13. Лекция 13. Развертки поверхностей.

13.1. Общие положения.

В инженерной практике развертывание поверхностей находит применение при разработке чертежей для раскроя плоского листового материала. Способы развертки поверхностей используются при проектировании тентовых сооружений, при строительстве резервуаров различной формы, воздуховодов и т.д. Обычно поверхность рассматривают как гибкую нерастяжимую оболочку. Развертыванием поверхности называется такое преобразование ее, в результате которого поверхность совмещается с плоскостью без складок и разрывов, а плоская фигура, полученная в результате этого преобразования, называется разверткой. В противном случае поверхность называется неразвертывающейся, и тогда для построения развертки ее разбивают на части, которые можно приближенно заменить развертывающимися поверхностями, а затем строить развертки этих частей.

13.2. Развертывающиеся поверхности и их свойства.

Поверхность Q называется развертывающейся (рис. 88) на плоскость Q , если поверхность и ее развертку можно рассматривать как точечные множества, между которыми устанавливается взаимно однозначное соответствие. Это соответствие обладает рядом важных свойств.

Свойство 1. Каждой точке поверхности соответствует единственная точка на

ее развертке М₀ – M₀.

Свойство 2. Каждой кривой линии на поверхности в общем случае соответствует кривая на ее развертке, длина кривой линии равна длине ее преобразова-

ния S (AB )→ S(A B).

Свойство 3. Угол между кривыми линиями (угол между касательными к кривым в точке их пересечения) на поверхности равен углу между преобразова-

ниями этих кривых линий на развертке  φ = φ.

Свойство 4. Замкнутая линия на поверхности и соответствующая ей линия на

развертке ограничивают одинаковую площадь: площадь F = площадь F. Если какой - нибудь дуге CD, расположенной на поверхности, соответствует на раз-

вертке отрезок прямой C D, то дуга CD будет кратчайшей на поверхности и будет называться геодезической линией.

В курсе дифференциальной геометрии доказывается, что линейчатая поверхность – развертывающаяся, если касательная плоскость, проведенная в какой – нибудь точке поверхности, касается ее во всех точках прямолинейной образующей, проходящей через эту точку. Значит, у развертывающейся линейчатой поверхности касательная плоскость во всех точках одной образующей постоянна. К числу развертывающихся поверхностей относятся многогранные поверхности; из линейчатых – цилиндрические, конические, торсовые. Для многогранных поверхностей строят точные развертки, построение которых сводится к определению натуральных величин граней и затем построению их последовательно на чертеже. Для линейчатых поверхностей строят приближенные развертки, при этом заданную поверхность заменяют (аппроксимируют) другой, которая или вписана в данную поверхность, или описана около нее, и которая развертывается.