4. Вопросы для самопроверки.

1. В чём сущность преобразования проекций способом вращения?

2. В чем сущность преобразования проекций способом вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости?

3. В чём сущность способа преобразования проекций способом вращения вокруг горизонтали или фронтали?

4. Каковы основные принципы способа плоскопараллельного перемещения?

5. Как определить натуральную величину отрезка прямой способом плоскопараллельного перемещения?

7. Лекция 7. Кривые линии. Поверхности.

7.1. Общие положения. Классификация кривых линий.

Кривой линией называется геометрическое место (непрерывное множество) последовательных положений точки, движущейся в пространстве.

Кривые линии широко применяются в различных областях науки и техники, а также для образования поверхностей различных архитектурных деталей и конструкций, зданий и сооружений.

Кривые линии по положению точек в пространстве делятся на два вида:

1. Плоские кривые - это кривые, все точки которых лежат в одной плоскости; к ним относятся - окружность, парабола, гипербола, эллипс и т.д.

2. Пространственные кривые - это кривые, точки которых не лежат в одной плоскости. К ним относятся винтовые линии, линии пересечения двух кривых поверхностей и т.д.

Кривые линии подразделяются и по другим признакам. Кривая может быть описана аналитически, т.е. уравнением (алгебраическим или трансцендентным), например эллипс, парабола, синусоида и т.д. Если образование кривой не имеет строгой закономерности, то она задается графически, например, горизонтали на плане местности. Степень уравнения, которое выражает алгебраическую кривую, определяет порядок кривой. Геометрически порядок плоской кривой определяется числом ее точек пересечения прямой линией. Примером может служить эллипс, его уравнение - это аналитически;

геометрически:

следовательно, эллипс - кривая второго порядка. Порядок пространственной кривой определяется числом точек пересечения кривой с плоскостью.

Кривая т - кривая четвертого порядка (рис. 47).

7.2. Особые точки плоских кривых.

Точки перегиба (н) - точки, в которых кривая проходит на другую сторону касательной прямой, сохраняя касание.

Двойная или узловая точка (А) - это точка, в которой кривая пересекает сама себя. В точке А кривая имеет две различные касательные t₁ и t₂.

Точки возврата первого ряда (В), в которой кривая подходит к точке двумя ветвями, имеющими в точке В общую касательную, расположенными по разные стороны от касательной.

Точки возврата второго ряда С, в которой кривая подходит к точке двумя ветвями, имеющими в точке С общую касательную, расположенными (вблизи точки С) по одну сторону от обеих ветвей кривой.

Все точки кривых сохраняют свои особенности при параллельном проецировании.

В начертательной геометрии кривые линии изучаются по их проекциям. Свойства проекций кривой:

1. В общем случае проекции кривой линии являются также кривыми линиями;

2. Если точка принадлежит кривой линии, то ее проекции принадлежат одноименным проекциям этой кривой;

3. Касательная к кривой линии проецируется в касательную к проекции этой кривой, если направление проецирования не параллельно касательной.