1.1.2. Рух точки по колу, кутова швидкість і кутове прискорення

Поширеною різновидністю криволінійного руху є рух точки по колу, коли вектор швидкості весь час змінює свій напрям (0) і може змінюватися також за модулем.

Звертаємо увагу на те, що коли обертається кілька жорстко зв’язаних точок, наприклад А і В (рис. 1.8), то вони мають різні лінійні швидкості, але всі точки за проміжок часу зміщуються на той самий кут. Тому в цілому їх рух визначаютьвектором кутового зміщення (аналогічним вектору переміщенняу поступальному русі тіла). Проте на відміну від векторів переміщення, швидкості, прискорення й інших істинних (полярних) векторів, напрями яких очевидні, напрям вектора кутового переміщення пов’язується із напрямком обертання, а отже такий вектор єаксіальним, або псевдовектором.

Для описання обертального руху (руху по колу) застосовуєтьсяполярна система координат, яка включає: полюс (т. О) та полярну вісь (проміньОN), а положення матеріальної точки (т.А) визначається радіус-векторомта кутомміж полярною віссю та радіус-вектором (рис. 1.9).

Вектор кутового переміщення є вектором, модуль якого дорівнює куту поворотурадіус-вектора, а напрямлений він по осі обертання в бік, що визначаєтьсяправилом правого свердлика. За цим правилом напрям вектора кутового переміщення має збігатися з поступальним рухом гвинта, якщо його головку повертати в напрямі обертання тіла (рис. 1.10).

Ще одне зауваження. Для того щоб кутові зміщення можна було задати векторами, необхідно, щоб вони додавалися за правилом паралелограма. Ця умова справджується лише для елементарних кутових зміщень.

Основними кінематичними величинами, що характеризують обертальний рух точки, є її кутова швидкість і кутове прискорення.

Кутова швидкість– векторна фізична величина, що дорівнює першій похідній кута поворотурадіус-вектораточки за часом:

, (1.29)

Кутове прискорення є векторною фізичною величиною , що дорівнює першій похідній кутової швидкості за часом:

, (1.30)

Вектори кутової швидкості та кутового прискоренняє такожаксіальними, тобто спрямованими вздовж осі, їхній напрям встановлюється за правилом правого гвинта. Зазначимо, що напрям кутового прискорення збігається з напрямом кутової швидкості(рис. 1.10), якщо модуль кутової швидкості зростає з часом. Кутове прискорення спрямоване у протилежному напрямку до вектора кутової швидкості, якщо модуль кутової швидкості зменшується з часом.

1.1.3. Зв’язок кутових та лінійних величин

Для пояснення обертальних рухів зчеплених зубчастих коліс різних технічних механізмів, а також розрахунку ланцюгових та пасових передач (рис. 1.11) необхідно знати зв’язок між кутовими швидкостями ведучих та ведених зубчастих коліс або шківів (ω₁ і ω₂) та лінійною швидкістю точок контактуючих поверхонь зубчастих коліс або шківів (). Для цього розглянемо рисунок 1.12 та виразимо кутову швидкість через лінійну.

Нехай матеріальна точка пройшла за час Δtпо колу з радіусомRшлях Δs, а радіус-вектор повернувся на кут Δφ. Якщо довжина шляху: Δs = R∙Δφ, то лінійна швидкість:

,

або , то

. (1.31)

Співвідношення цих векторів виражається векторним добутком:

. (1.32)

Отже, лінійна швидкість – це вектор, модуль якого дорівнює ω∙r∙sinα (де α – кут між векторами та), що напрямлений перпендикулярно дотау той бік, в який поступально переміщується гвинт, коли його головка робить найкоротший поворот віддо(рис. 1.10).

Продиференціюємо формулу (1.30) за часом. Це дає:

або

(1.33)

Перший доданок напрямлений по дотичній до траєкторії і є не що інше, як тангенціальне прискорення:

. (1.34)

За модулем тангенціальне прискорення можна було б пов’язати із кутовим прискоренням:

, (1.35)

Другий доданок у формулі (1.33) є нормальним прискоренням, яке напрямлене вздовж радіусу до центру обертання:

. (1.36)

За модулем нормальне прискорення можна записати як:

, .(1.37)

Повне прискорення:

(1.38)

Для руху по колу вводять поняття періоду та частоти обертання.

Період є часом, за який матеріальна точка здійснює один повний оберт, тобто радіус-вектор точки повертається на кут 2π. Тоді у випадку рівномірного руху:

. (1.39)

Частотає кількістю повних обертівN, що здійснюєматеріальна точказа одиницю часу:

. (1.40)

За один оберт: .

Для рівноприскореного (β = const) обертального руху можна записати формули визначення кутової швидкості та рівняння руху:

;. (1.41)