- •1.Источники и классификация погрешностей. Неустранимая и вычислительная погрешность.
- •2. Постановка задачи интерполирования. Существование и единственность обобщенного интерполяционного многочлена.
- •3. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
- •4. Схема Эйткина
- •5. Остаточный член интерполяционного многочлена Лагранжа.
- •6. Минимиз. Оценки остаточного члена интерпол. Мн-на.
- •7. Разделенные разности и интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями.
- •8. Конечные разности и интерполяционные формулы Ньютона с конечными разностями.
- •9. Составление таблиц.
- •10. Сходимость интерполяционного процесса
- •11.Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Эрмита с узлами кратности 2.
- •13 . Оптимизация шага при численном диф-нии
- •14. Интерполяционные квадратурные формулы
- •15. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •16. Простейшие квадрат ф-лы н-Кот. И оценка их погрешности.
- •17. Составные квадратурные формулы средних прямоугольников, трапеций, парабол и оценка их погрешности
- •18. Квадратурные формулы Гаусса
- •20. Метод наименьших квадратов.
- •22.Обобщённые мног-ны наилучших среднеквадратических приближений.
- •24. Многочлены наилучших равномерных приближений. Примеры.
- •25. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве.
- •26. Интерполяционные сплайны.
- •27. Существование и единственность кубического сплайна.
- •28.Краткие сведения о нормах векторов и матриц.
- •29. Обусловленность линейных алгебраических систем.
- •30. Метод Гаусса решения системы линейных ур-ний.
- •31. - Разложение квадратных матриц.
- •32. Разложение симметричных матриц. Метод квадр. Корней решения лин. Алг.Систем
- •34. Принцип сжимающих отображений в метрическом пространстве.
- •35. Метод простой итерации решения лин. Алг. Систем и усл. Его сходимости.
- •36. Метод Якоби решения линейных алгебраических систем
- •37. Метод Зейделя решения лин. Алг. Систем.
- •38. Метод покоординатного спуска решения линейных алгебраических систем.
- •39. Метод скорейшего спуска решения линейных алгебраических систем
- •40. Степенной метод решения частичной проблемы собственных значений.
- •41. Метод Данилевского раскрытия характеристического уравнения
- •42. Метод вращений решения полной проблемы собственных значений.
- •43. Метод бисекции и простой итерации решения уравнений с одним неизвестным.
- •44. Методы хорд и касательных как частные случаи метода простой итерации.
- •45. Методы локализации корней алгебраического уравнения.
- •46. Метод Лобачевского решения алгебраических уравнений.
- •47. Методы простой итерации и Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •48. Метод Ньютона и аналоги метода Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •49. Классификация численных методов решения задачи Коши. Методы Эйлера, трапеций и к-э.
- •50. Метод Рунге-Кутта решения задачи Коши. Построение методов р-к второго порядка точности.
- •51. Оценка погрешности и сходимость одношаговых методов решения задачи Коши.
- •52. Экстраполяц. Метод Адамса решения задачи Коши.
- •53. Интерполяционный метод Адамса решения задачи Коши.
- •54. Общий вид линейных многошаговых методов решения задачи Коши.
- •55. Условие корней многошаговых методов решения задачи Коши
- •56. Сходимость многошаговых методов решения Коши.
- •57. Сеточные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •58. Сходимость сеточного метода решения краевых задач для обыкновенных диф. Уравнений.
- •59. Методы прогонки и пристрелки решения разностных схем при решении краевых задач для обыкновенных д.У.
- •60. Эквивалентность граничных и вариационных задач
- •61. Метод Ритца решения вариационных задач.
- •62. Построение системы линейных уравнений для определения значений параметров в методе Ритца.
- •63. Вариационно-разностный вариант метода Рица.
- •64. Сеточные методы решения краевой задачи для уравнения Пуассона. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •Постpоение pазностной схемы
- •65. Основные понятия теории разностных схем.
- •66. Сходимость сеточного метода
- •Фоpмулиpовка исходной дифференциальной краевой задачи
- •67.Метод матричной прогонки решения разностной схемы. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •68. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной задачи
- •69. Разностные схемы решения задачи Коши для уравнения гиперболического типа.
- •70. Сеточные методы решения смешанной задачи для уравнений гиперболического типа.
- •71. Метод квадратур решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода.
- •72. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром.
- •Решение интегр. Ур-ния с вырожденным ядром.
- •73. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода методом вырожденного ядра.
- •Способы приближения невырожденного ядра вырожденным.
55. Условие корней многошаговых методов решения задачи Коши
Рассмотрим задачу Коши , (1) и (2). Навведем сетку, ,. Рассмотрим многошаговый метод, определяемый формулой
, (3). Для реализации вычислений по формуле (3) в начале необходимо найти разгонные значения. берется из (2), находящееся одинаковым методом(например методом Рунге-Кутта).
Если – точное решение задачи (1),(2), то при подстановке его в (3) будем иметь:, (4)
Вычитая из (3)-(4) для погрешности будем иметь уравнения: (5).
Обозначим
,
.
Теперь (5) перепишем в виде
(6). К (6) добавим равенство (7).
Равенство (6),(7) запишем в следующем виде
(8), где ,, а - матрица Фробениуса.
Отметим, что начальное условие для (8) , т.е. компоненты начального вектораесть погрешности, полученные при вычислении разгонных значений одношаговым методом. Уравнение (8) называется канонической формой многошагового метода (3) для погрешностей. Рассмотрим характеристический многочленматрицы , где называется характеристическим многочленом метода (3).
Обозначим через - корни многочлена.
Рассмотрим влияние корней на устойчивость метода (3). Предположим, что некоторыеудовлетворяют условию. Пустьсобственный вектор матрицы, отвечающий собственному значению. Предположим, что начальный векторуравнения (8) таков, что. Тогда, в случае однородного уравнения (8) будем иметь:. Поскольку, то в этом случае общее решение неоднородного уравнения (8) будет содержать быстро растущее по норме слагаемое. А значит, вычисление по (8) будет неустойчивыми, т.е. сильно чувствительными к начальной погрешности. Пусть теперь, но кратностьчислакак корня характеристического уравнениябольше 1, т.е.. Для хар-ой матрицы
при
(строки со второй по линейно независимы). Значит, в канонической форме Жордана матрица будет содержать Жорданову клетку порядка больше 1. Например, если, такой клеткой будет. Очевидно, что, а значит, общее решение уравнения (8) также будет содержать быстро растущее по норме слагаемые. Из всего этого следует следующее утверждение.
Теорема. Для того, чтобы многошаговый метод (3) был устойчивый, необходимо, чтобы все корни характеристического многочлена метода (3) не лежали за пределами единичного круга, а среди корней, лежащих на границе единичного круга, не было кратных.
Опр. Если корни характеристического уравнения (3) удовлетворяет условию теоремы, то говорят, что метод (3) удовлетворяет условию корней.
Лемма. Пусть многошаговый метод (3) удовлетворяет условию корней. Тогда существует векторная норма , что для подчиненной матричной нормы выполняется.
Док-во. Пусть некоторая положительное число. Еслисобственные значения матрицы, то - собственные значения матрицы. Пусть преобразование приводит матрицук канонической форме Жордана. Тогда каждая строка матрицыбудет иметь вид:, где числопринимает значениеилив зависимости от номера строки и кратности числа. Тогда каждая строка матрицыимеет вид:. Пусть кратность корня. Тогда в строках матрицы, содержится число . Поэтому сумма модулей элементов этих строк равна . Пусть кратность корня. Тогда в силу условия корней, а значит при, сумма модулей элементов строки меньше либо равнаипри достаточно большом.
Таким образом, что (9).
Определим вектор норму . Тогда имеем оценку
(10).
Согласно определению подчиненной матричной нормы.
Поэтому из (10) следует, что , а из (9) следует что. Доказано.