1.3.2. Рівняння моментів
Доцільність введення цих двох понять виправдовується тим, що моменти імпульсу і сили пов’язані між собою важливим співвідношенням, яке можна вивести із рівнянь Ньютона.
Припустимо, що початок О нерухомий. Продиференціюємо вираз (1.85) по часу:
Оскільки
початок нерухомий, то похідна
є швидкістю матеріальної точки, що
пов’язана з її імпульсом як:
.
Тому перший доданок дорівнює нулю:
Друге
рівняння запишемо з врахуванням закону
Ньютона
.
В
результаті отримаємо
,
або
(1.90)
Співвідношення (1.90) називається рівнянням моментів: похідна за часом моменту імпульсу матеріальної точки відносно нерухомого початку рівна моменту діючої сили відносно того ж початку. При виводі формули не припускалося, що маса точки m залишається постійною, тому остання рівність справедлива також і в релятивістській механіці, тобто при як завгодно великих швидкостях, що наближаються до швидкості світла.
Рівняння моментів (1.90) дозволяє отримати відповідь на два запитання:
1)
знайти момент сили
відносно даного початку O в будь-який
момент часуt,
якщо відома залежність від часу моменту
імпульсу
частинки відносно цього ж початку;
2)
визначити приріст моменту імпульсу
частинки відносно початку O за будь-який
проміжок часу, якщо відома залежність
від часу моменту сили
,
що діє на цю частинку відносно того ж
початку O.
Розв’язання
першого запитання зводиться до знаходження
похідної по часу від моменту імпульсу,
тобто
,
який і рівний згідно (1.90),
шуканому моменту сили.
Розв’язання
ж другого запитання зводиться до
інтегрування рівняння (1.90).
Помноживши обидві частини цього рівняння
на dt,
отримаємо
– вираз, який визначає елементарний
приріст вектора моменту імпульсу.
Проінтегрувавши цей вираз по часу,
отримаємо приріст вектора
за скінчений проміжок часу t:
(1.91)
Величину, що стоїть в правій частині цього рівняння, називають імпульсом моменту сили. Приріст моменту імпульсу частинки за будь-який проміжок часу рівний імпульсу моменту сили за цей же час.
Рівняння
(1.90),
виведене для однієї матеріальної точки,
можна узагальнити для випадку довільної
системи матеріальних точок. У цьому
випадку моментом
імпульсу системи відносно деякого
початку називається векторна сума
моментів імпульсів усіх матеріальних
точок системи відносно того ж початку.
За момент сил
слід взяти момент усіхзовнішніх
сил,
що діють на систему. Таким чином, похідна
по часу від моменту імпульсу системи
матеріальних точок відносно довільного
нерухомого початку рівна геометричній
сумі моментів усіх зовнішніх сил відносно
того ж початку.
Якщо момент зовнішніх сил відносно нерухомого початку О рівний нулю, то із рівняння (1.90) слідує, що момент імпульсу системи відносно того ж початку залишається постійним з часом. Це положення називається законом збереження моменту імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу, як і закон збереження імпульсу та енергії, є одним із важливих фундаментальних законів фізики. Зокрема, виведений в класичній фізиці, цей закон застосовується в узагальненому вигляді в атомній фізиці. Окрім того, момент імпульсу можуть мати не лише частинки, а й силові поля, наприклад, електромагнітне поле. Згідно теореми Емми Нетер закон збереження моменту імпульсу випливає із ізотропності простору.