1.7. Елементи спеціальної теорії відносності

1.7.1. Постулати Ейнштейна

Спеціальна теорія відносності є сучасною теорією простору та часу. Спеціальну теорію відносності називають релятивістською теорією, а явища, що описуються нею, – релятивістськими ефектами, які проявляються при швидкостях руху тіл, близьких за величиною до швидкості світла у вакуумі с. Релятивістською механікою називається механіка рухів з релятивістськими швидкостями, яка ґрунтується на спеціальній теорії відносності.

В основі спеціальної теорії відносності лежать два постулати Ейнштейна.

1. Принцип відносності: ніякі досліди (механічні, електричні, оптичні), які проведені всередині даної інерціальної системи відліку, не дають можливості виявити – рухається ця система рівномірно і прямолінійно, чи знаходиться в стані спокою.

2. Принцип інваріантності швидкості світла: швидкість світла у вакумі не залежить від швидкості руху джерела світла або спостерігача і однакова у всіх інерціальних системах відліку.

1.7.2. Перетворення координат Лоренца.

Розглянемо дві інерціальні системи відліку: нерухому системуК і К′, яка рухається відносно К уздовж осі ОХ із швидкістю (рис. 1.85). Нехай в початковий момент часуt = t′ = 0, коли початки О і О′ збігаються, відбувається якась подія, наприклад, спалахує світло. Швидкість світла в обох системах відліку однакова і дорівнює с. Тому, якщо за час t в системі К сигнал дійде до деякої точки А, пройшовши відстань x = ct, то в системі К′ координата світлового імпульсу в момент досягнення точки А рівна: x′ = ct′. Звідси x′ – х = c(t′ – t).

Оскільки x′ ≠ х, тому що система К′ переміщується відносно системи К, то t ≠ t′ .

Таким чином, відлік часу має відносний характер.

Знайдемо перетворення для координат і часу. Оскільки рух системи К′ відбувається лише уздовж осі ОХ, то перетворення координат у і z повинно мати вигляд:

.

Закон перетворення х′ через х можна написати, виходячи із наступних міркувань: Початок координат О′ системи К′ має координату х′ = 0 в системі К′ і х = υ₀t в системі К. Отже вираз (х – υ₀t) повинен перетворюватися в нуль одночасно із координатою х′. Для цього лінійне перетворення повинне мати вигляд:

(1.210)

Аналогічно, початок координат О системи К має координату х = 0 в системі К і x′ = – υ₀t′ в системі К′. Отже вираз (x′ + υ₀t′) перетворюється на нуль одночасно із координатою х. Звідси слідує, що

(1.211)

де γ – деяка константа.

Із еквівалентності систем К і К′ слідує, що коефіцієнт пропорційності в обох випадках повинен бути однаковим.

Для знаходження коефіцієнта γ використаємо принцип постійності швидкості світла. Розпочнемо відлік часу в обох системах від того моменту, коли їх початки співпадають. Нехай в момент часу t = t′ = 0 у напрямку осей ОХ та О′Х′ посилається світлових сигнал, що доходить до т.А (рис. 1.85), координата якої (див. вище) в різних системах буде:

.

Підставивши ці значення х′ та х відповідно у формули (1.210) і (1.211), отримаємо:

Перемноживши обидва співвідношення, прийдемо до рівняння:

.

Звідси

(1.212)

Підставивши це значення у (1.210) та (1.211) відповідно отримаємо:

(1.213)

Щоб отримати формулу, що визначає перетворення часу, виключимо із (1.210) і (1.211) координату х і розв’яжемо отримане співвідношення відносно часу t. В результаті отримаємо:

Підстановка значення γ із (1.212) приводить до наступної формули:

(1.214)

Аналогічно можна визначити час у рухомій системі К′:

(1.215)

Таким чином, ми отримали сукупність формул перетворення координат і часу, які можна узагальнити як:

(1.216)

Перетворення (1.216) називаються перетвореннями Лоренца.

1.7.3. Поняття одночасності

Нехай в системі К в точках з координатами х₁ і х₂ одночасно (t₁ = t₂ = t) відбуваються дві події. Відповідно, в системі К′ цим подіям відповідають координати х′₁ і х′₂ (рис 1.85). З’ясуємо, як протікатимуть ці самі події в системі К′. Згідно перетворення Лоренца маємо:

(1.217)

(1.218 )

Із формули (1.217 ) та (1.218) випливають важливі висновки:

1. Якщо одночасні події в системі К відбуваються в одній точці (х₁ = х₂), то в системі К′ вони теж одночасні і відбуваються в одній точці: ∆х′ = 0, отже х′₁ = х′₂; ∆t′ = 0, отже t′₁ = t′₂.

2. Якщо одночасні події в системі К просторово рознесені (х₁ ≠ х₂), то в системі К′ вони, залишаючись просторово рознесеними (∆х′ ≠ 0, х′₁ ≠ х′₂), виявляються і неодночасними : ∆t′ ≠ 0, отже t′₁ ≠ t′₂.

1.7.4. Відносність довжин та проміжків часу.

Нехай деяке тіло (стрижень) розміщене вздовж осі ОХ′, рухається разом із системою відліку К′ і має в цій системі довжину , дета– координати початку і кінця стрижня. Визначимо довжину стрижня в системіК, відносно якої він рухається із швидкістю . Для цього треба виміряти координати його кінцівтав системіК в один і той самий момент часу t:

(1.219)

або

(1.220)

–власна довжина стрижня, тобто, його довжина у тій системі, відносно якої він перебуває у спокої.

Таким чином, довжина стрижня, виміряна в системі, відносно якої він не рухається, є меншою від довжини, виміряної в системі, відносно якої стрижень нерухомий. Тобто, повздовжні розміри рухомого стрижня відносно нерухомої системи відліку скорочуються.

Поперечні розміри тіла не залежать від швидкості його руху і не змінюються в усіх інерціальних системах відліку.

Нехай в даній точці в системі К відбувається подія, тривалість якої . Тривалість цієї події в системіК′ буде визначатися:

(1.221 )

або

, (1.222)

де час – власний час, тобто час, який протікає у тій системі відліку, відносно якої тіло (разом з годинником) нерухоме.

Оскільки , тоτ < τ′. Отже, тривалість події найменша в тій інерціальній системі відліку, відносно якої ця точка (тіло) нерухома. Таким чином, годинники, які рухаються відносно інерціальної системи відліку, йдуть повільніше від нерухомих годинників.

1.7.5. Релятивістський закон додавання швидкостей

Нехай матеріальна точка рухається в нерухомій систему К із швидкістю, компоненти якої визначаються як:

(1.223)

Швидкість цієї точки в системі відліку К′ визначимо як:

(1.224)

Із перетворень Лоренца слідує:

(1.225)

Розділивши перші три рівності на четверту отримаємо:

(1.226)

В результаті отримаємо формули перетворення швидкостей тіла при переході від однієї системи відліку до іншої:

(1.227 )

Аналогічно

(1.228)

Якщо швидкості ,тамалі порівняно із швидкістю світлас, то ,– і ми отримаємо класичний закон додавання швидкостей Галілея.

Покажемо із релятивістського закону додавання швидкостей, що:

1. Швидкість тіла не може бути більшою за швидкість світла.

Нехай . Тоді швидкість.

2. Швидкість поширення світла не залежить від системи відліку і завжди рівна с.

Нехай . Тоді.

1.7.6. Інтервал між подіями

Постійність швидкості світла призводить до взаємозв’язку простору і часу, що можна представити з допомогою чотирьохмірного простору з координатами x, y, z, ct.

Будь-якій події відповідає точка з координатами (x, y, z, ct), яку називають світовою точкою.

Звичайний простір характеризується евклідовою метрикою. Це означає, що квадрат відстані ∆l між двома точками рівний сумі квадратів різниць координат:

.

Квадрат «відстані» між двома світовими точками називається інтервалом і визначається формулою:

(1.229)

Легко переконатися, що інтервал між двома подіями однаковий в усіх інерціальних системах відліку. Саме ця обставина і слугувала підставою вважати інтервал аналогом відстані ∆l між двома точками в звичайному трьохмірному просторі (∆l не змінюється при переході від однієї трьохмірної системи відліку до іншої).

Нехай в системі К квадрат інтервалу визначається формулою (1.229). Квадрат інтервалу між тими самими подіями в системі К′ рівний

(1.230)

Згідно формулам (1.216)

Підставивши ці значення в формулу (7.21), після перетворень отримаємо, що

Тобто

Таким чином, інтервал є інваріантом по відношенню до переходу від однієї інерціальної системи відліку до іншої.

1.7.7. Основний закон релятивістської динаміки. Релятивістський імпульс. Взаємозв’язок маси та енергії

Рівняння класичної механіки інваріантні по відношенню до перетворень Галілея, але по відношенню до перетворень Лоренца вони виявляються неінваріантними. Із теорії відносності слідує, що рівняння динаміки, інваріантне по відношенню до перетворень Лоренца, має вигяд:

(1.231)

де –релятивістська маса, а –маса спокою матеріальної точки, тобто маса, що виміряна в тій інерціальній системі, відносно якої матеріальна точка знаходиться у спокої.

Оскільки

то релятивістський імпульс матеріальної точки визначається як:

(1.232)

Елементарна робота сили на малому переміщенніточки її прикладання дорівнює:

(тут враховано, що )

Приріст кінетичної енергії матеріальної точки дорівнює роботі:

(1.233)

Інтегруючи останнє рівняння, отримаємо:

(1.234)

При і.

Отже, релятивістський вираз для кінетичної енергії частинки має вигляд:

(1.235)

О області малих швидкостей (при υ << с) вираз розкладемо в ряд, обмежившись членами другого порядку малості:

Тоді:

. (1.236)

Ейнштейн узагальнив положення , передбачивши, що воно справедливе не лише для кінетичної енергії матеріальної точки, але і для повної енергії, а саме: довільна зміна маси ∆m супроводжується зміною повної енергії матеріальної точки:

(1.237)

Звідси Ейнштейн отримав універсальну залежність між повною енергією тіла Е та його масою m:

(1.238)

Таким чином, енергія і маса тіла завжди пропорційні один одному. Всяка зміна енергії тіла супроводжується зміною маси тіла і навпаки, всяка зміна маси супроводжується зміною енергії. Це твердження виражає закон взаємозв’язку маси і енергії.

Знайдемо релятивістську залежність між повною енергією та імпульсом частинки:

і

(1.239)

Якщо тіло нерухоме, то

(1.240)

де – енергія спокою тіла.