- •Введение
- •Основные понятия и аксиомы статики
- •1.1 Сила и система сил
- •1.3. Аксиомы статики
- •Связи и их реакции
- •4. Связь с неподвижным центром вращения (сферический шарнир)
- •5. Опорный стержень
- •3. Система сходящихся сил
- •3.1 Теорема о равновесии тела под действием сходящейся системы сил(векторные условия равновесия)
- •Аналитические условия равновесия тела, загруженного сходящейся системой сил
- •Теорема о трех непараллельных силах (правило трех сил)
- •4. Момент силы
- •4.1. Момент силы относительно оси
- •4.2. Момент силы относительно полюса (центра, точки)
- •4.3. Момент силы относительно полюса как векторное произведение
- •4.4 Связь между моментами силы относительно полюса и оси
- •4.5. Главный момент системы сил
- •4.6. Зависимость между главными моментами системы сил относительно двух полюсов
- •4.7. Теорема Вариньона (частный случай)
- •Элементарные операции статики. Эквивалентные системы сил
- •Элементарные операции статики
- •5.2. Эквивалентные преобразования. Эквивалентные системы сил. Равнодействующая
- •5.3. Обобщенная теорема Вариньона
- •6. Условия равновесия. Условия равновесия в общем и частных случаях
- •6.1. Основная лемма статики
- •6.2. Основная теорема статики (общие условия равновесия системы сил)
- •6.3. Аналитические условия равновесия произвольной системы сил (шесть уравнений статики абсолютно твердого тела)
- •6.4 Частные случаи аналитических условий равновесия
- •7. Общий признак эквивалентности двух систем сил (критерий эквивалентности)
- •8. Теория пар сил
- •8.1. Момент пары сил
- •8.2. Признак эквивалентности двух пар сил
- •8.3. Следствия из признака эквивалентности пар
- •8.4. Теорема о "сложении" пар
- •9. Приведение системы сил к заданному центру
- •9.1. Лемма о параллельном переносе силы
- •9.2. Теорема Пуансо (о приведении системы сил к заданному центру)
- •9.3. Частные случаи приведения системы сил к заданному центру
- •9.4. Инварианты системы сил
- •10. Центр параллельных сил. Центр тяжести
- •10.1. Центр системы параллельных сил
- •10.2. Центр тяжести твердого тела
- •2. Центр тяжести плоской фигуры
- •3. Центр тяжести линии
- •10.3. Статические моменты
- •10.4. Центры тяжести симметричных тел
- •10.5. Основные способы определения центра тяжести
- •11. Трение скольжения
- •11.1. Сила трения и коэффициент трения
- •11.2. Угол трения. Конус трения
3. Система сходящихся сил
3.1 Теорема о равновесии тела под действием сходящейся системы сил(векторные условия равновесия)
Теорема.Для равновесия твердого тела, загруженного сходящейся системой сил, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил был равен нулю, или, что тоже самое, силовой многоугольник был замкнут.
Доказательство:
Необходимость. Дано: тело находится в равновесии под действием сходящейся системы сил. Следует доказать, что главный вектор этой системы сил.
Доказательство: В силу следствия 2 из аксиом статики, не нарушая состояние равновесия тела, система сходящихся силможет быть заменена одной силой. Теперь на тело, находящееся в равновесии, действуют только две силыи, которые на основании аксиомы 1 прямопротивоположные, то есть
.
Тогда , что доказывает необходимое условие равновесия.
Предоставляем студенту самому доказать достаточное условие равновесия сходящихся сил.
Аналитические условия равновесия тела, загруженного сходящейся системой сил
Пусть к твердому телу приложена сходящаяся система сил (рис. 15). Выберем произвольную прямоугольную систему координат с центром в точке схода и обозначим проекции сил на оси координат:
,
,
.
Главный вектор . Пользуясь теоремой ( она доказывается в курсе векторной алгебры), согласно которой проекция суммы векторов на некоторую ось равна сумме проекций на ту же ось слагаемых векторов, получаем:
,
,
.
Необходимым и достаточным условием равновесия тела, загруженного сходящейся системой сил, является равенство нулю главного вектора
Это векторное равенство эквивалентно трем скалярным
,
,
.
Аналитические условия равновесия сходящейся системы сил могут быть сформулированы так:
Для равновесия тела, загруженного сходящейся системой сил, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из координатных осей была равна нулю, то есть чтобы выполнялись три уравнения статики
1.,
2. ,
3. .
Теорема о трех непараллельных силах (правило трех сил)
Теорема.Если твердое тело находится в равновесии под действием трех сил, и линии действия двух сил пересекаются, то линия действия третьей силы проходит через точку пересечения первых двух, и все три силы лежат в одной плоскости.
Доказательство:
Пусть тело находится в равновесии под действием трех сил,и, причем линии действияипересекаются в точке(рис. 16а).
Согласно следствию 1 из аксиом статики, силы иможно, не нарушая состояние равновесия тела, перенести вдоль их линий действия в точку(рис. 16б), а затем по аксиоме 3 заменить одной силой( рис. 16в), проходящей через точку пересечения сили(точку) и лежащей с ними в одной плоскости, причем. Тело находится в равновесии под действием двух сили( рис. 16в), следовательно, по аксиоме 1 они должны иметь общую линию действия, но тогда силы,илежат в одной плоскости и их линии действия пересекаются в одной точке (точку).
4. Момент силы
4.1. Момент силы относительно оси
Момент силы относительно оси характеризует меру вращательной способности силы, приложенной к телу, имеющему неподвижную ось.
Пусть в точкетела приложена сила(рис. 17). Разложим эту силу на две составляющих:и. Вся мера вращательной способности силыопределяется составляющей, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси.
Момент силы относительно оси – это число (скаляр),которое определяется следующим образом:
Проводим плоскость, перпендикулярную оси (рис. 18)
Сила проектируется на эту плоскость (проекция вектора на плоскость – вектор)
Величина полученной проекцииумножается на число, то есть на длину перпендикуляра, опущенного из точки пересечения оси с плоскостью на линию действия силы.
Полученному произведению приписывается знак «плюс», если с положительного направления оси видно, что сила стремится вращать тело вокруг оси против часовой стрелки, и знак «минус» в противном случае.
Обозначение: . Читается так:момент силы относительно оси .
В результате приходим к следующему определению:
Моментом силы относительно оси называется число, равное произведению модуля проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, на плечо проекции. Момент силы относительно оси положителен, если с положительного направления оси видно, что сила стремится вращать тело против часовой стрелки, и отрицателен в противном случае.
Момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях (рис. 19):
когда проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, равна нулю, то есть когда сила и ось параллельны (рис. 19а);
когда плечо проекции равно нулю, то есть когда линия действия силы пересекают ось (рис. 19б).
Оба этих случая можно объединить:
Момент силы относительно оси равен нулю тогда и только тогда, когда сила и ось лежат в одной плоскости.