1.6.5. Енергія пружної деформації

Сили пружності, що виникають в здеформованому тілі, здатні виконати роботу. Потенціальною енергією пружної деформації в називається енергія, накопичена в тілі внаслідок пружних деформацій, викликаних дією зовнішніх сил. Ця енергія рівна роботі, що виконують сили пружності по відновленню форми тіла.

Розглянемо пружну деформацію розтягу тіла уздовж осі х на величину Δl. Робота сил пружності визначається:

(1.178)

Згідно закону Гука: . Звідси .

Тоді робота, визначається:

(1.179)

Таким чином,

(1.180)

Густина енергії (об’ємна густина пружної енергії) визначається як:

(1.181)

Пружна енергія деформації зсуву записується аналогічно:

(1.182)

Пружна енергія деформації кручення:

, (1.183)

де – модуль кручення (1.163).

1.6.6. Аеро- та гідродинаміка

Під дією зовнішніх сил в рідинах та газах, як і у твердих тілах, можуть виникати внутрішні напруги. Розглядаючи рідини та гази як суцільні середовища, слід відмітити, що рідини, не маючи певної форми, зберігають практично незмінним свій об’єм. У багатьох важливих випадках їх можна розглядати як нестискуючі. Гази ж не мають ні певної форми, ні фіксованого об’єму. Рідина, як і газ, при зовнішній дії приходить у рух, при цьому тиск у рідині та швидкість її частинок, власне кажучи, можуть змінюватися складним чином від точки до точки. Тому для опису течії рідини чи газу використовуються різні моделі. У найпростішій моделі рідина (або газ) вважаютьсянестисливими та ідеальними, тобто без внутрішнього тертя між рухомими шарами. Рух рідини називається течією. В результаті течії ідеальної рідини не відбувається перетворення механічної енергії у внутрішню, тому виконується закон збереження повної механічної енергії. Частинки рідини переміщуються по траєкторіям, які називаються лініями течії (рис. 1.74), дотичні в кожній точці до ліній течії співпадають з напрямком швидкості частинок в цих точках. Якщо картина ліній течії з часом не змінюються, тобто в рідині не утворюються вихори, то така течія називається стаціонарною. Досліди показують, що стаціонарні течії виникають тільки при досить малих швидкостях руху рідини. Наслідком закону збереження енергії для стаціонарної течії ідеальної та нестисливої рідини є рівняння Бернуллі.

Розглянемо стаціонарну течію ідеальної нестисливої рідини по трубі змінного перерізу (рис. 1.75). Різні частини труби можуть перебувати на різних висотах.

За проміжок часу Δt рідина в трубі перерізом S1 переміститься на , а в трубі перерізомS₂ – на , дета– швидкості часток рідини в трубах. Умова нестисливості означає, що об’єм рідини, який протікає за проміжок часу Δt через переріз S₁ дорівнює об’єму рідини, який протікає за той же самий проміжок часу Δt через переріз S₂, тому:

, (1.184)

або

(1.185)

Рівняння (1.185) називається рівнянням нерозривності течії.

Рівняння нерозривності течії можна застосовувати до реальних рідин і навіть газів, у тому випадку, якщо стискуваністю їх можна знехтувати. Відповідний розрахунок показує, що при русі рідин та газів із швидкостями, меншими за швидкість звуку, їх із достатньою ступеню точності можна вважати нестискуваними.

Таким чином, при переході рідини з ділянки труби з більшим перерізом до ділянки з меншим перерізом швидкість течії зростає, тобто рідина рухається із прискоренням. Отже, на рідину діє сила. У горизонтальній трубі ця сила може виникнути тільки через різницю тисків у широкій і вузькій ділянках труби. Тиск у широкій ділянці труби має бути більшим ніж на вузькій ділянці. Якщо ділянки труби розташовані на різних висотах, то прискорення рідини виникає завдяки суспільній дії сили тиску та сили тяжіння.

Оскільки рідина є ідеальною, тобто вона тече по трубі без тертя, то до її течії можна застосувати закон збереження механічної енергії.

При переміщенні рідини сили тиску виконують роботу:

,

згідно (1.184), остання формула приймає вигляд:

(1.186)

За час Δt у виділеній частині рідини, що лежить між перерізами S₁ і S₂ у початковий момент часу, при стаціонарній течії зміни, що відбулися, зводяться до переміщення маси рідини Δm з однієї частини труби перерізом S₁ в іншу частину перерізом S₁ (заштриховані об’єми на рис. 1.75). Закон збереження механічної енергії для цієї маси має вигляд:

(1.187)

де E₁ і E₂ – повні механічні енергії маси Δm у полі тяжіння:

(1.188)

Звідси випливає:

Враховуючи що Δm = ρΔV, остаточно маємо:

(1.189)

Це і є рівняння Бернуллі. З нього випливає, що сума

(1.190)

залишається незмінною уздовж всієї труби течії стаціонарної рідини.

Наведений енергетичний вивід рівняння Бернуллі робить більш зрозумілим фізичний зміст членів, що входять до нього. Так, статичний тиск p чисельно рівний роботі сил тиску, що здійснюються над одиничним об’ємом рідини; динамічний тиск ρυ²/2 є кінетичною енергією одиниці об’єму, а величина ρgh є потенціальною енергією одиничного об’єму в полі сили тяжіння.

Для горизонтально розташованої труби (h₁ = h₂) рівняння Бернуллі приймає вигляд:

(1.191)

Величина p називається статичним тиском у рідині. Він може бути виміряний за допомогою манометра, що переміщується разом з рідиною. Практично тиск у різних перерізах труби виміряється за допомогою манометричних трубок, вставлених у бічні стінки труби, крізь яку тече рідина, так щоб нижні кінці трубок були паралельні лініям течії рідини (рис. 1.76).

З рівняння Бернуллі випливає що тиск у рідині, яка тече по горизонтальній трубі змінного перерізу, більше в тих місцях течії, в яких швидкість її руху менше, і навпаки, тиск менше в тих місцях, у яких швидкість більше.

Знайдемо швидкість витікання рідини з широкої посудини крізь отвір невеликого діаметру (рис. 1.77).

Оскільки швидкістю рідини поблизу поверхні широкої посудини можна знехтувати, то рівняння Бернуллі приймає вид:

(1.192)

де p₀ – атмосферний тиск, що діє на поверхні рідини, h – перепад висоти уздовж лінії струму. Отже,

(1.193)

Цей вираз для швидкості витікання називають формулою Торрічеллі. Швидкість витікання ідеальної рідини з отвору в посудині така ж, як і при вільному падінні тіла з висоти h без початкової швидкості.