Практичне заняття 5.1 Тема: Механічні коливання. Кінематика гармонічних коливань Основні формули та методичні рекомендації

Механічні коливання відрізняються від розглянутих вище видів руху тим, що прискорення при коливальному русі є змінна величина. Через це необхідно ретельно розглянути на вправах співвідношення між кінематичними параметрами коливального руху.

Вивчення коливань слід починати з гармонічних коливань. Гармонічним коливальним рухом називається такий рух, при якому зсув точки або тіла змінюється з часом за гармонічним (синусоїдальним) законом.

Залежно від характеру руху його можна описувати за допомогою або лінійної, або кутової координати. І у тому, і в іншому випадках, закон гармонічного руху має наступний вигляд:

, (1)

де х – значення координати (кутової або лінійної s) у момент часу t; – амплітуда коливань (кутова або лінійна);– кругова або циклічна частота;– фаза коливань;– початкова фаза.

Обидва вирази (1) абсолютно ідентичні і відрізняються тільки значеннями початкових фаз на .

Диференціюючи першу формулу виразу (1), отримаємо

(2)

, (3)

де – лінійна або кутова швидкість;– лінійне або кутове прискорення.

Слід звернути увагу на те, що:

1) прискорення при гармонічному коливанні прямо пропорційне зсуву, взятому з протилежним знаком, а коефіцієнт пропорційності рівний квадрату кругової частоти;

2) величина швидкості досягає максимального значення, коли зсув і прискорення рівні нулю.

Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Яка частота, амплітуда і початкова фаза коливань, заданих рівнянням (у системі СГС): . Які максимальна швидкість і прискорення точки, що коливається за заданим законом?

Розв'язання.

Просте порівняння загальної формули гармонічного коливального руху із заданим законом руху:

,

дозволить нам з рівняння визначити амплітуду та циклічну частоту:

А = 1 см; = 630 с^-1;

Далі визначимо шукані величини:

= 20 Гц; = 1 рад

Максимальну швидкість і прискорення знайдемо за формулами:

= 630 см/с

= 4·10⁵ см/с².

Приклад 2. За яку частку періоду тіло, що здійснює гармонічні коливання, пройде шляхи, рівні половині амплітуди і амплітуді, якщо в початковий момент тіло проходило через положення рівноваги?

Розв’язання.

Шлях s, пройдений тілом, в даному випадку може бути виражений як різниця зсувів тіла в різних положеннях. Тоді

,

де s и s₀ – зсуви тіла, що коливається, від положення рівноваги відповідно в кінці і початку шляху.

У першому випадку

; (1)

згідно умові

У другому випадку

, (2)

де – зсув тіла до кінця другого шляху; згідно умові

Тіло здійснює гармонічні коливання згідно із законом:

; (3)

Такий запис закону руху витікає з умови, що початкова фаза рівна нулю. При t = 0 маємо

Підставивши ці умови у формулу (1), отримаємо

.

Задачі для самостійного розв’язування та домашнього завдання

1. Написати рівняння гармонічного коливального руху з амплітудою А = 5 см, якщо за час t = 1 хв здійснюється 150 коливань і початкова фаза коливань . Накреслити графік цього руху.

2. Написати рівняння гармонічного коливального руху з амплітудою А = 0,1 м, періодом Т = 4 с і початковою фазою = 0.

3. Написати рівняння гармонічного коливального руху з амплітудою А = 50 мм, періодом Т = 4 с і початковою фазою . Знайти зсувx точки, що коливається, від положення рівноваги при t = 0 і t = 1,5 c. Накреслити графік цього руху.

4. Написати рівняння гармонічного коливального руху з амплітудою A = 5 см і періодом Т = 8 с, якщо початкова фаза коливань рівна: а) 0; б); в); г) 3/2; д) 2. Накреслити графік цього руху у всіх випадках.

5. Накреслити на одному графіку два гармонічні коливання з однаковими амплітудами А₁ = А₂ = 2 см і однаковими періодами Т₁ = Т₂ = 8 c, але мають різницю фаз ₂ –₁ рівну: а) /4; б)/2; в); г) 2.

6. Через який час від початку руху точка, що здійснює гармонічне коливання, зміститься від положення рівноваги на половину амплітуди? Період коливань T = 24 c, початкова фаза = 0.

7. Початкова фаза гармонічного коливання = 0. Через яку частку періоду швидкість точки буде рівна половині її максимальної швидкості?

8. Через який час від початку руху точка, що здійснює коливальний рух за рівнянням ,проходить шлях від положення рівноваги до максимального зсуву?

9. Амплітуда гармонічного коливання А = 5 см, період Т = 4 с. Знайти максимальну швидкість точки, що коливається, і її максимальне прискорення а_mах.

10. Рівняння руху точки задано у вигляді см. Знайти період коливань Т, максимальну швидкість і максимальне прискорення а_mах точки.

11. Рівняння руху точки задано у вигляді .Знайти моменти часу, в які досягаються максимальна швидкість і максимальне прискорення.

12. Точка здійснює гармонічне коливання. Період коливань T = 2 c, амплітуда A = 50 мм, початкова фаза = 0. Знайти швидкість точки у момент часу, коли зсув точки від положення рівноваги x = 25 мм.

13. Написати рівняння гармонічного коливального руху, якщо максимальне прискорення точки а_mах = 49,3 см/с², період коливань T = 2 c і зсув точки від положення рівноваги в початковий момент часу x_o = 25 мм.

14. Точка здійснює гармонічне коливання з частотою n = 10 Гц, В момент прийнятий за початковий, точка мала максимальне зміщення X_max = 1 мм. Написати рівняння коливань матеріальної точки.

15. Вздовж пружного шнура поширюється поперечна хвиля зі швидкістю 15 см. Період коливань точок шнура Т = 2,1 с, амплітуда коливань x = 0,2 м. Визначити довжину хвилі, фазу і зміщення х точки, що знаходиться на відстані y = 4,5 м від джерела хвиль у момент часу t = 4c.

16. Точка здійснює гармонічні коливання. У даний момент відхилення точки становить 5 см, швидкість – 0,2 м/с, а прискорення – 0,8 м/с². Визначити амплітуду, циклічну частоту, період коливань, а також значення фази для даного моменту часу.

17. Визначити максимальне прискорення матеріальної точки, що виконує гармонічні коливання з амплітудою 15 см, якщо найбільша швидкість точки становить 0,3м/с. Написати рівняння коливань.

18. Написати рівняння гармонічних коливань з амплітудою 5 см, якщо за хвилину виконується 150 коливань, а початкова фаза коливань становить 45º.

19. Через який проміжок часу від початку руху точка, що здійснює гармонічні коливання, відхиляється від положення рівноваги на половину амплітуди? Період коливань 24 с, початкова фаза дорівнює нулю.