6. Условия равновесия. Условия равновесия в общем и частных случаях

6.1. Основная лемма статики

Леммой называют теорему, необходимую только для доказательства другой теоремы.

Лемма.Любая система сил эквивалентна системе из двух сил, то есть любая система сил с помощью элементарных операций может быть приведена к двум силам.

Доказательство.

Предварительно докажем лемму для трех сил,,.

Проведем две плоскости (рис. 26); одну через силу и точку, вторую через силуи ту же точку.

Эти плоскости, имея общую точку , имеют общую прямую. На этой прямой выберем произвольную точкуи соединим точкиипрямыми с точкамии, в которых приложены силыи. Разложим силыина составляющие по проведенным направлениям:,

. Перенесем силы ипо их линиям действия в точку, а силыив точку(рис. 27). В результате получим две системы сходящихся сил:{} и{.

Заменяем силыи, приложенные в точке, их геометрической суммой, приложенной в той же точке:, а силы , приложенные в точке – силой, приложенной так же в точке. В результате применения только элементарных операций система сил{} приведена к двум силам{}. Итак, заданная система сил{} эквивалентна двум силам{}:

{}~{},

что и требовалось доказать.

Если задана система, состоящая из сил, то тогда, последовательно заменяя каждые три силы двумя, уменьшаем число сил системы. Процесс заканчивается, когда остается только три силы.

{}— сил

{}—сил

{}—сил

…… …

{}—силы

6.2. Основная теорема статики (общие условия равновесия системы сил)

Теорема.Для того, чтобы тело под действием системы произвольно расположенных сил находилось в равновесии необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент относительно некоторого полюса этой системы сил были равны нулю.

Доказательство.

Необходимость.

Дано: система сил – в равновесии.

Требуется доказать: ,.

На основании основной леммы статики системас помощью элементарных операций может быть приведена к двум силам, то есть

.

Так как и при этом тело под действием системы силнаходится в равновесии, то в соответствии с физическим свойством элементарных операций оно будет находиться в равновесии и под действием системы сил. Итак тело находится в равновесии под действием двух сили. По первой аксиоме статики эти силы прямопротивоположные. Значит главный вектор системы:. Главный момент этой системы сил, то есть геометрическая сумма двух прямопротивоположных сил относительно одного и того же полюса:

.

Так как главный вектор и главный момент системы равны главному вектору и главному моменту системы– геометрическое свойство элементарных операций, то

, ,

то есть главный вектор и главный момент относительно произвольного полюса первоначальной системы равны нулю.

Достаточность.

Дано: система сил , главный вектор и главный момент которой:;.

Доказать: тело под действием системы сил находится в равновесии.

На основании основной леммы статики систему с помощью элементарных операций можно привести к двум силам, то есть

.

У этих систем сил равны главные векторы и главные моменты относительно некоторого полюса ,– геометрическое свойство элементарных операций. Тогда,. Иными словами:

;. Из того, что главный вектор равен нулю, следует, что эти две силыилибо прямопротивоположные, либо образуют пару. Так как главный момент пары от полюса не зависит и отличен от нуля, то случай пары исключается, Поэтому силыипрямопротивоположные и, следовательно, по первой аксиоме статики, тело под действием системы силнаходится в равновесии. Под действием первоначальной системы силтело также находится в равновесии, так как элементарные операции не нарушают состояние равновесия тела.