1.6.7. Сили в’язкого тертя

У попередньому розділі ми розглядали рух рідини і газу, знехтувавши силами в'язкого тертя. Тим часом, ці сили, що діють між частинками рухомої рідини, можуть кардинальним чином впливати як на розподіл швидкостей в потоці рідини, так і на обтікання рідиною тіл, розміщених в рухомому потоці.

Ньютон встановив дослідним шляхом, що при ковзанні одної відносно другої двох паралельних площин, простір між якими заповнено рідиною, сили в’язкого тертя перешкоджають цьому ковзання (рис. 1.78). Так, при русі зі швидкістю υ верхньої пластини з площею S щодо нижньої, виникає сила в’язкого тертя, спрямована проти руху і рівна

(1.194)

Ця сила пропорційна площі S та зміні швидкості на одиницю довжини в поперечному напрямку (градієнту швидкості в напрямку перпендикулярному руху). Коефіцієнт пропорційності η називається динамічною в’язкістю. Із формули (6.42) слідує, що він чисельно рівний силі в’язкого тертя, що виникає між шарами площеюS = 1 при градієнті швидкості = 1 c^-1. Одиниці вимірювання коефіцієнта динамічної в’язкості: [η] = Па∙с.

Важливо відзначити, що частинки рідини, прилеглі до верхньої пластини, рухаються разом з нею зі швидкістю (захоплюються пластиною). Навпаки, частинки рідини поблизу нижньої (нерухомої) пластини перебувають у спокої (прилипають до пластини). Якщо подумки розбити рідину на паралельні плоскі шари, що рухаються рівномірно, то неважко зрозуміти, що кожен вище розміщений шар захоплює за собою нижній сусідній шар з силою. У свою чергу, цей нижній шар гальмує рух верхнього шару з силою, чисельно рівною. На кожен шар діє зверху і знизу дві рівні, але протилежні сили. Швидкість шарів наростає лінійно з їх висотою (рис. 1.79), а сила тертя передається від одного шару до іншого. Як результат, зусилляF = F_m, прикладене до верхньої пластини, передається на нижню пластину. Коефіцієнт в’язкості рідини η визначається експериментально, наприклад, за швидкістю її витікання із трубки певного розміру. Як показує досвід, з нагріванням в’язкість рідини зменшується, а газів – збільшується. Пояснення такої різної поведінки коефіцієнта в’язкості буде дано в курсі "Молекулярна фізика".

1.6.8. Види течії в’язкої рідини

Розглянемо течію в’язкої рідини, звернувшись безпосередньо до досліду. Підключимо тонку горизонтальну скляну трубу з впаяною в неї вертикальними манометричним трубками за допомогою гумового шланга до водопровідного крана (рис. 1.80).

При невеликій швидкості течії води легко бачити зниження рівня води в манометричних трубках у напрямку течії (h₁> h₂> h₃). Це у свою чергу вказує на наявність горизонтального градієнта тиску – статичний тиск рідини зменшується уздовж потоку. Тому для стаціонарності течії на кінцях труби потрібно підтримувати постійну різницю тисків, що зрівноважує сили внутрішнього тертя, що виникають при течії рідини. Зменшення тиску уздовж труби необхідно враховувати, наприклад, при водо- та газопостачанні у відповідних гідродинамічних розрахунках водогонів, та газопроводів, а також у нафтодобувній галузі при проектуванні нафтопроводів.

Спостерігається два види течії рідини (чи газу). В одних випадках рідина як би розділяється на шари, які ковзають один відносно одного, не перемішуючись. Така течія називається ламінарною. Якщо в ламінарний потік ввести підфарбовану струмину, то вона зберігається, не розмиваючись, на усій довжині потоку, оскільки частинки рідини в ламінарній течії не переходять із одного шару в інший. Ламінарна течія стаціонарна.

При зростанні швидкості чи поперечних розмірів потоку характер течії суттєвим чином змінюється. Виникає енергічне перемішування рідини. Така течія називається турбулентною. При турбулентній течії швидкість частинок в кожному даному місці увесь час змінюється хаотичним чином – течія нестаціонарна. Якщо в турбулентний потік ввести зафарбовану струмину, то уже на невеликій відстані від місця її введення зафарбована рідина рівномірно розподілиться по усьому перерізу потоку.

Англійський учений Рейнольдс установив, що характер течії залежить від значення безрозмірної величини:

(1.195)

де ρ – густина рідини (чи газу), – середня (по перерізу труби) швидкість потоку, η – коефіцієнт в’язкості рідини,l – характерний для поперечного перерізу розмір, наприклад, сторона квадрата при квадратному перерізі, радіус або діаметр при коловому перерізі і т.д.

Величина (1.195) називається числом Рейнольдса. При малих значеннях числа Рейнольдса спостерігається ламінарна течія. Починаючи із деякого певного значення Re, яке називається критичним, течія набуває турбулентного характеру. Якщо за характерний розмір для круглої труби узяти її радіус r, то критичне значення числа Рейнольдса виявиться рівним близько 1000. Число Рейнольдса може слугувати критерієм подібності для течії рідини у трубах, каналах тощо. Характер течії різних рідин (чи газів) у трубах різних перерізів буде абсолютно однаковим, якщо кожній течії відповідає одне і те ж значення Re.

Ламінарна течія рідин та газів по трубах. Формула Пуазейля

При русі рідини у круглій трубі швидкість рівна нулю поблизу стінок труби та максимальна на осі труби. Припускаючи течію ламінарною, знайдемо закон зміни швидкості із відстаннюr від осі труби. Виділимо уявно циліндричний об’єм рідини радіуса r і довжини l (рис. 1.81). При стаціонарній течії у трубі постійного перерізу швидкості усіх частинок рідини залишаються незмінними. Отже, сума зовнішніх сил прикладених до будь-якого об’єму рідини, рівна нулю. Тому прирівняємо до нуля суму сил в’язкості і тиску, що діють на циліндричний об’єм рідини:

(1.196)

Слід зазначити, що рівнодійна сил тиску напрямлена уздовж потоку (уздовж осі х), а сила в’язкого тертя, прикладена до бокової поверхні виділеного циліндра, – проти потоку, оскільки < 0. Виконавши скорочення і поділивши (6.44) наdx, отримаємо:

(1.197)

Величина градієнту тиску dp/dx в (1.197) не залежить від радіусу r, оскільки і в поперечному перерізіx = const не змінюється. Це дозволяє проінтегрувати вираз 1.197:

(1.198)

Рівняння (1.198) дає можливість розрахувати розподіл швидкостей за умови, що біля стінок труби ця швидкість рівна нулю. Із (1.198) отримаємо:

(1.199)

Тиск рівномірно падає уздовж осі х, тому та не залежить відх. Параболічний розподіл швидкостей в одному із перерізів труби наведено на рисунку 1.81. Потік вектора швидкості через поперечний переріз труби, або об’єм рідини, що протікає через переріз за одиницю часу, – витрата рідини – виявляється рівним:

(1.200)

Для практичних потреб витрата рідини визначається формулою Пуазейля:

(1.201)

Тут – різниця тисків на кінцях труби довжиноюl. Слід зазначити на суттєву залежність пропускної здатності труби від її радіуса R. При заданому тиску на вході водогінної труби збільшення діаметри труби вдвічі призводить до зростання її пропускної здатності в 16 разів!

Середня по перерізу швидкість ламінарної течії визначається із формули Пуазейля:

(1.202)

Або різниця тисків, як функція швидкості визначається:

(1.203)

Турбулентна течія

Якщо швидкість течії велика, то течія в трубі стає турбулентною і формула Пуазейля уже невірна. При даній різниці тисків потікQ в турбулентній течії виявляється меншим, ніж розрахований згідно формули (6.49). Це пояснюється тим, що при турбулентній течії тертя значно вище, ніж при ламінарній. При турбулентній течії швидкість в даній точці хаотичним чином змінюється з часом, однак середня швидкість спрямована уздовж труби. Вона залишається постійною уздовж перерізу труби, і лише в тонкому шарі поблизу стінок спадає до нуля (рис.1.82). На практиці для розрахунку турбулентної течії рідини уздовж труби використовується формула

(1.204)

де k – безрозмірний гідравлічний коефіцієнт.

Якщо порівняти перепади тисків для турбулентної (1.204) та ламінарної (1.203) течії, то легко бачити, що підвищення швидкості прокачки рідини по трубам при турбулентній течії вимагає значно більшого зростання перепаду тисків, ніж при ламінарній. В історії відомий факт прокладки нафтопроводу в Росії, спроектованого на основі формули (1.204). Однак при прикладеній різниці тисків пропускна здатність нафтопроводу виявилась вищою за теоретично розраховану. Помилка проекту (на щастя, вдала) полягала в тому, що, не дивлячись на великий діаметр труб, течія в’язкої нафти по ним була ламінарною, і пропускна здатність нафтопроводу повинна була розраховуватися згідно формули (1.203).