5.2. Эквивалентные преобразования. Эквивалентные системы сил. Равнодействующая
Всякую систему сил стремятся, не нарушая состояния тела, упростить. Упрощение системы сил проводится в двух направлениях:
в смысле изменения количества сил;
в смысле изменения взаимного расположения сил.
Пусть к некоторому
телу приложена система сил
.
Определение.Последовательное
применение элементарных операций
статики к системе сил
называется эквивалентным преобразованием
этой системы.
Примеры эквивалентных преобразований:
перенос силы по ее линии действия;
замена сходящейся системы сил одной силой, приложенной в точке схода и изображаемой главным вектором этой системы сил.
Определение. Две системы сил называются эквивалентными (статически равносильными), если от одной к другой можно перейти с помощью элементарных операций, то есть при помощи эквивалентного преобразования.
Обозначать эквивалентность будем следующим образом:
,
или
короче
.
Свойства эквивалентности:
если
,
то
( для первой элементарной операции есть
обратная – вторая, а для третьей –
четвертая;если
и
,
то
.
Определение. Если
система сил эквивалентна одной силе
,
то эта одна сила называется равнодействующей
данной системы сил.
Покажем,
что равнодействующая по величине и
направлению измеряется главным вектором
системы сил. Пусть
,
– равнодействующая. В силу второго
свойства элементарных операций главные
векторы систем сил
и 
равны:
.
Но
,
следовательно,
,
то есть равнодействующая параллельна
главному вектору, имеет то же направление
и величину.
Однако равнодействующая и главный вектор понятия различные, их не следует смешивать. Главный вектор – математическое понятие, а равнодействующая – физическое. Главный вектор – это свободный вектор, а равнодействующая – скользящий; равнодействующая – это сила, связанная со своей линией действия. Главный вектор можно построить всегда (он существует у всякой системы сил), а равнодействующая не всегда существует (не всегда существует одна сила, эквивалентная данной системе сил). Особенно отчетливо сказывается разница между понятиями главного вектора и равнодействующей системы сил, когда система сил приложена к разным телам. В этом случае понятие равнодействующей не имеет никакого определенного смысла, а главный вектор такой системы можно построить.
5.3. Обобщенная теорема Вариньона
Теорема. Если система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей относительно некоторого полюса равен геометрической сумме моментов всех сил системы относительно того же полюса.
Дано:
.
Требуется доказать,
что:
.
Доказательство.
В силу второго свойства элементарных
операций главные моменты
и
равны:
,
или 
.
Теорема Вариньона, доказанная для момента равнодействующей относительно полюса, остается справедливой и для момента равнодействующей относительно оси.
Теорема. Если система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей относительно некоторой оси равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно той же оси.
Доказательство:
Пусть
.
Тогда:
.
Спроектируем
это векторное равенство на ось
,
проходящую через полюс:
.
В силу теоремы о связи между моментом силы относительно полюса и моментом силы относительно оси:
.