7.3. Плоские кривые.

Наиболее распространенными являются плоские кривые линии. Касательной в плоскости кривой в некоторой ее точке называется предельное положение секущей, когда две общие с кривой точки сечения, стремясь, друг к другу, совпадут. Нормалью называется прямая, лежащая в плоскости кривой и перпендикулярная касательной в точке ее касания. Секущая и касательная проецируются в секущую и касательную к проекции кривой (рис. 48).

7.4. Поверхности. Общие положения.

В математике под поверхностью подразумевается непрерывное множество точек, между координатами которых устанавливается определенная зависимость.

В начертательной геометрии поверхность рассматривается как непрерывное множество последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Такой способ называется кинематическим.

Линию l, которая при своем движении образует поверхность, называют образующей. Образующая может перемещаться по какой-либо другой неподвижной линии m , называемой направляющей (рис. 49).

Способы задания поверхности на чертеже:

1. Каркас - это сеть линий, состоящая из двух семейств: семейства образующих l₁ 1₂, ...и семействами направляющих т_1, т₂… Каждая линия одного семейства пересекает все линии второго семейства (рис. 50).

2. Очерк - проекция линии контура поверхности (рис. 51).

Контуром поверхности называется линия, точки которой являются точками касания к поверхности проецирующих. При изображении поверхности на чертеже проекцию контурной линии (очерк) называют еще линией видимости, которая является границей, отделяющей видимую часть поверхности от невидимой.

3. Определитель (∆) – это совокупность геометрических элементов и условий, необходимых и достаточных для однозначного задания поверхности в пространстве и на чертеже. Определитель содержит две части – геометрическую и алгоритмическую. Например, цилиндрическая поверхность (см. рис. 52): определитель ее ∆ (l,а); l//S; l ∩ а ).

Из сказанного выше можно сделать следующий вывод: поверхность считается заданной, если относительно любой точки пространства однозначно решается вопрос о принадлежности ее к данной поверхности.

7.5. Классификация поверхностей.

По виду образующей:

1. Линейчатые поверхности - с прямолинейной образующей.

2. Нелинейчатые - с криволинейной образующей.

По закону движения образующей: (т.е. по направляющей)

1. Поверхности вращения.

2. Винтовые поверхности.

3. Поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана).

7.6. Линейчатые поверхности.

Линейчатой поверхностью называется поверхность, образованная перемещением прямолинейной образующей по одной или более направляющим. Возьмем в пространстве три кривые линии l.

Пусть прямая движется так, что в любом своем положении она пересекает все три кривые l₁ l₂, l₃, тогда при своем движении они описывают линейчатую поверхность (рис. 53).

Выберем на направляющей l₁ точку А. Через нее мы сможем провести бесчисленное множество прямолинейных образующих, пересекающих направляющую l₃. Этим самым определяется коническая поверхность с вершиной в точке А. В какой - то момент образующие пересекут линию l₂ - это точка В, в которой коническая поверхность пересечет линию l₂. В зависимости от вида направляющих получаются различные поверхности.

Поверхности с одной направляющей:

1. Коническая - образуется движением прямой линии l (образующей) по некоторой кривой линии m и имеющей неподвижную точку S (рис. 54).

2. Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой l (образующей) по некоторой кривой т параллельно самой себе или имеющей постоянное направление S ∆(т,1|| S) (рис. 55).

3. Торсовая поверхность образуется движением прямой l, касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной направляющей кривой т, называемой ребром возврата ∆ (т,l) (рис.56).

4. Многогранные поверхности – это поверхности, образованные частями (отсеками) пересекающихся плоскостей.

Если направляющая т ломаная, а все образующие l пересекаются в одной точке, такая поверхность называется пирамидальной (рис. 57); если все образующие параллельны - поверхность называется призматической (рис. 58).

Многогранником называется тело, ограниченное многогранной поверхностью, состоящей из плоских многоугольников. Отсеки плоскостей называются гранями, а линии их пересечения - ребрами. Точки пересечения ребер называются вершинами.

Поверхность с замкнутой ломаной направляющей (m), общей точкой пересечения образующих ребер и граней называется пирамидой (рис.59).

Поверхность с замкнутой ломаной направляющей (m) (основанием) и взаимно параллельными ребрами - призма (рис.60).

Если ребра призмы перпендикулярны основанию, гранник называется проецирующей призмой (рис.61).