1.5. Всесвітнє тяжіння

Врезультаті обробки багаторічнихспостережень датського астронома Тіхо Браге Кеплер емпірично встановив три закони руху планет:

1) кожна планета рухається по еліпсу, в одному із фокусів якого знаходиться Сонце;

2) радіус-вектор планети за рівні проміжки часу описує рівні площі;

3) квадрати періодів обертання планет відносяться як куби великих осей еліптичних орбіт, по яким вони рухаються навколо Сонця.

На основі законів Кеплера Ньютон відкрив закон всесвітнього тяжіння. Згідно цього закону сила притягання між точковими масами m₁ та m₂, що знаходяться на відстані r одна від другої, визначається:

(1.146)

де γ = 6,67∙10^-11 Н∙м²/кг² – гравітаційна стала, числове значення якої було експериментально встановлено в лабораторних умовах Г. Кавендішем в 1798 році.

У векторній формі закон всесвітнього тяжіння можна записати у вигляді:

(1.147)

де – сила, з якою 1-ше тіло притягує 2-ге,– радіус-вектор, проведений від тіла 1 до тіла 2. Відповідно,.

Закон, записаний у вигляді (1.146) чи (1.147) справджується для точкових тіл та сферичних тіл із сферично симетричним розподілом мас в їх об’ємі, причому у другому випадкуr – відстань між центрами сферичних тіл (рис. 1.60). Для розрахунку сили взаємодії протяжних тіл їх необхідно уявно розбити на елементарні маси, підрахувати згідно (1.146) сили притягання між такими масами, а потім геометрично скласти (проінтегрувати). В основі такого підходу лежить принцип суперпозиції гравітаційних полів, згідно якого гравітаційне поле, створене декількома тілами, рівно геометричній сумі гравітаційних полів, створених цими тілами окремо. Цей принцип є узагальненням досвіду.

Гравітаційна взаємодія здійснюється через гравітаційне поле. Усяке тіло змінює властивості оточуючого його простору – створює в ньому гравітаційне поле. Це поле проявляє себе у тому, що розміщене в ньому інше тіло зазнає дії сили. Для характеристики «інтенсивності» гравітаційного поля вводиться фізична величина – напруженість гравітаційного поля:

(1.148)

З врахуванням рівняння (5.1) та (5.2) напруженість можна записати як:

або у векторній формі: (1.149)

Розмірність G співпадає із розмірністю прискорення. Так, наприклад, напруженість поля поблизу поверхні Землі рівна прискоренню вільного падіння g. Дійсно, взаємодія Землі з тілом на його поверхні визначається:

,

де М = 5,9∙10²⁴ кг – маса Землі; R = 6380 км – середній радіус Землі. З іншої сторони, сила тяжіння:

.

Звідси отримаємо вираз для прискорення вільного падіння на поверхні Землі (порів. з (1.149)):

(1.150)

При віддаленні від поверхні Землі сила земного тяжіння і прискорення вільного падіння змінюються обернено пропорційна квадрату відстаніr до центра Землі. Рисунок 1.56 ілюструє зміну сили тяжіння, що діє на космонавта в космічному кораблі при його віддаленні від Землі. Сила, з якою космонавт притягується до Землі поблизу її поверхні, прийнята рівною 700 Н.

Іншою характеристикою гравітаційного поля є потенціал. Потенціал – це енергетична характеристика гравітаційного поля, скалярна величина, рівна потенціальній енергії тіла одиничної маси в даній точці поля або роботі по переміщенню одиничної маси із даної точки поля в безмежність.

(1.151)

Знаючи потенціал, можна визначити роботу, що здійснюють над частинкою сили поля при переміщенні її із положення 1 в положення 2:

(1.152)

Знайдемо зв’язок напруженості поля і потенціалу. З рівняння (1.151) слідує:

.

З іншої сторони робота за означенням: . Оскільки для потенціального поля, то звідси маємо:

, або .

Поділивши на масу, згідно (1.148) отримаємо напруженість гравітаційного поля:

(1.153)

Таким чином, вектор напруженості гравітаційного поля по модулю рівний градієнту потенціалу в даній точці поля і напрямлений в сторону зменшення цього поля.

Гравітаційні сили порівняно слабкі. Наприклад, вони значно слабкіші за електричні. Однак сили гравітації стають відчутними для космічних тіл великих мас: планет, зірок, і відіграють основну роль в формуванні зір і планетних систем із туманностей тощо. Справедливість закону всесвітнього тяжіння можна побачити на рисунку 1.62, де зображено одне з найкрасивіших небесних видовищ – кульове зоряне скупчення М13 у сузір’ї Геркулес, кожна точка якого – це зоря. Найбільше зірок у центрі, по мірі віддалення до краю їх все менше й менше. Ясно, що між зірками існує притягання, тобто тяжіння існує і на таких гігантських відстанях (порядку 100000 діаметрів Сонячної системи). Але розглядаючи і самі галактики можна прийти до висновку, що їх форма вказує на намагання матерії стягнутися (рис. 1.63, галактика М31, Туманність Андромеди). Звичайно довести, що тут діє закон обернених квадратів, не можливо, проте видно, що і на таких відстанях діють сили, що утримують галактику від розвалу. Але тяжіння проявляється і на більших відстанях. Так на рисунку 1.64 показано скупчення галактик в сузір’ї Волосся Вероніки (близько 1000 галактик) у вигляді світлих плям. Таким чином, і галактики притягуються між собою на таких відстанях, інакше вони б не збиралися в «хмаринки».