3) при t = 0 получаем

¢(x) - af ¢

(x) = F(x) .

(6)

Интегрируя равенство (6) от 0 до x, находим, что

af1(x) - af2 (x) = òF(t)dt + C ,

(7)

где C – произвольная постоянная.

Разрешив совместно уравнения (5) и (7) относительно

f1 и f2 ,

найдем:

1 x

f (x) =

ç f (x)

F(t)dt + C ÷;

(x) =

1 x

F(t)dt - C

ç f (x) -

÷.

Отсюда и из формулы (4) получаем искомое решение задачи

Коши для бесконечной струны:

x+at

x−at

f (x + at) + f (x - at)

u(x,t) =

F(t)dt -

ò F(t)dt ,

т.е.

x+at

f (x + at) + f (x - at)

u(x,t) =

F(t)dt .

(8)

x−at

Соотношение (8) называется формулой Д’Аламбера для

бесконечной струны.

Пример 1. Найти решение u(x,t) задачи Коши

(−∞ < x < ∞, 0 < t < ∞)

¶2u

u(x,0)

= cos x,

¶u(x,0)

= 0 .

¶t2

¶x2

¶t

имеем

Решение.

Используя формулу

Д’Аламбера (8),

u(x,t) = 12 [cos(x - t) + cos(x + t)] = cos x ×cost . □

271

Пример 2. Найти форму струны, определяемой уравнением

∂2u

= a2

∂2u

в момент времени t =

, если u

t=0 = sin x ,

∂u

= 1.

∂t2

∂x2

∂t

t=0

sin(x + at) + sin(x − at)

x+at

Решение.

Имеем

u =

dt ,

т.е.

x−at

x+at

u = sin xcosat +

или u = sin x cos at + t . Если t =

, то u =

x−at

т.е. струна параллельна оси абсцисс. □

20.

Метод

Фурье

решения

волнового уравнения.

Задача

Штурма-Лиувилля. Рассмотрим задачу колебаний конечной струны,

закрепленной

точках

x = 0

x = l , состоящую

решении

волнового уравнения (1),

0 < x < l , t > 0 при начальных условиях

u (x,0) = f (x),

∂u (x,0)

= F (x),

0 ≤ x ≤ l,

(9)

и при краевых условиях

∂t

u(0,t) = u(l,t) = 0,

t ³ 0 .

(10)

Метод Фурье (разделения переменных) заключается в

отыскании решения в виде

u(x,t) = X (x)T (t) ,

(11)

где

X = X (x) º/

T = T (t) º/ 0

–

дважды

непрерывно

дифференцируемые функции своих аргументов.

Подставляя

выражение

(11)

уравнение (1), получаем

X (x)T ′′(t) = a2 X ′′(x)T (t) ,

откуда

1 T ′′(t)

X ′′(x)

(12)

a2 T (t)

X (x)

Левая часть равенства (12) зависит только от t, а правая – только

от x, поэтому отношение

X ′′

будет константой при любых

x Î[0;l],

T ′′

отношение

также является константой при любых t ³ 0 .

a2T

Таким образом, равенство (12) возможно лишь при

T ′′(t)

X ′′(x)

= −λ = const .

X (x)

a2 T (t)

Отсюда получаем систему обыкновенных дифференциальных

уравнений

T ′′(t) + a2λT (t) = 0;

X ′′(x) + λ X (x) = 0 .

(13)

272

Из граничных условий (10) для функции (11) имеем:

u(0,t) = 0 , откуда X (0)T (t) = 0 ;
и u(l,t) = 0 , откуда X (l)T (t) = 0 .	(14)
Поскольку ищется нетривиальное решение уравнения (1), то
T (t) ≡/ 0 , "t ³ 0 . Отсюда равенство (14) возможно	лишь при
X(0) = X(l) = 0 .
Таким образом, задача отыскания функции X (x) ≡/ 0	сводится к

следующей краевой задаче: найти нетривиальное решение дифференциального уравнения

X ′′(x) + λ X (x) = 0	(15)
при краевых условиях
X (0) = X (l) = 0 .	(16)
Краевая задача (15) – (16) называется задачей Штурма-Лиувилля.
Число λ называется собственным значением	этой задачи, а

отвечающее этому λ нетривиальное решение X (x) – собственной функцией задачи Штурма-Лиувилля.

Если

nπ

, n ,

то

существуют

ненулевые решения

Xn (x) решения ,

уравнения (15). Обозначим через

отвечающие

фиксированному n, а через An

– соответствующие константы, т.е.

(x) = A sin

nπ x

n .

(17)

nπ x

Система функций

sin

является

системой

собственных

функций

(15)

–

(16),

отвечающих

задачи Штурма-Лиувилля

собственным значениям λ =

n2π

Для найденного λ решим уравнение

T ′′(t) + a2λT (t) = 0 , т.е. T ′′(t) +

n2π 2a2

T (t) = 0 .

Его общим решением является функция

T (t) = C cos

nπ at

+ B

sin

nπ at

где Cn , Bn – константы.

Согласно равенству (11), частным решением волнового уравнения (1) является функция

273

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 4927 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.07.201945.06 Кб4The Baltic Sea Basin .doc
#
01.07.20253.53 Mб2therapy.doc
#
01.07.202542.51 Кб1titulny_list_SK_Gras.docx
#
01.07.202511.33 Mб0TOE_Chast1_zept_lab.doc
#
01.03.2025351.62 Кб3tolkanica_Z17_V13_PF_Gr3.docx
#
18.02.20163.2 Mб65Tom_2.pdf
#
01.04.2025579.07 Кб1Torgovo-tekhnologichesky_protsess.doc
#
01.07.202575.26 Кб1TPPR_FZO_BUKhG_UChETVOPROSY_na_ekzamen (1).doc
#
01.03.202581.48 Кб2tpra_26-32.docx
#
01.05.202543.01 Кб2Transport mode characteristics (from the handbo...doc
#
28.09.2019184.55 Кб6Trebovania.rtf