Динамічні параметри згасаючих коливань.

а) Коефіцієнт згасання

Коефіцієнт , що характеризує швидкість згасання коливань, називаєтьсякоефіцієнтом згасання.

Визначимо фізичний зміст коефіцієнта згасання . Візьмемо відношення двух амплітуд, розділених за часовим інтервалом в 1 секунду:

–натуральний логарифм відношення двох амплітуд, розділених інтервалом в 1 с.

б) Логарифмічний декремент згасання

Швидкість згасання також характеризують логарифмічним декрементом згасання, яким називається величина, рівна натуральному логарифму двох останніх амплітуд, розділених проміжком часу, рівним 1 періоду.

Логарифмічний декремент згасання в раз більше чим.

Оскільки й, то.

в) Добротність коливальної системи.

Енергетично коливальна система характеризується добротністю. Під добротністю розуміють збільшене в раз відношення повної енергії системи до енергії витраченої за період:

чим менше енергії розсіюється, тим більше добротність системи.

Можна показати, що

–добротність обернено пропорційна логарифмічному декременту.

Вимушені коливання – незгасаючі коливання, які відбуваються у коливальній системі внаслідок дії на неї зовнішньої сили, що змушує, що періодично змінюється.

Нехай сила, що змушує коливатися систему, змінюється за законом .

Крім на систему діють: сила, силатертя .

Рівняння руху:

; ;

–динамічне рівняння вимушених гармонічних коливань, яке є неоднорідним диференціальним рівнянням 2-го порядки.

Загальне рішення такого рівняння: – дорівнює сумі загального рішення– однорідного рівняння й частинного рішеннянеоднорідного рівняння. За досить великий проміжок часу власні коливання практично згаснуть і залишиться ІІ доданок. Тому– описує вимушені коливання системи.

Можна показати, що , тобто вимушені коливання є гармонічні коливання з амплітудою тієї ж частоти, яку має сила, що їх збуджує. Однак зсув зміщений по фазі на.

(5-26)

Амплітуда вимушених коливань залежить від співвідношення частоти вільних (власних) коливань до частотизмушуючої сили, а також від сили, що збуджує коливання.

Графік залежності А=А(ω) для різних значень коефіцієнта згасання показаний на рис (5.17).

Рис. 5.17.

Резонанс

Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при певному значенні частоти сили, що їх збуджує, називається механічним резонансом.

Якщо то;; (*)

Частота сили, що збуджує коливання, при якій наступає резонанс, називається резонансною частотою.

Резонансна частота й резонансна амплітуда залежать від згасання системи.

Зі зменшенням ;;.

На практиці ;.

Максимальне значення амплітуди досягається при мінімальному значенні підкореневого виразу у формулі (*). Умовою мінімуму є рівність нулю похідної від підкореневого виразу за частотою.

Знайдемо резонансну частоту :

;

; ;

Знаходимо резонансну частоту:

; (5-27)

Підставимо у (*) і отримаємо резонансне значення амплітуди

(5-28)

Із (5-27) при згасанні коливань () завжди менша власної частотисистеми. При незначному згасанні,і резонансна амплітуда (*) перетворюється на нескінченність, що означає практично руйнування коливальної системи.

Резонансна частота (5-27) при згасанні коливань () завжди менша від власної частотисистеми. При незначному згасанні (), і резонансна амплітуда (5-28) перетворюється на нескінченність, що означає практично руйнування коливальної систе­ми. На рис. 5.17 показано залежність амплітуди вимушених коли­вань від частоти змушуючої сили для різних значень коефіцієнта згасання. Криві залежностіназивають амплітудними резонан­сними кривими. Із збільшенняммаксимуми резонансних кривих знижуються і зміщуються у бік менших частот. Приявище резонансу зникає, тобто, і система отримує статичне зміщення від положення рівновагипід дією сталої сили, що дорівнює амплітуді змушуючої сили.

При малому згасанні згідно з формулою (5-28), добротність систе­ми

. (5-29)

Добротність при показує, у скільки разів амплітуда вимуше­них коливань у момент резонансу перевищує статичне зміщення. До системи під дією сталої сили, що дорівнює амплітуді змушуючої си­ли. Чим вища добротність системи, тим вищий та гостріший максимум амплітудної резонансної кривої і тим повільніше згасають її вільні коливання.

Проаналізуємо залежність зсуву фаз від частоти . Якщо, то, тобто фаза вимушених коливань збігається з фазою змушуючої сили. Із збільшенням частоти, коли вона набуває значень, близьких до,, тобто зміщення коливальної системи відстає від змушуючої сили за фазою на. При подальшому збільшенні частоти () зсув фаз досягає майже, тобто зміна зміщень і змушуючої сили з часом відбувається майже у протилежних фазах.

Зсув фаз на при резонансі має істотне значення для вимуше­них коливань. Оскільки змушуюча сила випереджає зміщення на, то вона діє у тому самому напрямі, що й вертальна сила, тобто в напрямі руху. При цьому робота змушуючої сили завжди додатна. Внаслідок цього енергія системи збільшується. Графічну залежність зсуву фаз ф від частоти со змушуючої сили показано на рис. 5.18. Криві, що виражають зміну фаз со при зміні частоти со змушуючої сили, називаютьфазовими кривими резонансу.

Рис. 5. 18

Вимушені коливання виникають також при періодичній коротко­часній дії зовнішніх сил на коливальну систему. Така дія може мати характер удару, поштовхів. у цих випадках також може спо­стерігатися явище резонансу. Характерним є те, що резонанс відбуватиметься не тільки тоді, коли частота силової дії близька до частоти вільних коливань систем, а й тоді, коли дія зовнішніх сил по­вторюється з частотою, кратною частоті власних коливань системи.

Виявляється, що можливі коливання систем під дією сталої сили. Так, при великій швидкості польоту літака його крила можуть рапто­во набути коливального руху. Коливання із зростаючою амплітудою, що виникають у потоці повітря під дією аеродинамічних сил, назива­ють коливаннями типу флатер. При таких коливаннях амплітуда зростає досить швидко і конструкція може зруйнуватися. Ці коливання наста­ють при так званій критичній швид­кості польоту. Тому при проектуванні літака необхідно забезпечити конст­рукції критичну швидкість значно більшу, ніж швидкість самого літака. Поряд з флатером крил літака мо­жуть виникнути подібні коливання будь-якої несучої поверхні.

Системи, в яких виникають періодичні коливання без заданої зовнішньої періодичної дії, називають автоколивальними, а коливан­ня, що виникають у них, – автоколиваннями. Зазначимо, що на відміну від вимушених коливань автоколивання не нав’язуються сис­темі, а виникають у ній.

Для автоколивальної системи характерний так званий зворотний зв’язок. Він проявляється в тому, що, з одного боку, коливання коли­вальної системи впливають на пристрій, який регулює передавання енергії від джерела до цієї системи, а з другого боку, цей пристрій впливає на коливання системи, оскільки він забезпечує підведення енергії до неї.

В автоколивальних системах незагасаючі коливання підтримуються за рахунок енергії, яка передається від джерела енергії до тіла, що здійснює коливання. Будь-яка автоколивальна система складається з таких трьох елементів: тіла або системи тіл, що здійснюють коливаль­ний рух; стаціонарного джерела енергії; пристрою, який регулює пе­редавання енергії від джерела до коливальної системи. Ці три елементи можна чітко виділити, наприклад, у годинниках, в яких ма­ятник або баланс є коливальною системою, заведена пружина або піднята гиря – джерелом енергії і, нарешті, анкерний хід – ме­ханізмом, що регулює передавання енергії від джерела до коливальної системи. Коли енергія, що передається від джерела до коливального тіла за період коливань, дорівнює енергії, витраченій тілом за цей проміжок часу на подолання сил тертя, то в системі встановляться не­загасаючі коливання зі сталою амплітудою.