11.4. Вопросы для самопроверки.

1. Какое пересечение поверхностей называют полным и неполным?

2. Объясните на графическом примере общую схему построения линий пересечения поверхностей.

3. Назовите основные способы построения линий пересечения поверхностей.

4. Опишите способы секущих плоскостей и сферических посредников при определении линии пересечения поверхностей.

5. Изложите общие принципы выбора вспомогательных секущих плоскостей и сфер при построении линии пересечения поверхностей.

6. В какой последовательности соединяются точки искомой линии пересечения поверхностей и как определяется видимость линии?

7. . Объясните схему нахождения главных точек линии пересечения поверхностей.

8. Назовите способы построения линии пересечения гранных поверхностей.

9. Что из себя представляет линия пересечения гранной поверхности с криволинейной?

12. Лекция 12. Пересечение кривых поверхностей.

12.1. Пример пересечения конуса со сферой.

При пересечении двух кривых поверхностей получается пространственная кривая, которая в частных случаях может распадаться на несколько частей. Точки этой линии строятся с использованием основного алгоритма.

Пример: определить линию пересечения конуса с частью сферы (рис. 82).

При построении воспользуемся горизонтальными плоскостями - посредниками (а, β, γ) т.к. именно эти плоскости дают в сечении с заданными поверхностями простейшие линии (параллели).

От пересечения заданных поверхностей плоскостью а основания конуса и экватора сферы получаем точки 1 и 2, плоскости β - точки 3 и 4, плоскости γ-точки 7 и 8. Точка 5 - точка видимости линии сечения находится при помощи плоскости σ (σ // П₂; σ  S). Для нахождения высшей точки линии сечения проводим через оси заданных поверхностей плоскость ω₁, перпендикулярную горизонтальной плоскости проекций. Для упрощения построения заменим плоскость П₂ на П₄, для плоскости П₄ плоскость ω является плоскостью главных меридианов обеих поверхностей, и следовательно, точка пересечения очерковых линий поверхностей на плоскости П₄ является высшей точкой (точка 6). Полученные точки соединяют плавной кривой, которая идет через точки 1-3-7-6-8-5-4-2.

12.2. Частные случаи пересечения поверхностей вращения второго порядка.

При пересечении поверхностей второго порядка линией пересечения в общем случае является пространственная кривая четвертого порядка. Эта кривая пересекается с плоскостью в четырех точках (действительных и мнимых). Порядок линии пересечения равен произведению порядков пересекающихся поверхностей. Кривая четвёртого порядка может распадаться на две плоские кривые второго порядка.

Теорема 1. Если две поверхности пересекаются по одной плоской кривой, то существует и другая плоская кривая, по которой они пересекаются (доказательство не приводится).

На рис. 83 изображены фронтальные проекции Ф₂ и Q₂ сферы Ф и эллиптического цилиндра Q, имеющих общую окружность m с центром (О₂). Для данных поверхностей, плоскость, определяемая точкой С и осью I, является плоскостью симметрии (С,i || П₂). Общая окружность радиуса r - одна из плоских кривых линии пересечения. Вторая линия пересечения спроецируется на плоскость П₂ в виде отрезка прямой n₂. Для его построения следует воспользоваться точками А₂ и В₂, принадлежащими фронтальным очеркам заданных поверхностей.

Теорема 2 (о двойном касании). Если две поверхности имеют касание в двух точках А и В, то линия пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых проходят через отрезок АВ, соединяющий точки касания.

Пример: по двум окружностям m и n пересекается сфера Ф с поверхностью эллиптического цилиндра Q (рис. 84).

Точки касания и касательные плоскости обозначены соответственно через А, В, а  А, β  В. Окружности, на которые распалась линия пересечения поверхностей, расположены во фронтальных проецирующих плоскостях γ и σ (γ  m, σ  n).

Теорема 3 (Теорема Г. Монжа).

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую соединяющую точки пересечения линий касания (рис. 85).