47. Описание сау в пространстве состояний в матричной форме. Матрицы сау, векторы состояний, управления, наблюдения.

Дифференциальное уравнение (2.5) можно представить в виде системы из m дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого введем промежуточные переменные, которые называют переменными состояния системы.

Без нарушения общности примем в (2.5) коэффициент и перепишем это уравнение в виде:(2.10)

Математик Коши доказал, что этому уравнению эквивалентна следующая система уравнений: , (2.11) где(2.12) здесь- символ дифференцирования.

Из этих формул легко просматривается общая закономерность получения соотношений между ,ипри любом порядке системы m. На рис. 2.1 приведена последовательная структурная схема САУ в пространстве состояний.

Pис. 2.1 Последовательная структурная схема системы автоматического управления в пространстве состояний

В этой схеме реализуется решение системы дифференциальных уравнений (2.12) и уравнения (2.11).

Удобство описания САУ с помощью системы (2.12) состоит в том, что можно использовать матричный аппарат. Действительно, систему (2.12) можно компактно записать в матричной форме: , (2.13) где,- векторы переменных состояния системы и их производных размером,- вектор управления размером,- матрица системы размером.

Уравнение (2.11) также можно представить в векторной форме: , (2.14) где- вектор наблюдения, Т - символ транспонирования вектора.

48. Структурная схема сау в пространстве состояний (последовательная схема).

Дифференциальное уравнение (2.5) можно представить в виде системы из m дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого введем промежуточные переменные, которые называют переменными состояния системы.

Без нарушения общности примем в (2.5) коэффициент и перепишем это уравнение в виде:(2.10)

Математик Коши доказал, что этому уравнению эквивалентна следующая система уравнений: , (2.11) где(2.12) здесь- символ дифференцирования.

Из этих формул легко просматривается общая закономерность получения соотношений между ,ипри любом порядке системы m. На рис. 2.1 приведена последовательная структурная схема САУ в пространстве состояний.

Pис. 2.1 Последовательная структурная схема системы автоматического управления в пространстве состояний

В этой схеме реализуется решение системы дифференциальных уравнений (2.12) и уравнения (2.11).

На рис. 2.2 приведена структурная схема САУ в векторной форме, составленная по уравнениям (2.13) и (2.14).

Рис. 2.2 Структурная схема САУ в векторной форме

49. Параллельная схема сау в пространстве состояний.

В теории дробно-рациональных функций доказано, что передаточная функция (2.9) W(p) может быть представлена в виде суммы элементарных дробей: , (2.15) где- корни уравнения, называемые полюсами функции W(p). В общем случае полюсы могут быть действительные и комплексные, разные и кратные. Коэффициенты А_iнаходятся через коэффициенты а_iи b_iразличными методами /3/ :

- методом неопределенных коэффициентов,

- методом подстановки численных значений,

- методом предельных значений.

Помножим левую и правую части (2.15) на изображение входного сигнала Х(р) и получим: . (2.16)

Введем обозначение , (2.17) откуда имеем:.

Применим обратное преобразование Лапласа для левой и правой частей этого выражения и получим: . (2.18) Здесь i = 1, 2 ... m ;- символ дифференцирования.

Каждое дифференциальное уравнение в (2.18) вычисляется по схеме на рис.2.3 (i=1).

Рис. 2.3. Схема вычисления дифференциального уравнения первого порядка

На основании (2.16) с учетом (2.17) имеем:

Применим обратное преобразование Лапласа и получим: (2.18) где- переменные состояния системы в параллельной схеме.

На рис. 2.4 приведена параллельная схема САУ в пространстве состояний, в которой реализуется вычисление по (2.18).

Рис. 2.4. Параллельная схема САУ в пространстве состояний

Систему уравнений (2.18) также можно записать в матричной форме: (2.19) где,- векторы переменных состояния и их производных размером,

здесь - символы дифференцирования,- вектор управления размером,

- диагональная матрица системы размером.

Приведенные на рис. 2.1 и 2.4 схемы САУ в пространстве состояний широко используются для моделирования этих систем с помощью ЭВМ.