1.3.3. Рівняння моменту імпульсу для обертання навколо нерухомої осі. Момент інерції

Векторне рівняння (1.90) еквівалентне трьом скалярним рівнянням:

, (1.92)

де М – момент зовнішніх сил.

Взагалі, моментом імпульсу системи матеріальних точок відносно осіz називається проекція на цю вісь вектора моменту імпульсу системи відносно будь-якого початку, вибраного на даній осі. Відповідно, моментом сили відносно тієї ж осіz називається проекція на цю вісь вектора моменту сили відносно довільного початку, що належить даній осі. Коли момент зовнішніх сил відносно якоїсь нерухомої осі рівний нулю, то момент імпульсу системи відносно тієї ж осі залишається постійним. Це – закон збереження моменту імпульсу відносно нерухомої осі. При цьому сам вектор може і змінюватися.

Приклад. Невелике тіло маси m, підвішене на нитці, рівномірно обертається в горизонтальній площині (рис. 1.33) під дією сили тяжіння і сили натягу нитки. Відносно точки О момент імпульсу тіла – вектор– знаходиться в одній площині із віссюz та ниткою. При русі тіла вектор під дією моментусили тяжіння весь час повертається, тобто змінюється. Але проекціязалишається при цьому незмінною, оскільки векторперпендикулярний до осіz, тобто .

Застосуємо рівняння моментів відносно осі до аналізу обертального руху твердого тіла. За нерухому вісь виберемовісь обертання. Для цього уявно розіб’ємо тіло на сукупність матеріальних точок. Момент імпульсу окремої матеріальної точки (рис. 1.34), що обертається по колу радіуса відносно осі обертання, , лінійна швидкість пов’язана з кутовою швидкістюяк. Отже . При обертанні навколо осі системи матеріальних точок, на які розбите тверде тіло, , де сума береться усіх матеріальних точок системи. Оскільки кутова швидкість обертання твердого тіла однакова для усіх точок, то її можна винести з-під знаку суми. Тоді отримаємо:

(1.93)

Величину

(1.94)

називають моментом інерції тіла (системи матеріальних точок) відносно осі обертання. Тоді рівняння (1.92) набуде вигляду:

(1.95)

Рівняння (1.95) є виражає основний закон динаміки обертового руху навколо нерухомої осі. Воно нагадує рівняння Ньютона для поступального руху тіла, де роль маси грає момент інерції І, роль лінійної швидкості – кутова швидкість ω, роль сили – момент сили М, роль імпульсу – момент імпульсу L.

Якщо момент зовнішніх сил М відносно осі обертання рівний нулю, то момент імпульсу Іω зберігається, тобто

(1.96)

При обертання навколо осі твердого тіла окрім кутової швидкості не змінюється момент інерції відносно осі обертання. Тоді рівність (1.95) можна записати як:

(1.97)

де β – кутове прискорення тіла.

1.3.4.Приклади на закон збереження моменту імпульсу

Закон збереження моменту імпульсу можна продемонструвати на так званій лаві Жуковського, що представляє собою диск, який може вільно обертатися навколо вертикальної осі (рис. 1.35). Демонстратор на лаві, відштовхнувшись ногою від підлоги, надає їх обертового руху. Разом із лавою обертається і він сам. Знехтувавши силою тертя і опором повітря, можна вважати, що момент зовнішніх сил відносно осі обертання рівний нулю. Отже імпульс системи буде залишатися незмінним. Якщо демонстратор розведе руки з гантелями в сторони, то він збільшить момент інерції І, а тому кутова швидкість обертання ω повинна зменшитись так, щоб залишився незмінним імпульс Іω. Навпаки, при зведенні рук до осі обертання момент інерції зменшиться, а кутова швидкість обертання зросте.

Аналогічно можна пояснити обертання фігуристки (рис. 1.36). Коли фігуристка робить пірует, вона обертається на носку навколо вертикальної осі. Ноги та руки при цьому максимально наближені до осі, і кутова швидкість максимальна. Для уповільнення обертання фігуристка розводить руки та відводить ногу в сторону. Таким чином, вона управляє швидкістю обертання шляхом зміни моменту інерції свого тіла.