8. Комплексный сигнал, комплексный коэффициент передачи (кпп), годограф ккп. Гармонический и комплексный сигналы

Для исследования различных устройств и систем в качестве входного сигнала часто используют гармонические сигналы вида , гдеA,,- амплитуда, угловая частота и начальная фаза гармонического сигнала,,- период гармонического сигнала.

Комплексный сигнал получается из гармонического в результате следующего математического преобразования:==.

Из этого выражения следует, что гармонический сигнал есть реальная часть от комплексного сигнала, т.е. . (3.7)

Комплексный коэффициент передачи. Годограф

Комплексным коэффициентом передачи (ККП) устройства или системы называется отношение комплексного сигнала на выходе к комплексному сигналу на входе в установившемся режиме.

Под установившимся режимом понимается тот факт, что сигнал на входе действует бесконечно долго.

Математически это определение можно записать следующим образом (3.8)

где ,- комплексные сигналы на входе и выходе.

Можно показать, что аналитическое выражение для ККП получается из выражения для передаточной функции W(p), в которой делается замена, т.е.

Тогда из (2.9) получим:(3.9)

Из этого выражения следует, что ККП является отношением полиномов аргумента .

Выражения при четныхiдают действительные значения, а при нечетных - мнимые значения различных степеней частоты.

Принимая это во внимание, выражение (3.9) для ККП перепишем в виде (3.10)

где A(),C() -полиномы с четными степенями частоты,

B(),D() -полиномы с нечетными степенями частоты.

Помножим числитель и знаменатель (3.10) на выражение C() -jD(). Избавимся таким образом от мнимости в знаменателе (3.10) и получим

W(j) =P() +jQ(), (3.11)

где P() - действительная часть ККП,Q() - мнимая часть ККП, причем;.

Выражение (3.11) есть алгебраическая форма записи ККП. На практике ККП чаще представляется в показательной форме:(3.12) где- модуль ККП,- аргумент ККП.

Пример: тогда==,где.

Если построить комплексную плоскость, ось абсцисс которой представляет действительные значения P(), а ось ординат - мнимые значенияjQ() комплексного коэффициента передачи, то при изменении частотыот нуля до бесконечности на этой плоскости образуется последовательность точек - некая кривая, называемая годографом ККП.

На рис.3.3 приведен годограф ККП, описываемый выражением

где;.

Рис.3.3 Годограф ККП инерционного устройства

При воздействии на вход линейной системы гармонического сигнала на ее выходе в установившемся режиме сигнал тоже будет гармоническим, причем частоты входного и выходного сигналов совпадают.

Выражение для выходного сигнала определяется по (3.7) с учетом (3.8): ,

где .

При перемножении комплексных чисел лучше всего использовать показательные формы их представления.

Тогда =откуда.

Из этого выражения видно, что амплитуда выходного сигнала изменилась в W() раз, а фаза получила приращение на величину.

9. Частотные характеристики сау: ачх, фчх, лачх, лфчх. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики

Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) называется зависимость модуля ККП от частоты

Фазочастотной характеристикой (ФЧХ) называется зависимость аргумента ККП от частоты

На рис.3.5 приведены АЧХ и ФЧХ инерционного устройства, ККП которого описывается выражением Из него следует,

Рис.3.4 АЧХ и ФЧХ инерционного устройства