45. Методы локализации корней алгебраического уравнения.

Рассмотрим алгебраическое уравнение степени

(1) с вещественными коэф-ми. Уравнение (1) имеет ровно корней с учетом их кратности. Корни алгебраических уравнений степеней 2, 3 и 4 выражаются в радикалах через свои коэффициенты. Корни могут быть как действительные, так и комплексные. При этом, если уравнение (1) имеет корнем комплексное число, то корнем уравнения будет и комплексно сопряженное ему число. Это непосредственно следует из равенства, справедливого для любых комплексных чисел. Таким образом, алгебраические уравнения нечетной степени имеют хотя бы один действительный корень. Для нахождения вещественных корней алгебраического уравнения (1) можно применить методы решения численных уравнений. Верхнюю и нижнюю оценки модуля корней алгебраического уравнения дает

Теорема 1. Если ,, (2)

то все корни уравнения (1) расположены в кольце (3)

Доказательство. Для корня уравнения (1) имеем

. В предположении отсюда имеем. Таким образом, правое неравенство в (3) доказано. При делении равенства (1) наполучим. Отсюда по доказанному имеемили. Теорема доказана.

Для оценки верхней границы положительного корня может оказаться полезной

Теорема 2. Если - максимум абсолютных величин отрицательных коэффициентов уравнения,и первый отрицательный коэффициент в рядуесть, то все положительные корни уравнения меньше(если отрицательных коэффициентов нет, то нет и положительных корней).

Доказательство. Уравнение перепишем в виде

. Отсюда получаем . В предположенииэто даетилиили. Теорема доказана.

Для оценки верхней границы положительного корня может оказаться полезной

Теорема 3 (теорема Ньютона). Если при полиноми все его производныенеотрицательны, томожет быть принято за верхнюю границу положительных корней уравнения.

Доказательство. При на основании формулы Тэйлора имеем, откуда следует справедливость утверждения теоремы.

Для вычисления значения следует пользоваться схемой Горнера, которую можно записать в виде

(5)

Вычисления в схеме Горнера можно описать также рекуррентными соотношениями . (6)

Схема Горнера дает также удобный способ получения частного от деления многочлена на линейный множитель. Действительно, как легко можно убедиться, выражениеобращается в тождество многочленом, коэффициенты которого вычисляются по формулам (6). Нахождение частногои остаткаот деленияна квадратный трехчленможно провести с использованием формул

Эти формулы получаются из тождества

сравнением коэффициентов при одинаковых степенях . Покажем, что вычисление производных многочленав точкесводится к последовательному делению на линейный множитель. Частное от деления многочленанаобозначим через. Тогда можно записать.

При последовательном делении на получаем последовательность многочленов. Коэффициенты многочленов вычисляются по рекуррентным формулам(7). Здесь для симметрии положили. В результате получается представление многочлена

. Сравнивая это выражение с разложением в ряд Тейлора в окрестности точки:, получаем соотношения. То есть, используя рекуррентные соотношения (7), можно найти производные многочленав точке.