- •1.Источники и классификация погрешностей. Неустранимая и вычислительная погрешность.
- •2. Постановка задачи интерполирования. Существование и единственность обобщенного интерполяционного многочлена.
- •3. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
- •4. Схема Эйткина
- •5. Остаточный член интерполяционного многочлена Лагранжа.
- •6. Минимиз. Оценки остаточного члена интерпол. Мн-на.
- •7. Разделенные разности и интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями.
- •8. Конечные разности и интерполяционные формулы Ньютона с конечными разностями.
- •9. Составление таблиц.
- •10. Сходимость интерполяционного процесса
- •11.Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. Интерполяционный многочлен Эрмита с узлами кратности 2.
- •13 . Оптимизация шага при численном диф-нии
- •14. Интерполяционные квадратурные формулы
- •15. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •16. Простейшие квадрат ф-лы н-Кот. И оценка их погрешности.
- •17. Составные квадратурные формулы средних прямоугольников, трапеций, парабол и оценка их погрешности
- •18. Квадратурные формулы Гаусса
- •20. Метод наименьших квадратов.
- •22.Обобщённые мног-ны наилучших среднеквадратических приближений.
- •24. Многочлены наилучших равномерных приближений. Примеры.
- •25. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве.
- •26. Интерполяционные сплайны.
- •27. Существование и единственность кубического сплайна.
- •28.Краткие сведения о нормах векторов и матриц.
- •29. Обусловленность линейных алгебраических систем.
- •30. Метод Гаусса решения системы линейных ур-ний.
- •31. - Разложение квадратных матриц.
- •32. Разложение симметричных матриц. Метод квадр. Корней решения лин. Алг.Систем
- •34. Принцип сжимающих отображений в метрическом пространстве.
- •35. Метод простой итерации решения лин. Алг. Систем и усл. Его сходимости.
- •36. Метод Якоби решения линейных алгебраических систем
- •37. Метод Зейделя решения лин. Алг. Систем.
- •38. Метод покоординатного спуска решения линейных алгебраических систем.
- •39. Метод скорейшего спуска решения линейных алгебраических систем
- •40. Степенной метод решения частичной проблемы собственных значений.
- •41. Метод Данилевского раскрытия характеристического уравнения
- •42. Метод вращений решения полной проблемы собственных значений.
- •43. Метод бисекции и простой итерации решения уравнений с одним неизвестным.
- •44. Методы хорд и касательных как частные случаи метода простой итерации.
- •45. Методы локализации корней алгебраического уравнения.
- •46. Метод Лобачевского решения алгебраических уравнений.
- •47. Методы простой итерации и Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •48. Метод Ньютона и аналоги метода Зейделя решения системы нелинейных уравнений.
- •49. Классификация численных методов решения задачи Коши. Методы Эйлера, трапеций и к-э.
- •50. Метод Рунге-Кутта решения задачи Коши. Построение методов р-к второго порядка точности.
- •51. Оценка погрешности и сходимость одношаговых методов решения задачи Коши.
- •52. Экстраполяц. Метод Адамса решения задачи Коши.
- •53. Интерполяционный метод Адамса решения задачи Коши.
- •54. Общий вид линейных многошаговых методов решения задачи Коши.
- •55. Условие корней многошаговых методов решения задачи Коши
- •56. Сходимость многошаговых методов решения Коши.
- •57. Сеточные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •58. Сходимость сеточного метода решения краевых задач для обыкновенных диф. Уравнений.
- •59. Методы прогонки и пристрелки решения разностных схем при решении краевых задач для обыкновенных д.У.
- •60. Эквивалентность граничных и вариационных задач
- •61. Метод Ритца решения вариационных задач.
- •62. Построение системы линейных уравнений для определения значений параметров в методе Ритца.
- •63. Вариационно-разностный вариант метода Рица.
- •64. Сеточные методы решения краевой задачи для уравнения Пуассона. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •Постpоение pазностной схемы
- •65. Основные понятия теории разностных схем.
- •66. Сходимость сеточного метода
- •Фоpмулиpовка исходной дифференциальной краевой задачи
- •67.Метод матричной прогонки решения разностной схемы. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •68. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения. Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной задачи
- •69. Разностные схемы решения задачи Коши для уравнения гиперболического типа.
- •70. Сеточные методы решения смешанной задачи для уравнений гиперболического типа.
- •71. Метод квадратур решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода.
- •72. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром.
- •Решение интегр. Ур-ния с вырожденным ядром.
- •73. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода методом вырожденного ядра.
- •Способы приближения невырожденного ядра вырожденным.
26. Интерполяционные сплайны.
Сплайн-функция - кусочно-полиномиальная ф-ия, определ-ая на [a;b], имеющ. на нем некот.число непрерывных произв-ых.В выч. практике исп-тся кубические сплайны(к.с.)- сплайн опр-ся с помощью многочленов 3-ей степени. Рассмотрим интерполяц-ый к.с.(и.к.с.) для ф-ии f(x), непрерывной на [a;b].
На[a;b]сетка: a=x0<...<xN=b (1),обознач.
И.к.с для f(x)и данного набора узлов (1)-ф-ия S(x),удовлетв-ая условиям:
на каждом сегменте[xi-1;xi],i=1,..,N, S(x)-мночлен 3-ей степ-и
S(x), ее первая и вторая производные непрерывны на [a;b];
4)
3) - усл-ие интерполирования. В 4) задаются граничные усл-ия.
Теорема. Для любой непрерывной ф-ии f(x) при любом наборе узлов (1) и.к.с S(x)сущ-ет и является единственным.
Д-во. существования - конструктивным методом. На каждом из отр. б. искать ф-июS(x)= Si(x) -многочлен 3-ей степени ()(2) где- коэфф-ты.ai найдем из усл-ий интерп-ния
Доопределим, Остальные коэфф-ты найдем из условий непрерывности 2) и граничных условий 4).
Из 2) для ф-ии S(x) во внутр-х узлах сетки Si-1(xi-1)=Si(xi-1), i=2..N и условия интерполир-ия имеем
Пусть=>(3)
Из усл-ия непрерывности 1-ой производной во внутр-их узлах сеткиимеем
(4)
Из усл-ия непрерывности во внутр-их узлах сеткии граничных условий-->
(5) где доопределено c0=0;
Т.о., получена замкнутая сис-ма ур-ий (3), (4), (5) для опр-ия коэфф-ов к.с.. Покажем,ч. сис-ма имеет 1 решение. Перепишем (3) в виде (6). Комбинируя 2 соседних ур-ия (6):
Подставляя найденное выражение для bi-bi-1 в пр. часть(4) получаем (7):
Из (5):
Подставляя это в (7), получаем сис-му ур-ний для ci : (8) В силу диагонального преобладания (8) имеет 1 решение. Т.к. матрица сис-мы трехдиагональная, решение - методом прогонки, кот. в данном случае устойчива. Ч.т.д.
27. Существование и единственность кубического сплайна.
Теорема. Для любой непрерывной функции при любом наборе узлов(1) интерполяционный кубический сплайнсуществует и является единственным.
Д-во существования проведем конструктивным методом. На каждом из отрезков будем искать функциюв виде многочлена третьей степени
(2)
где - коэффициенты, подлежащие определению.
Коэффициенты найдем из условий интерполирования
Доопределим, кроме того, Остальные коэффициенты найдем из условий непрерывности:
- 2) функция , а также ее первая и вторая производные непрерывны на [a;b]
и граничных условий :
- 4)
Из условия непрерывности функции во внутренних узлах сеткии условия интерполированияимеем
Обозначая , перепишем эти уравнения в виде
(3)
Из условия непрерывности первой производной во внутренних узлах сеткиимеем(4)
Условия непрерывности второй производной во внутренних узлах сеткии граничные условия
приводят к уравнениям (5)
где доопределено
Таким образом, получена замкнутая система уравнений (3), (4), (5) для определения коэффициентов кубического сплайна. Покажем, что эта система имеет единственное решение.
Перепишем уравнения (3) в виде (6)
Комбинируя два соседних уравнения вида (6), имеем
Подставляя найденное выражение для в правую часть уравнения (4), получим
(7)
Далее, из уравнения (5) имеем