4. Лекция 4. Взаимное расположение прямой и плоскости, и двух плоскостей.

4.1. Прямая, параллельная плоскости.

Прямая, параллельная плоскости, если она параллельна какой – либо прямой, принадлежащей плоскости (рис.23).

4.2. Параллельные плоскости.

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (рис.24).

4.3. Прямая, перпендикулярная плоскости.

Прямая, перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым данной плоскости. Из этого следует, что перпендикуляр к плоскости перпендикулярен ко всякой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе к горизонтали и фронтали плоскости. Ранее было доказано, что прямой угол проецируется на плоскость проекций как прямой, если хотя бы одна из его сторон параллельна плоскости проекций. Следовательно, горизонтальная проекция перпендикуляра (на эпюре) перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости; аналогично – фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (рис. 25). Это является графическим признаком перпендикулярности прямой и плоскости.

Рис. 25

Пример: Через точку А провести прямую, перпендикулярную плоскости ВСD.

В плоскости проводят горизонталь (h) и фронталь (f) и затем, используя графический признак перпендикулярности прямой и плоскости, проводят

А₁К₁  h₁ ; А₂К₂ f₂ (рис.26).

4.4. Взаимно - перпендикулярные плоскости.

Построение взаимно - перпендикулярных плоскостей основано на одном из следующих положений:

1. Если прямая перпендикулярна к какой - либо плоскости, то всякая плоскость, проведенная через эту прямую, будет перпендикулярна первой плоскости.

2. Если плоскость перпендикулярна к какой - либо прямой другой плоскости, эти плоскости взаимно перпендикулярны (рис.27).

α  β; КL α ; КL β

Рис.27 Рис.28

Чтобы на эпюре построить плоскость (α), перпендикулярную данной (β), необходимо, чтобы одна из них проходила через перпендикуляр к другой.

Пример:

Через прямую АВ провести плоскость (α), перпендикулярную заданной β (DЕF) (рис.28).

Искомую плоскость задаем пересекающимися прямыми, одна из которых АВ, другая - перпендикуляр к плоскости DЕF. Для этого в плоскости проводим горизонталь (h) и фронталь (f), а затем проводим В₂К₂f₂; В₁K₁h₁,; ВКDЕF; (АВ∩ВК) DЕF.

4.5. Пересечение плоскостей.

Построение линии пересечения плоскостей - одна из основных задач начертательной геометрии. Она относится к так называемым позиционным задачам. К ним относятся задачи на принадлежность геометрических элементов и на пересечение геометрических объектов, например, пересечение прямой или плоскости с поверхностью, пересечение двух поверхностей и, в частности, задача на пересечение двух плоскостей. Две плоскости пересекаются по прямой линии, поэтому для определения линии пересечения плоскостей необходимо определить две точки этой прямой. Для определения двух общих точек линии пересечения проводят две вспомогательные плоскости - посредники частного положения. Каждая вспомогательная плоскость определяет точку, которая одновременно принадлежит двум данным плоскостям (точка К). Рекомендуется вспомогательные плоскости использовать проецирующими, или уровня (рис. 29).

Рис.29

Пример: Построить линию пересечения плоскостей α и β

α (АВ∩ВС); β (DE║FM)

Рис. 30

Алгоритм решения:

γ ∩ α = 1-2; γ ∩ β = 3-4; 1-2 ∩ 3-4 = К;

σ ∩ α = 5-6; σ ∩ β = 7-8; 5-6 ∩ 7-8 = L;

KL = α ∩ β.

Рассмотрим частный случай пересечения плоскостей, когда одна из них проецирующая (рис.31).

Рис.31

Если одна из пересекающихся плоскостей - проецирующая, то одна из проекций ее линии пересечения совпадает с ее проецирующим следом. Горизонтальная проекция К₁L₁ линии пересечения лежит на горизонтальном следе α₁ горизонтально - проецирующей плоскости α. Фронтальная проекция линии пересечения К₂L₂ определяется линиями связи.