Tom_2

Закон распределения случайной функции X (t) , наряду с

плотностью, можно задать n-мерной функцией распределения.

Например, двумерной функцией распределения случайной функции X (t)

называется неслучайная функция F (x1, x2 ,t1,t2 ) = P( X (t1) < x1, X (t2 ) < x2 ) , которая при фиксированных значениях t1, t2 дает функцию совместного распределения соответствующих сечений X (t1) и X (t2 ) .

30. Характеристики случайных функций. Наиболее полную характеристику случайной функции дают многомерные законы распределения. Однако, как правило, они неизвестны. Поэтому пользуются менее точными, но более подходящими на практике характеристиками, аналогичными числовым характеристикам случайных величин. Характеристики случайной функции являются в общем случае не числами, а функциями. Так, математическое ожидание случайной функции X (t) будет функцией от t.

Действительно, при фиксированном t получим случайную величину X (t) . Математическое ожидание этой величины будет

mX (t) = M [ X (t)] .

Когда t – переменная величина, то mX (t) – также переменная

величина. Таким образом, математическим ожиданием случайной функции X (t) называется такая неслучайная функция, значение которой

при каждом значении аргумента t равно математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции:

−∞

здесь f1(x,t) – одномерная плотность распределения.

Из (4) следует, что математическое ожидание случайной функции X (t) есть какая-то средняя функция mX (t) , около которой

разными способами размещаются конкретные реализации случайной функции (см. рис. 1).

Дисперсией случайной функции X (t) называется неслучайная функция DX (t) , значение которой при каждом значении аргумента t

равно дисперсии соответствующего сечения случайной функции:

∞

DX (t) = D[X (t)] = ò (x - mX (t))2 f1(x,t)dx , t T ,

−∞

404

где f1(x,t) – одномерная плотность распределения случайной функции X (t) , mX (t) – ее математическое ожидание. Дисперсия

случайной функции характеризует степень разброса возможных реализаций случайной функции относительно средней функции mX (t) . Среднее квадратичное отклонение случайной функции равно

квадратному корню из дисперсии случайной функции:

σ X (t) = DX (t) , t T .

Пример 2. Найти математическое ожидание и дисперсию

Решение. Используя свойства математического ожидания и дисперсии, находим:

mX (t) = MX (t) = M (ξ sinωt) = sinωt × Mξ = a sinωt , DX (t) = DX (t) = D(ξ sinωt) = sin2 ωt × Dξ = σ 2 ×sin2 ωt . □

Математическое ожидание и дисперсия являются важными характеристиками случайной функции, однако, для описания основных свойств случайной функции их недостаточно. Поэтому вводится еще одна характеристика, которая называется

корреляционной функцией или функцией связи между сечениями случайной функции.

Корреляционной функцией случайной функции X (t) называется такая неслучайная функция двух аргументов KX (t1,t2 ) , значение которой при каждой паре значений t1 и t2 равно корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции, это значит

−∞ −∞

где f2 – двумерная плотность распределения.

Свойства корреляционной функции.

1) Функция KX (t1,t2 ) симметрична относительно своих

аргументов, т.е. KX (t1,t2 ) = KX (t2 ,t1) . Это следует из (5). 2) KX (t1,t1) = DX (t1) .

Доказательство. Действительно, при t1 = t2 формула (5) имеет

405

Это значит, что при t1 = t2 корреляционная функция случайной

функции равна дисперсии случайной функции.

Вместо корреляционной функции часто пользуются

нормированной корреляционной функцией

что и требовалось доказать. □

5)Если случайную функцию X (t) умножить на неслучайную

ϕ(t) , то корреляционная функция случайной функции умножится

формуле (5),

KX% (t1 ,t 2) = M[(X (t1)ϕ(t1) -ϕ(t1)MX (t1))(X (t 2)ϕ(t 2) -ϕ(t 2)MX (t 2 ))] =

=ϕ(t1)ϕ(t 2)M[(X (t1) - mX (t1)) × (X (t 2) - m X (t 2))] = ϕ(t1)ϕ(t 2)K X (t1 ,t 2),

что и требовалось доказать. □

406

Пример 3. Найти корреляционную функцию случайной

вводится понятие взаимной корреляционной функции. Взаимной корреляционной функцией или корреляционной функцией связи двух случайных функций X (t) и Y (t) называется корреляционный момент

сечений этих функций при любых взятых значениях аргументов t и s:

функций X (t) и Y (t) . Случайные функции X (t) , Y (t) называются коррелированными, когда их взаимная корреляционная функция отлична от тождественного нуля: KXY (t, s) ¹ 0 для некоторых значений t и s. В случае KXY (t, s) º 0 случайные функции X (t) , Y (t) называются

некоррелированными.

Нормированная взаимная корреляционная функция имеет вид:

§ 2. Операции над случайными функциями

407

Рассмотрим операции сложения, дифференцирования, интегрирования случайных функций и соответствующие операции над их основными характеристиками.

10. Сложение случайных функций. Пусть X (t) и Y (t) – две случайные функции одного и того же аргумента с математическими ожиданиями mX (t) , mY (t) . Рассмотрим их сумму

= KX (t1,t2 ) + KXY (t1,t2 ) + KXY (t2 ,t1 ) + KY (t1,t2 ).

Если X (t) и Y (t) – некоррелированны, то KXY º 0 и

KZ (t1,t2 ) = KX (t1,t2 ) + KY (t1,t2 ) .

Это означает, что корреляционная функция суммы двух некоррелированных случайных функций равна сумме корреляционных функций слагаемых. Аналогично определяются математическое ожидание и корреляционная функция для суммы конечного числа случайных функций:

n

Z(t) = åXi (t) .

i=1

Для математического ожидания имеем

Выделим отдельно корреляционные функции и взаимные корреляционные функции. Получим

408

n

KZ (t1,t2 ) = åKXi (t1,t2 ) .

i=1

20. Понятие о дифференцировании и интегрировании случайных функций. Если реализации функции X(t)

дифференцируемы, то производной случайной функции X(t) назовем случайную функцию Y(t), состоящую из производных x′(t) всех

реализаций функции X(t). Аналогично, если реализации функции X(t)

интегрируемы, то интегралом от случайной функции X(t) назовем

t

случайную функцию Y(t), состоящую из интегралов y(t) = ò x(τ )dτ от

0

всех реализаций функции X(t).

Замечание. Строгое обоснование операций дифференцирования и интегрирования случайных функций выходит за рамки данного учебника.

производной случайной функции равно производной ее математического ожидания.

т.е. математическое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от математического ожидания случайной функции.

Корреляционная функция интеграла Z(t) от случайной функции X (t) равна двукратному интегралу от ее корреляционной ф у н к ц и и :

409

0 0

Формулы (4) – (7) доказываются в теории случайных функций. Часто действие изучаемой технической системы (процесса)

можно представить как линейную комбинацию операций дифференцирования и интегрирования, которым подвергаются входные случайные функции. Действие такой системы называют также линейным преобразованием. Формулы (4) – (7) позволяют находить характеристики выходной (преобразованной) случайной функции.

Пример 1. На вход интегратора подается случайная функция X (t) с математическим ожиданием mX (t) = 4t + 5 и корреляционной

функцией KX (t1,t2 ) = cost1 cost2 . Найти характеристики на выходе системы-интегратора.

30. Канонические разложения случайных функций. Одним из простейших методов преобразования случайных функций является метод канонических разложений. Суть метода заключается в том, что случайная функция, над которой нужно произвести преобразование, сначала представляется в виде суммы элементарных (простейших) функций.

Элементарной случайной функцией называется случайная функция вида X (t) = X × f (t) , где X – случайная величина, математическое

ожидание которой равно нулю, а f (t) – неслучайная функция.

Таким образом, в элементарной случайной функции случайная переменная X и детерминированная t разделены.

410

Для элементарной случайной функции M ( X (t)) = 0 . Найдем ее

Это означает, что дисперсия элементарной случайной функции равна дисперсии случайной величины, умноженной на квадрат неслучайной функции. Найдем корреляционную функцию KX (t1,t2 )

элементарной случайной функции:

KX (t1,t2 ) = M [Xf (t1)Xf (t2 )] = f (t1) f (t2 )M (X 2 ) = f (t1) f (t2 )DX ,

где DX – дисперсия случайной величины X.

Производная элементарной случайной функции X (t) равна

[X (t)]¢ = [Xf (t)]¢ = Xf ¢(t) .

Таким образом, производная элементарной случайной функции равна произведению случайной величины на производную неслучайной функции.

Найдем интеграл от элементарной случайной функции:

ò X (t1) dt1 = ò Xf (t1)dt1 = X ò f (t1) dt1 .

Получаем, что интеграл от элементарной случайной функции равен произведению случайной величины на интеграл от неслучайной функции.

Каноническим разложением случайной функции X(t) называется представление ее в виде суммы математического ожидания и взаимно некоррелированных элементарных случайных функций:

которые называются коэффициентами, ϕi (t) – неслучайные функции,

называемые координатными функциями.

Выражение (8) можно записать так:

Теорема 1. Если случайная функция задана каноническим разложением (8), то ее корреляционная функция имеет следующее каноническое разложение:

411

где DXi – дисперсия коэффициента Xi .

Доказательство. На основе определения корреляционной

функция X(t) допускает каноническое разложение вида (8), где коэффициенты Xi имеют дисперсии DXi .

Примем это утверждение без доказательства.

Рассмотрим линейные преобразования случайных функций, заданных каноническими разложениями на примере.

Пример 2. На вход динамической системы, работа которой

Найти каноническое разложение случайной функции Y(t) и ее характеристики на выходе системы.

Y(t) = 2t (1- 2X1 sin 2t + 2X2 cos2t) + 3t2 =

=2t + 3t2 - 4tX1 sin 2t + 4tX2 cos2t.

412

Отсюда M [Y (t)] = 2t + 3t2 . Из формулы (10) получаем

KY (t1,t2 ) = DX1 (−4t1 sin 2t1)(−4t2 sin 2t2 ) +

+DX2 (4t1 cos2t1)(4t2 cos2t2 ) = 32t1 ×t2 cos2(t2 - t1) .

При t1 = t2 = t имеем

D[Y (t)] = KY (t,t) = 32t2 . □

Из примера 2 видно, что функция Y (t) , получаемая на выходе в

результате линейного преобразования канонически заданной случайной функции X (t) , также имеет каноническое разложение.

§ 3. Стационарные случайные функции

Для случайных функций, характеристики которых не зависят от времени, рассмотрим спектральное разложение и спектральную плотность.

10. Понятие стационарной случайной функции. На практике часто встречаются случайные процессы, протекающие во времени примерно одинаково и имеющие вид непрерывных случайных колебаний около некоторого среднего значения. Примерами таких процессов могут служить качка корабля, колебания кузова движущегося автомобиля, колебания крутящего момента силовой передачи и др. Такого вида процессы называются стационарными.

Случайная функция X (t) называется стационарной, если ее

математическое ожидание является постоянной величиной, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов t2 и

Таким образом, корреляционная функция стационарной случайной функции зависит только от одного аргумента. Найдем дисперсию стационарной случайной функции. Как известно, D[X (t)] = KX (t,t) .

Для стационарной случайной функции выполняется свойство KX (-τ ) = KX (τ ) , п о т о м у ч т о KX (t1,t2 ) = KX (t2 ,t1) . З н а ч и т ,

413