50. Метод Рунге-Кутта решения задачи Коши. Построение методов р-к второго порядка точности.

Рассмотрим задачу Коши (1),y(a)=y₀ (2). Будем предполагать, что задача (1)(2) на имеет точное решениеy(x). Определим сетку a=x₀<x₁<_……..<x_n=b. Методы Рунге-Кутта опред. 3 наборами параметров

…………….. ()

(3). Алгоритм задается так:

1)полагаем

2) вычисляем функции

…

3) вычисляем

4) вычисляем

Рассмотрим схему построения методов Рунге – Кутта в случае q=1. В этом случае метод явл. 2 порядка точности, при q=1 исп. 4 параметра: .

Расчетная ф-ла примет вид (3).

Обозначим через интегральную кривую уравнения (1), проход через точку, удовлетворяющую условию. Подставляя ее в (3) получим(4)

разложим левую и правую части равенства (4) по степеням h. Для левой части будем иметь

, где , где,

Правую часть рассмотрим как сложную ф-цию переменной h и произведем разложение в нуле. Будем иметь

Разложение в левых и правых частях слагаемые совпадают

.

Т.о. для определения 4 параметров метода получаем

Задавая произвол образом легко найдем остальные парам-ыт.о. приq=1 получим бесконеч. методов Рунге-Кутта 2-го порядка точн-и. Иногда исп. термин однопараметр-ое семейство Рунге-Кутта. При ,,получаем метод Коши Эйлера.

51. Оценка погрешности и сходимость одношаговых методов решения задачи Коши.

Рассмотрим (1)(2). Пусть задача Коши (1), (2) имеет точное решение. На отрезкезададим сетку. Для численного решения задачи Коши (1), (2) будем использ. одношаг. метод с расчетной формулой вида(3). Приближ. значения решения задачи Коши в узлах сетки, получаемые реально при вычисл. по формуле (3), обозн. через. Эти значения удовл. Рав-ам(4). Здесь- вычислит. погр-ть на шаге при вычислениях по формуле (3). Обозначим черезточные решения задач Коши(5),(6). Подставляя в (3)имеем

(7). Здесь - погр-ть метода на соотв. шаге. Вычитая из равенств (7) равенства (4), получим общую погр-ть на шаге. (8). Проведем оценку погрешностирешения задачи Коши, получаемого по расчетной формуле (3) в узле. Очевидно, искомую погрешность можно записать в виде. (9). Здесь- неустранимая погр-ть решения в узле, которая вызвана погр-юзадания нач. условия; а по-тьвызвана пог-ми метода и вычислит.на соотв. шаге. Для проведения преобразований в формуле (9) нам понадобится след. лемма.Лемма. Пусть - решения д. у.где- непрерывная и непрерывно диф-я по переем.ф-я. Тогда(10), гдезаключено междуи.Док-во. По условию леммы ,.. Здесьзаключено междуи. Так какявл. на расс-ом отрезке непрерывной ф-ей, то, а отсюда следует (10). Лемма доказана. Использ. доказ. лемму, преобр. выражение (9) к виду

. (11)

Здесь заключено междуи, а- междуи.Пусть имеют место оценки

и в рассматр. области изменения аргументов. Тогда из (11) имеем следующую оценку искомой погр-ти. Обознач.. Т.к., то оценку можно переписать в виде

. (12). Введем обозначение . На основании оценки (12) сформулируем достаточные условия сходимости. Одношаговый метод с расчетной формулой (3) сходится, если,при. (13). Итак, получена искомая оценка погрешности (12) и достаточные условия сходимости (13).