- •Передмова
- •Модуль 1. Перетворення тригонометричних виразів. Заняття 1. Загальні відомості з тригонометрії.
- •Основні тригонометричні формули та співвідношення.
- •Заняття 2. Тотожні перетворення тригонометричних виразів.
- •Заняття 4. Перетворення тригонометричних виразів в добуток. Доведення умовних тотожностей.
- •Заняття 5. Тотожні перетворення виразів, що містять обернені тригонометричні функції.
- •Модуль 2. Розв’язання тригонометричних рівнянь. Заняття 6. Тригонометричні рівняння.
- •Найпростіші тригонометричні рівняння.
- •Основні типи тригонометричних рівнянь.
- •Заняття 7. Тригонометричні рівняння II-IV типів.
- •Заняття 8. Тригонометричні рівняння V-VI типів.
- •Заняття 9. Рівняння виду .
- •1. Спосіб введення допоміжного кута.
- •3. Спосіб зведення до однорідного рівняння.
- •Заняття 10. Тригонометричні рівняння VII-VIII типів.
- •Найпростіші тригонометричні нерівності.
- •Розв’язування тригонометричних нерівностей.
- •Заняття 13. Розв’язання тригонометричних нерівностей методом інтервалів.
- •Розв’язком нерівності будуть інтервали
- •Заняття 14. Розв’язання тригонометричних нерівностей .
- •Модуль 4. Системи тригонометричних рівнянь. Заняття 15. Розв’язання систем тригонометричних рівнянь.
- •Системи рівнянь, в яких одне рівняння – алгебраїчне, а друге – сума або різниця тригонометричних функцій.
- •Системи рівнянь, в яких одне рівняння – алгебраїчне, а друге – добуток тригонометричних функцій.
- •Заняття 16. Розв’язання систем тригонометричних рівнянь. Системи рівнянь, в яких одне рівняння – алгебраїчне, а друге – відношення тригонометричних функцій.
- •Системи рівнянь, які утримують лише тригонометричні функції.
- •Заняття 17. Рівняння та нерівності, які містять обернені тригонометричні функції.
- •Нерівності, які містять обернені тригонометричні функції.
- •Заняття 18. Контрольна робота №2.
- •Література
Міністерство освіти і науки України
Миколаївський державний університет імені В.О. Сухомлинського
В.Д. Будак, Л.Я. Васильєва, С.В. Ніколаєнко
Елементарна математика.
Тригонометрія.
Навчально-методичний посібник
Миколаїв
2006
УДК 514.116
ББК 22.151.05
Б 90
Книга рекомендована до друку рішенням вченої ради Миколаївського державного університету імені В.О. Сухомлинського.
Протокол №8 від 17.04.06 р.
Рецензенти: завідувач кафедри вищої математики НУК ім. ад-
мірала Макарова, кандидат фіз.-мат. наук, доцент Кузнецов А. М;
доцент кафедри математики МДУ ім. В.О. Сухомлинського Баран О.І.
ЗМІСТ
Передмова .............................................................................................................
Модуль 1. Перетворення тригонометричних виразів.............................
Заняття 1. Загальні відомості з тригонометрії.........................................
Заняття 2. Тотожні перетворення тригонометричних виразів...............
Заняття 3. Тотожні перетворення тригонометричних виразів. Доведення тригонометричних тотожностей.................................................................
Заняття 4. Перетворення тригонометричних виразів в добуток. Доведення умовних тотожностей.......................................................................................
Заняття 5. Тотожні перетворення виразів, що містять обернені тригонометричні функції.
Модуль 2. Розв’язання тригонометричних рівнянь……………………….
Заняття 6. Тригонометричні рівняння.............................................................
Заняття 7. Тригонометричні рівняння II-IV типів..........................................
Заняття 8. Тригонометричні рівняння V-VI типів….......................................
Заняття 9. Рівняння виду ...................................................
Заняття 10. Тригонометричні рівняння VII-VIII типів….................................
Заняття 11. Контрольна робота №1..................................................................
Модуль 3. Тригонометричні нерівності.............................................................
Заняття 12. Розв’язання найпростіших тригонометричних нерівностей.......
Заняття 13. Розв’язання тригонометричних нерівностей методом
інтервалів.................................................................................................................
Заняття 14. Розв’язання тригонометричних нерівностей ..............................
Модуль 4. Системи тригонометричних рівнянь..............................................
Заняття 15. Розв’язання систем тригонометричних рівнянь..........................
Заняття 16. Розв’язання систем тригонометричних рівнянь.........................
Заняття 17. Рівняння та нерівності, що містять обернені
тригонометричні функції.....................................................................................
Заняття 18. Контрольна робота №2................................................................
Література..............................................................................................................
Передмова
Навчально-методичний посібник створено на основі діючої програми з елементарної математики для студентів спеціальності 6.010100 „Педагогіка і методика середньої освіти. Математика”. Його мета – підвищити рівень підготовки студентів, сформувати й розвити математичне мислення, набути практичних навичок з тригонометрії.
Збірник розбито на чотири модуля. Кожен модуль поділено на практичні заняття у відповідності до кількості годин за програмою. Задачі кожної частини розподіляються за методами або типами завдань. Для кожного типу завдань наводиться певна кількість прикладів з детальним розв’язанням. В кінці кожної частини пропонуються приклади для самостійної роботи студентів.
Такий посібник дає можливість студентам ліквідувати прогалини у знаннях і вміннях, розширити та поглибити свої знання, підвищити рівень своєї підготовки. Створений посібник дає можливість викладачу запропонувати таку систему роботи, яка б враховувала диференційований підхід до кожного студента.
Структура посібника дозволяє ефективно використовувати його для роботи за кредитно-модульною системою.
Зміст посібника може бути цікавим при роботі з обдарованими учнями при підготовці до математичних олімпіад.
Модуль 1. Перетворення тригонометричних виразів. Заняття 1. Загальні відомості з тригонометрії.
Тригонометрія (від грецького trigonom- трикутник і metreo- вимірювати) розділ математики, в якому вивчаються тригонометричні функції, їхні властивості, взаємозв’язки та застосування.
Згадаємо основні факти з тригонометрії.
Значення тригонометричних функцій деяких кутів.
α |
0˚ |
30˚ |
45˚ |
60˚ |
90˚ |
180˚ |
270˚ |
360˚ |
sin α |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
-1 |
0 |
cos α |
1 |
|
|
|
0 |
-1 |
0 |
1 |
tg α |
0 |
|
1 |
|
не існує |
0 |
не існує |
0 |
ctg α |
не існує |
|
1 |
|
0 |
не існує |
0 |
не існує |
sec α |
1 |
|
|
2 |
не існує |
-1 |
не існує |
1 |
cosec α |
не існує |
2 |
|
|
1 |
не існує |
-1 |
не існує |
Приклад 1.1. Обчисліть .
Розв’язання.
= = .
Парність та непарність тригонометричних функцій.
Тригонометричні функції , , , і - непарні, а і - парні, тобто
; ;
; ;
; .
Ці формули виконуються для будь-яких значень , при яких функція існує, і дозволяють будь-яку функцію від’ємного аргументу звести до функції з додатнім аргументом.
Приклад 1.2. Обчисліть .
Розв’язання. Враховуючи парність та непарність тригонометричних виразів, отримаємо
= .
Періодичність тригонометричних функцій.
Функція називається періодичною, якщо виконується умова , де . Число - називається періодом функції . Найменший із додатних періодів періодичної функції , якщо він існує, називається її основним періодом.
Тригонометричні функції періодичні, причому , , , мають період , а основним періодом є . Функції і мають період , а основним періодом є .
Приклад 1.3. Звести функції до найменшого додатного аргументу та обчислити їх:
а) .
б) .
Проміжки знакосталості тригонометричних функцій.
П роміжком знакосталості функції називається множина значень аргументу, для яких функція зберігає свій знак, тобто тільки додатна, або тільки від’ємна.
y y y
y
x x x
Синус і косеканс Косинус і секанс Тангенс і котангенс
Формули зведення.
Існує мнемонічне правило, яке дає змогу записати будь-яку формулу зведення:
1) якщо для кута (де n N) n непарне, то звідна функція змінює назву на кофункцію ( синус на косинус, тангенс на котангенс і т.д.); якщо n парне, то назва звідної функції зберігається;
2) знак перед зведеною функцією ставиться відповідно до знака звідної функції, при цьому кут α вважається гострим. Якщо звідна функція для кута у даній четверті від’ємна, то функцію гострого кута α множать на -1.
Приклад 1.4. Зведіть тригонометричні функції до аргументу, який належить відрізку :
Приклад 1.5. Обчисліть .
Розв’язання.
.