- •Елементи кінематики
- •1.1.1.Векторні характеристикимеханічного руху– переміщення, шлях, швидкіст та прискорення
- •1.1.2. Рух точки по колу, кутова швидкість і кутове прискорення
- •1.1.3. Зв’язок кутових та лінійних величин
- •1.1.4. Плоскопаралельний рух
- •1.2. Динаміка точки та системи матеріальних точок
- •1.2.1. Закони Ньютона
- •1.2.2. Принцип відносності Галілея
- •1.2.3. Закон динаміки системи матеріальних точок
- •1.2.4. Закон збереження імпульсу
- •1.2.5. Центр мас (інерції) системи матеріальних точок. Теорема про рух центру мас
- •1.2.6. Рух тіл змінної маси
- •1.2.7. Сили інерції. Рух у неінерціальних системах відліку
- •1.2.8. Еквівалентність сил інерції і сил тяжіння
- •1.3. Динаміка обертального руху
- •1.3.1. Момент сили та момент імпульсу
- •1.3.2. Рівняння моментів
- •1.3.3. Рівняння моменту імпульсу для обертання навколо нерухомої осі. Момент інерції
- •1.3.4.Приклади на закон збереження моменту імпульсу
- •1.3.5. Момент інерції. Теорема Гюйгенса-Штейнера
- •1.3.6. Вільні осі обертання. Уявлення про гіроскопи
- •1.3.7. Умови рівноваги твердого тіла.
- •1.4. Закон збереження енергії
- •1.4.1. Енергія, робота та потужність
- •1.4.2. Кінетична енергія поступального та обертального рухів
- •1.4.3. Консервативні сили. Потенціальна енергія
- •1.4.4. Енергія пружно деформованого тіла
- •1.4.5. Потенціальна енергія матеріальної точки у гравітаційному полі та в однорідному полі тяжіння
- •1.4.6. Закон збереження енергії у механіці
- •1.4.7. Пружний та непружний удари тіл та частинок
- •1.5. Всесвітнє тяжіння
- •1.6. Елементи механіки суцільних середовищ
- •1.6.1. Деформація розтягу (стиску)
- •1.6.2. Деформація зсуву
- •1.6.3. Деформація кручення
- •1.6.4. Деформація згину
- •1.6.5. Енергія пружної деформації
- •1.6.6. Аеро- та гідродинаміка
- •1.6.7. Сили в’язкого тертя
- •1.6.8. Види течії в’язкої рідини
- •1.6.9. Рух твердих тіл у рідинах та газах
- •1.7. Елементи спеціальної теорії відносності
1.3.5. Момент інерції. Теорема Гюйгенса-Штейнера
В теоретичній механіці даний момент інерції часто називають осьовим з тим, щоб уникнути плутанини із так званим геометричним моментом інерції, що вивчається в будівельній механіці та в опорі матеріалів. Геометричний момент інерції не пов'язаний з рухом матеріалу, він лише відображає ступінь жорсткості перерізу. Використовується для обчислення радіуса інерції, прогину балки різного поперечного перерізу.
Навпаки,осьовий момент інерції є мірою інертності тіла в обертальному русі так, як і маса характеризує інерційні властивості тіла в поступальному русі. Цю властивість, наприклад, враховують при проектуванні двигуна автомобіля. Так, для регулювання нерівномірності обертання колінчастого вала двигуна автомобіля використовується маховик, що виготовляється у вигляді масивного зубчастого диска. Маховик в машині (рис. 1.37) виконує роль акумулятора кінетичної енергії. При розгоні частина позитивної роботи зовнішніх сил витрачається на збільшення кінетичної енергії маховика і швидкість, до якої розганяється система стає менша, при гальмуванні маховик віддає запасену енергію назад в систему і величина зниження швидкості машини зменшується.
Із визначення (1.94):
видно, що момент інерції є величина адитивна. Тобто, момент інерції тіла рівний сумі моментів інерції його частин. Розглянемо однорідне тіло. Розподіл маси у межах такого тіла можна охарактеризувати густиною ρ, що є однаковою в усіх точках тіла. Тоді елементарна маса дорівнює Звідси момент інерції:
(1.98)
В граничному випадку при нескінченному розбитті тіла на елементарні маси задача знаходження моменту зводиться до інтегрування:
(1.99)
Тут інтегрування здійснюється по всьому об’єму тіла.
Як приклад, розрахуємо момент інерції однорідного суцільного диску радіусом R та товщиною h відносно осі (z), що проходить через його центр (рис. 1.38). Для цього розіб’ємо диск на безкінечно тонкі кільця товщиною dr та радіусом r. Об’єм такого кільця рівний:
Із врахуванням однорідності диску (ρ = const) та рівності (1.99) маємо:
.
Ввівши масу диску як , отримаємо кінцевий вираз для моменту інерції суцільного однорідного диску:
(1.100)
Моменти інерції тіл іншої геометричної форми відносно відповідних осей обертання наведені в таблиці 1.2:
Таблиця 1.2
Фігура або тіло |
Осьові моменти інерції |
Ідеально тонкий стрижень |
|
Прямокутний паралелепіпед |
|
Суцільний циліндр, суцільний диск |
|
Труба, обруч | |
Куля | |
Сфера |
при |
Прямий коловий конус |
Однак, якщо тіло має складну форму і до того ж неоднорідне, його момент інерції простіше виміряти, аніж знайти. У фізиці існують чисельні способи вимірювання моменту інерції, серед яких для прикладу розглянемо два:
Визначення моментів інерції тіл обертання з використанням диференціального рівняння обертання.
Досліджуване тіло закріплюється на горизонтальній осіх, що співпадає з його віссю симетрії, і приводиться у рух навколо неї з допомогою вантажу Р, закріпленого на нитці, що намотана на досліджуване тіло (рис. 1.39), при цьому вимірюється час t опускання вантажу на висоту h. Для виключення впливу тертя в точках кріплення тіла на осі х дослід виконується декілька разів при різних значеннях ваги вантажу Р.
При двох дослідах з вантажами Р1 і Р2 момент інерції визначається:
Експериментальне визначення моментів інерції тіл з допомогою вивчення коливань фізичного маятника.
Щоб знайти момент інерції тіла масою m (рис. 1.40) відносно заданої осі х (що не проходить через центр мас), його потрібно підвісити на цій осі і виміряти два параметри: період коливань Т і відстань l від осі обертання до центру тяжіння. Момент інерції відносно осі визначається за формулою:
Якщо момент інерціїІС відносно осі, яка проходить через центр мас, відомий, то можна легко обчислити момент інерції відносно будь-якої паралельної осі О, яка проходить на відстані d від центру мас (рис. 1.41). Як видно з рисунка, відстані довільної точки твердого тіла mi від обох осей дорівнюють відповідно ri і ri + d.
Тому:
(1.101)
Перший доданок визначає момент інерції тіла відносно осі, що проходить через центр мас (т.С): .
Другий доданок в отриманому виразі перетворюється на нуль в силу того, що d = const і (rC – відстань від осі С до центру мас).
Тоді рівняння (1.101) набуде вигляду:
(1.102)
Співвідношення (1.102) називається теоремою Гюйгенса-Штейнера: момент інерції І тіла відносно довільної осі рівний сумі моменту інерції ІС тіла відносно осі, паралельній даній, що проходить через центр мас тіла, і добутку маси тіла на квадрат відстані між цими осями: