6.3. Аналитические условия равновесия произвольной системы сил (шесть уравнений статики абсолютно твердого тела)

Пусть на твердое тело, находящееся в равновесии, действует система сил(рис. 28).

Выберем произвольную систему координат и обозначим проекции сил на оси координат:

, , .

Главный вектор этой системы сил:

.

Его проекции на оси координат:

,

,

.

Главный момент вычислим относительно полюса, находящегося в начале координат:

.

Главный момент относительно полюса в начале координат проектируем на каждую из осей координат:

.

На основании теоремы о связи между моментами силы относительно полюса и оси:

,

,

.

По основной теореме статики для равновесия тела под действием произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы были равны нулю главный вектор и главный момент относительно произвольного полюса, то есть

, (I) , (II)

Векторное равенство (I) эквивалентно трем скалярным:

1. ,

2. ,

3. .

Векторное равенство (II) так же эквивалентно трем скалярным:

4. ,

5. ,

6. .

На основании полученного результата основная теорема статики может быть сформулирована так:

Для того, чтобы твердое тело под действием произвольной системы сил находилось в равновесии необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из осей координат и сумма моментов всех сил относительно каждой из осей координат равнялась нулю, то есть чтобы выполнялись шесть уравнений статики:

1. , 4.,

2. , 5.,

3. , 6..

6.4 Частные случаи аналитических условий равновесия

1. Плоская система произвольно расположенных сил (все силы лежат в одной плоскости).

Выберем оси координат так, чтобы оси илежали в плоскости сил (рис. 29). В этом случае из шести уравнений статики 3-е, 4-е, 5-е удовлетворяются тождественно. Уравнениями равновесия являются три:

1. ,

2. ,

3. .

Для того, чтобы тело под действием плоской системы произвольно расположенных сил находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись три уравнения статики: два уравнения проекций на оси, лежащие в плоскости сил и дно уравнение моментов относительно оси, перпендикулярной плоскости сил.

1. Плоская система параллельных сил.

Оси координат выбираем так, чтобы осиилежали в одной плоскости с силами, причем осьпараллельна силам (рис. 30). Это частный случай произвольной плоской системы сил. Из трех уравнений произвольной плоской системы сил первое выполняется тождественно, а уравнениями равновесия остаются следующие два:

1. .

2. .

Для того, чтобы тело под действием плоской системы параллельных сил находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два уравнения равновесия: уравнение проекций на ось, параллельную силам и уравнение моментов относительно оси, перпендикулярной плоскости сил.

3. Пространственная система параллельных сил.

Выберем оси координат так, чтобы осьбыла параллельна силам. В этом случае из шести уравнений статики 1-е, 2-е, 6-е удовлетворяются тождественно, а уравнениями равновесия остаются следующие три:

1. ,

2. ,

3. .

Для того, чтобы тело под действием пространственной системы параллельных сил находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись три уравнения статики: уравнение проекций на ось, параллельную силам и два уравнения моментов относительно осей, перпендикулярных силам.

4. Система сходящихся сил.

Выберем начало координат в точке схода (рис. 32) Так как моменты сил относительно осей координат равны нулю, то уравнения 4,5,6 выполняются тождественно. А уравнениями равновесия остаются первые три (они уже были получены ранее).

1. , 2., 3..

4. Плоская система сходящихся сил.

Линии действия всех сил пересекаются в точке , и все силы лежат в плоскости(рис. 33). Уравнениями равновесия такой системы являются:

1. ,

2. .,