- •Содержание
- •Введение
- •1. Содержание и задачи курса начертательной геометрии.
- •2. Краткая история разработки и развития методов изображений.
- •Принятые обозначения
- •1. Лекция 1. Метод проекций. Эпюр Монжа.
- •1.1. Виды проецирования.
- •1.2. Свойства (инварианты) центральных проекций:
- •1.3. Свойства (инварианты) параллельных проекций:
- •1.4. Метод ортогональных проекций
- •1.5. Ортогональные проекции точки.
- •1.6. Вопросы для самопроверки.
- •2. Лекция 2. Ортогональные проекции прямой линии.
- •2.1. Задание прямой на эпюре.
- •2.2. Натуральная величина отрезка прямой
- •2.3. Точка на прямой линии
- •2.4. Следы прямой линии
- •2.5. Частные положения прямой
- •2.6. Взаимное расположение двух прямых
- •2.7. Угол между пересекающимися прямыми
- •Вопросы для самопроверки.
- •3. Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости.
- •3.1. Способы задания плоскости в пространстве.
- •3.2. Плоскости частного положения.
- •3.7. Вопросы для самопроверки.
- •4. Лекция 4. Взаимное расположение прямой и плоскости, и двух плоскостей.
- •4.1. Прямая, параллельная плоскости.
- •4.2. Параллельные плоскости.
- •4.3. Прямая, перпендикулярная плоскости.
- •4.4. Взаимно - перпендикулярные плоскости.
- •4.5. Пересечение плоскостей.
- •4.6. Пересечение прямой с плоскостью.
- •4.7. Вопросы для самопроверки.
- •5. Лекция 5. Способы преобразования проекций.
- •5.1. Общие положения.
- •5.2. Способ замены плоскостей проекций.
- •5.3. Решение четырех основных задач методом замены плоскостей проекций.
- •Типы задач, решаемые способом преобразования плоскостей проекций.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Лекция 6. Способ вращения.
- •6.1. Сущность способа.
- •6.2. Вращение вокруг горизонтали или фронтали.
- •6.3. Плоскопараллельное перемещение (вращение без указания оси).
- •Вопросы для самопроверки.
- •7. Лекция 7. Кривые линии. Поверхности.
- •7.1. Общие положения. Классификация кривых линий.
- •7.2. Особые точки плоских кривых.
- •7.3. Плоские кривые.
- •7.4. Поверхности. Общие положения.
- •7.5. Классификация поверхностей.
- •7.6. Линейчатые поверхности.
- •Вопросы для самопроверки.
- •8. Лекция 8. Поверхности.
- •8.1. Линейчатые поверхности с двумя направляющими (поверхности Каталана)
- •8.2. Поверхности вращения.
- •8.3. Принадлежность точки или линии поверхности.
- •8.4. Вопросы для самопроверки
- •9. Лекция 9. Пересечение поверхности плоскостью.
- •9.1. Общие положення
- •9.2. Пересечение поверхности вращения плоскостью.
- •9.3. Пересечение гранной поверхности с плоскостью.
- •9.4. Вопросы для самопроверки
- •Лекция 10. Пересечение прямой с поверхностью.
- •10.1. Общие положения
- •10.2. Примеры построения точек пересечения прямой с поверхностью
- •10.3. Вопросы для самопроверки.
- •11. Лекция 11. Взаимное пересечение поверхностей.
- •11.1 Общие положения.
- •11.2. Взаимное пересечение многогранников.
- •Условная развертка поверхностей.
- •11.3. Пересечение многогранной поверхности с криволинейной.
- •11.4. Вопросы для самопроверки.
- •12. Лекция 12. Пересечение кривых поверхностей.
- •12.1. Пример пересечения конуса со сферой.
- •12.2. Частные случаи пересечения поверхностей вращения второго порядка.
- •12.3. Метод концентрических сфер.
- •12.4. Вопросы для самопроверки.
- •13. Лекция 13. Развертки поверхностей.
- •13.1. Общие положения.
- •13.2. Развертывающиеся поверхности и их свойства.
- •13.3. Основные графические способы построения разверток поверхностей.
- •13.4. Построение условных разверток неразвертывающихся поверхностей вращения.
- •13.4. Вопросы для самопроверки.
- •14. Лекция 14. Проекции с числовыми отметками
- •14.1. Сущность метода. Проекции точки.
- •14.2. Проекции прямой
- •Интервал и уклон прямой.
- •14.3. Взаимное положение двух прямых
- •14.4. Проекции плоскости.
- •14.5. Взаимное положение плоскостей
- •Плоскости пересекающиеся
- •14.6. Точка, прямая и плоскость.
- •14.7. Вопросы для самопроверки
- •15. Лекция 15. Проекции с числовыми отметками.
- •15.2. Позиционные задачи в проекциях с числовыми отметками. Пересечение поверхности плоскостью
- •Взаимное пересечение поверхностей.
- •15.3. Вопросы для самопроверки
- •Список литературы
12.3. Метод концентрических сфер.
Для построения линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются, иногда нецелесообразно использовать вспомогательные секущие плоскости, т.к. они могут не дать вспомогательных линий сечения, которые проецировались бы графически простыми линиями.
Прежде чем приступить к построению линии пересечения поверхностей вращения рассмотрим соосные поверхности.
Соосными называются поверхности, имеющие общую ось.
Две соосные поверхности пересекаются по окружностям, перпендикулярным общей оси.
Пример: соосные сфера и конус вращения пересекаются по линиям т и п. Точки А и В, вращаясь вокруг общей оси I, дадут окружности, принадлежащие конусу и сфере, которые и будут линиями их пересечения. Свойство сферы
пересекать соосную с ней поверхность вращения по окружностям (параллелям поверхности) положено в основу способа применения сфер как посредников при нахождении линии пересечения поверхностей вращения. Для того чтобы вспомогательная секущая сфера пересекала по параллелям обе заданные поверхности, центр сферы должен лежать в точке пересечения осей заданных поверхностей. Если оси поверхностей вращения параллельны плоскости проекций, то параллели пересечения вспомогательной сферы с этими поверхностями проецируются на эту плоскость в прямые линии. Это - основа метода секущих концентрических сфер.
Пример: определить линию пересечения тора и конуса (рис. 87).
Заданы поверхности вращения, оси их пересекаются в точке О и по условию лежат в плоскости, параллельной фронтальной плоскости проекций.
Из точки О2 проведем сферу произвольного радиуса R1,, которая тор пересекает по линиям к2 и l2, конус по линиям т2 и п2 в пересечении которых определены точки А2 и В2, которые принадлежат фронтальной проекции линии пересечения тора и конуса.
Изменяя радиус вспомогательных сфер, можно получить какое угодно число точек линии пересечения. Для определения максимального радиуса сферы, необходимо отметить точки пересечения очерковых линий, замерить расстояние от точки O2 до этих точек и наибольшее из этих расстояний будет максимальным радиусом сферы (R3).
Для определения радиуса наименьшей сферы нужно из точки O2 провести нормали к очерковым линиям каждой поверхности (g2 и t2). Больший из полученных отрезков и будет минимальным радиусом вспомогательной сферы (R2). При помощи этой сферы найдена точка Е2. Именно с нее следует начинать искать точки линии пересечения поверхностей. Найденные точки соединяют плавной линией. Если нужно построить проекции этой линии на другие плоскости проекций, то это легко сделать, связав каждую точку пересечения с окружностью, лежащей на этой или другой поверхности вращения.
12.4. Вопросы для самопроверки.
Какие линии получаются при пересечении двух кривых оверхностей?
Назовите частные случаи пересечения поверхностей вращения второго порядка. Какой вид имеют линии пересечения в этих случаях?
Как пересекаются соосные поверхности вращения?
В каких случаях применяется метод соосных концентрических сфер? В чём он заключается?