1.2. Динаміка точки та системи матеріальних точок

Якщо кінематика дає описовий рух тіл, відповідаючи на питання «по якій траєкторії рухається тіло?», то динаміка вивчає іншу сторону питання: «чому рух відбувається саме так?». Динаміка вивчає рух тіл в зв’язку із тими причинами (взаємодіями між тілами), які зумовлюють той чи інший характер руху.

В основі класичної (ньютонівської) механіки лежать три закони динаміки, сформульовані Ньютоном в 1687 р. у своїй праці “Математичні начала натуральної філософії ” і носять його ім’я. Закони Ньютона (як і всі інші фізичні закони) відкриті в результаті узагальнення великої кількості дослідних фактів.

Механіка Ньютона протягом двох століть досягла такого успіху, що багато фізиків XIX століття були переконані, що усі фізичні явища, що спостерігаються в природі, можна пояснити з допомогою даних законів.

Однак з розвитком науки з’явились нові факти, що не вкладалися в рамки класичної механіки. Це дало поштовх до виникнення нових теорій на початку XX століття – спеціальної теорії відносності та квантової механіки, в рамках яких нові факти отримали своє обґрунтування.

Таким чином, розвиток науки в подальшому не відкинув класичну механіку, а лише показав її обмежене застосування. Так, класична механіка, заснована на законах Ньютона, є механікою великих мас (від броунівських частинок до космічних тіл), що рухаються з малими (в порівнянні із швидкістю світла) швидкостями.

1.2.1. Закони Ньютона

За перший закон руху Ньютон прийняв закон інерції, відкритий ще Галілеєм.

Перший закон Ньютона формулюється наступним чином: усяке тіло знаходиться в стані спокою чи рівномірного прямолінійного руху, за відсутності дії на нього інших тіл. Перший закон Ньютона справедливий не у всіх системах відліку. Система відліку, в якій справджується перший закон Ньютона, називається інерціальною. Тому сам закон інколи називають законом інерції. Відповідно система відліку, в якій перший закон Ньютона не виконується, називається неінерціальною системою відліку. Інерціальних систем можна придумати багато. Будь-яка система відліку, що рухається відносно деякої інерціальної системи прямолінійно і рівномірно, буде також інерціальною.

Таким чином, перший закон Ньютона постулює існування інерціальних систем відліку. Вочевидь, що інерціальна система, як така, є фізичною абстракцією (моделлю). Так, наприклад, система відліку, що пов’язана із Землею – геоцентрична система відліку – разом з нею обертається навколо осі та рухається навколо Сонця по криволінійній траєкторії (еліпсу), а отже зазнає деякого прискоренням відносно Сонця і не є інерційною. Однак прискорення такої системи надзвичайно мале (приблизно на три-чотири порядки менше за прискорення вільного падіння на поверхні Землі 9,8 м/с²), тому в більшості випадків ним можна знехтувати і вважати таку систему практично інерціальною.

Більш точно можна вважати інерціальною систему відліку, пов’язану із Сонцем – геліоцентричну систему відліку. Початок координат такої системи знаходиться у центрі Сонця, а її осі напрямлені на далекі зорі. Тому питання про практичний вибір інерціальної системи відліку завжди пов'язаний із заданим ступенем точності і диктується умовами задачі.

Властивість матеріальних тіл зберігати стан спокою чи рівномірного й прямолінійного руху називається інерцією. Усяке тіло чинить опір при спробах привести його у рух чи змінити величину чи напрям його швидкості. Цю властивість називають інертністю. Мірою інертності тіла є його маса. Сам Ньютон визначив масу як кількість речовини, що втримується в тілі. Це визначення не можна вважати вичерпним. Маса характеризує не лише інерцію матеріального тіла, але і його гравітаційні властивості: сила притягання між двома тілами пропорційна їхнім масам. Маса визначає повний запас енергії матеріального тіла.

У класичній механіці маса тіла не залежить від вибору системи відліку, положення тіла в просторі, швидкості, дії на тіло інших тіл і т.д. Маса є величиною адитивною, тобто маса тіла дорівнює сумі мас всіх його частин. Однак властивість адитивності втрачається при швидкостях, близьких до швидкості світла у вакуумі, тобто в релятивістській механіці.

Другий закон Ньютона

Узагальнюючи результати досвідів Галілея по падінню важких тіл, астрономічні закони Кеплера про рух планет, дані власних досліджень, Ньютон сформулював другий основний закон динаміки, що кількісно зв’язав зміну руху матеріального тіла із силами, що викликають цю зміну руху. Зупинимося на аналізі цього найважливішого поняття.

Силою називають кількісну міру взаємодії тіл одного з іншим. Сила, це векторна величина, що характеризується напрямком, модулем. Результат дії сили залежить від точки її прикладання. Одиницею вимірювання сили в Міжнародній системі одиниць (СІ) є ньютон.

У природі існує велика кількість сил, кожна з яких описується своїм силовим законом. Однак усі сили в природі базуються на чотирьох типах фундаментальних взаємодій. Максимальна швидкість поширення усіх видів взаємодії рівна швидкості світла у вакуумі. Усі чотири типи взаємодії відбуваються на відстані, тобто за допомогою полів; характеристики взаємодій наводяться у наступній таблиці 1.1:

Таблиця 1.1

Взаємодія	Радіус дії	Відносна інтенсивність	Фізичні явища, що виникають
Гравітаційна	∞		утворення зірок, планет, галактик, рух супутників
Слабка	м		β-розпад ядра
Електромагнітна	∞		утворення атомів, молекул, кристалів, оптичні та світлові явища, тертя
Сильна	м	10÷1	утворення ядер

- Гравітаційними називаються сили, що діють між усіма тілами і призводять до взаємного притяганню тіл. Закон гравітаційного (всесвітнього) притягання буде розглянуто нами далі. Гравітаційна взаємодія є найслабшою, і в мікросвіті сили притягання не відіграють практично ніякої ролі. Їх значення зростає із ростом маси взаємодіючих тел. Ці сили здатні утворювати стійкі утворення із сукупності тіл, наприклад, Сонячну систему, різні зоряні скупчення тощо.

- Слабка взаємодія здійснюється між елементарними частинками і мають малий радіус дії. На відміну від гравітаційної взаємодії слабка взаємодія зумовлює нестабільність багатьох мікроскопічних частинок, викликаючи їх розпад і характерна лише для певного кола квантових процесів. Для макроскопічної механіки ця взаємодія не грає ніякої ролі.

- Електромагнітна взаємодія здійснюється між тілами, в склад яких входять електрично заряджені частинки. Електромагнітні взаємодії зумовлюють існування стабільних атомів, зв’язують атоми в молекули, є причиною взаємодії частинок газів, рідин, твердих тіл і грають основну роль у всіх фізико-хімічних і біологічних процесах. Електромагнітна і слабка взаємодія, власне кажучи, є проявом єдиної електрослабкої взаємодії.

- Сильна взаємодія є найбільш потужною і проявляється, зокрема, між протонами й нейтронами в атомному ядрі, між кварками в адронах. Однак ці взаємодії проявляються на надзвичайно малих відстанях.

Теоретично усі сили в класичній механіці мають гравітаційну або електромагнітну природу. Сили, що вивчаються в класичній механіці, можна поділити на два класи:

1. сили, що виникають при безпосередньому дотику тіл – контактні сили. До них відносяться сили пружності, сили тертя та опору середовища тощо.

2. сили, обумовлені наявністю полів – поля тяжіння, гравітаційного поля, електромагнітного поля тощо.

Між силами, обумовленими дією полів і силами, що виникають при безпосередньому дотику тіл нема принципової різниці. Сили, зв’язані з безпосередньою взаємодією тіл, обумовлені наявністю полів, які створюваних структурними частинками (молекулами, атомами). Наприклад, сили тертя чи пружності виникають при контакті фізичних тіл. Але їх причиною є взаємодія електронних хмар великої кількості атомів, як показано на рисунку 1.18.

Формулювання другого закону Ньютона (в диференціальній формі) наступне: швидкість зміни імпульсу точки в інерційній системі відліку дорівнює результуючій силі, яка діє на точку:

(1.44)

Другий закон не є означенням сили; він лише встановлює зв’язок між кінематичними і динамічними величинами, дозволяючи знайти траєкторію точки, якщо відомі сили, які на неї діють. Тому його називають рівнянням руху точки.

Величина

(1.45)

називається імпульсом (кількістю руху) тіла. Оскільки в класичній механіці маса тіла постійна, то застосування (1.45) у рівнянні (1.44) приводить до формули:

(1.46)

Таким чином, другий закон Ньютона (в інтегральній формі) формулюється так: прискорення, надане тілу, пропорційне силі і обернено пропорційне масі тіла:

(1.47)

Із рівняння (1.48) можна визначити одиниці вимірювання сили – ньютона – в системі СІ. Ньютон рівний силі, під дією якого тіло масою 1 кг отримує прискорення 1 м/с²: 1 Н = 1 кг∙1 м/с² .

Оскільки швидкість є першою похідною від радіус-вектора по часу: , то рівняння (1.46) можна переписати як:

(1.48)

Векторне рівняння (1.46) та (1.47) можна замінити еквівалентною системою скалярних диференціальних рівнянь:

та (1.49)

Таким чином основною задачею динаміки матеріальної точки є розв’язання диференціального рівняння (1.44) або системи рівнянь (1.49). При цьому можливі два протилежні формулювання задачі:

Задача першого типу. Дано закон руху матеріальної точки і початкові умови в координатній формі (x=x(t), y=y(t), z=z(t)) і (x(0) =x₀, y(0)=y₀, z(0) =z₀) або у векторній формі (,). Потрібно визначити силу, що діє на матеріальну точку. Розв’язання задачі зводиться до визначення прискорення, тобто виконується дуже просто.

Задача другого типу. Називається основною і полягає у тому, щоб, знаючи сили , що діють на матеріальну точку, знайти стан матеріальної точки будь-який момент часуt, тобто знайти координати і швидкості точки як функцію часу. Розв’язання такої задачі зводиться до інтегрування рівнянь руху (1.48) та (1.49). В залежності від закону сил, що діють на тіло, ці диференційні рівняння можуть бути як лінійними, так і нелінійними. В загальному вигляді інтеграл (тобто розв’язок) цього рівняння залежить від шести сталих інтегрування, які в конкретній задачі визначаються із початкових умов:

.

Третій закон Ньютона

Усяка дія одного тіла на інше носить характер взаємодії: якщо тіло 1 діє на тіло 2 із силою F₂₁, то і тіло 2 в свою чергу діє на тіло 1 із силою F₁₂.

Третій закон Ньютона стверджує, що сили взаємодії двох тіл рівні за величиною, протилежні за напрямком і напрямлені вздовж однієї прямої, що з’єднує тіла (рис. 1.19), тобто:

(1.50)

Особливістю даних сил є те, що обидві сили прикладені до різних тіл та мають однакову природу.

Третій закон Ньютона справджується не завжди. Він виконується більш строго у випадку контактних взаємодій (при безпосередньому дотику тіл), а також при взаємодіях віддалених одне від одного тіл, що перебувають у спокої. Обмежене застосування третього закону Ньютона зумовлене тим, щоб рівність сил виконувалось в один і той же момент часу. Оскільки взаємодія передається із кінцевою швидкістю, третій закон Ньютона виконується лише у випадку достатньо великої тривалості взаємодії. Третій закон не виконується при релятивістських взаємодіях, оскільки поняття одночасності в релятивістській фізиці відносне. Зокрема, сформульований в указаній формі третій закон Ньютона не виконується у випадку електромагнітних взаємодій.