4.5. Главный момент системы сил

Определение.Главным моментом системы сил относительно полюса называется геометрическая сумма моментов всех сил системы относительно этого полюса.

Обозначение: , или. Если задана система сил, то

.

Определение.Главным моментом системы сил относительно оси называется алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно этой оси.

Обозначение: , или

.

Теорема.Проекция главного момента системы сил относительно полюса на ось, проходящую через этот полюс, равна главному моменту сил системы относительно этой оси, то есть

.

Доказательство:

Главный момент системы сил относительно полюса

.

Спроектируем это векторное равенство на ось , проходящую через полюс :

.

На основании теоремы о связи между моментом силы относительно полюса и моментом силы относительно оси

.

Следовательно .

4.6. Зависимость между главными моментами системы сил относительно двух полюсов

Дана система сил и два полюса: старый и новый (рис. 23).

Главный момент системы сил относительно старого полюса:

.

Главный момент относительно нового полюса:

_.

Здесь и()–радиус-векторы точки приложения силыотносительно старого и нового полюсов соответственно.

Из рисунка видно, что:

.

Тогда

,

где –главный вектор. Пришли к теореме о зависимости между главными моментами системы сил относительно двух полюсов.

Теорема.Главный момент системы сил относительно нового полюса равен сумме главного момента системы сил относительно старого полюса и момента главного вектора, приложенного к старому полюсу относительно нового –полюса, то есть

.

Следствие 1.Если главный вектор системы сил равен нулю, то ее главный момент не зависит от выбора полюса, то есть, если , то.

Следствие 2. Главный момент пары сил не зависит от выбора полюса и отличен от нуля.

Дана пара сил {} (рис. 24).,. Так как главный вектор. То главный момент пары не зависит от выбора полюса:

.

Линия действия силы проходит через полюс, то есть, и:

.

4.7. Теорема Вариньона (частный случай)

Теорема.Если две силы и их геометрическая сумма приложены в одной точке, то геометрическая сумма моментов этих двух сил относительно произвольного полюса равна моменту их геометрической суммы относительно того же полюса.

Дано:(рис. 25).

Доказать: .

Доказательство:

Исходя из представления момента силы относительно полюса через векторное произведение:

, .

Тогда

.

5. Элементарные операции статики. Эквивалентные системы сил

1. Элементарные операции статики

Пусть к твердому телу приложена система сил .Элементарными операциями статики называют следующие четыре операции над силами:

1. Добавление к системе сил двух прямопротивоположных сил.

2. Отбрасывание от системы сил двух прямопротивоположных сил (если таковые имеются).

3. Замена двух сил (в системе ), приложенных к одной точке (если таковые имеются) одной силой, равной их геометрической сумме и приложенной к этой же точке ( коротко: замена двух сил, приложенных к одной точке, одной силой по правилу параллелограмма).

4. Замена любой силы системы двумя составляющими силами, полученными путем разложения этой силы по правилу параллелограмма.

Первое свойство элементарных операций (физическое свойство).

Элементарные операции над силами, приложенными к твердому телу, не нарушают состояние равновесия тела.

Справедливость этого свойства следует из 2-й и 3-й аксиом статики.

Второе свойство элементарных операций (геометрическое свойство)

Элементарные операции над силами не изменяют главный вектор и главный момент системы сил.

Неизменность главного вектора проверяется непосредственно путем анализа влияния каждой элементарной операции на геометрическую сумму векторов сил системы.

Добавление либо отбрасывание двух прямопротивоположных сил не изменяет главный момент системы сил относительно полюса потому, что сумма моментов двух прямопротивоположных сил относительно одного и того же полюса равна нулю.

Замена по правилу параллелограмма двух сил, приложенных к одной точке, их геометрической суммой, либо замена одной силы ее двумя составляющими, не изменяют главный момент системы сил вокруг полюса по теореме Вариньона (частный случай).