Практичне заняття 5.2 Тема: Динаміка гармонічних коливань. Основні формули та методичні вказівки:

1. Якщо тіло здійснює коливання під дією квазіпружної сили, то незалежно від природи цієї сили циклічна частота і період коливань (вони будуть гармонічними) завжди визначаються з рівняння , де k – коефіцієнт квазіпружної сили. Зокрема, якщо коливання зумовлені пружною силою пружини, то коефіцієнт k називається жорсткістю пружини.

2. Циклічна частота ω згасаючих коливань, як це витікає із співвідношення, завжди менша циклічної частоти вільних коливань за відсутності опору, тобто власної частоти ω_o. Таким чином, опір середовища приводить до зменшення частоти і до збільшення періоду коливань. Проте в багатьох задачах, коли опір середовища незначний, його впливом можна нехтувати і розраховувати частоту і період слабо згасаючих коливань за формулами. Це можна робити при виконанні наступних нерівностей:

або

Сила, що діє на тіло при вільному гармонічному коливанні (квазіпружна сила) завжди пропорційна зсуву і направлена в бік, протилежний зсуву.

,

де k = m·ω_o² – коефіцієнт квазіпружної сили, який чисельно дорівнює силі, що викликає зсув х, рівний одиниці.

За відсутності опору середовища циклічна частота ω_o вільних гармонічних коливань, називається власною циклічною частотою, та її період Т рівні:

Період коливань математичного маятника завдовжки l рівний

Період коливань фізичного маятника

,

де I – момент інерції маятника відносно осі коливання; l – відстань від точки обертання до його центру тяжіння.

Повна енергія тіла, що здійснює гармонічні коливання, постійна і рівна

Рівняння зсуву в згасаючих коливаннях за наявності сили опору пропорційній швидкості (, де – коефіцієнт опору), має вигляд

Тут – амплітуда зсуву, що зменшується з часом; β – коефіцієнт згасання; ω – циклічна частота; А_о, φ_о – початкова амплітуда і фаза (визначаються з початкових умов). Величини , визначаються через параметри системи , m, k формулами:

Логарифмічний декремент згасання

,

де A₁ і А₂ – амплітуди двох послідовних згасань.

Амплітуда вимушених коливань

,

де – відношення амплітуди сили, що примушує коливатися, до маси тіла; ω_o – власна циклічна частота; ω – циклічна частота сили, що примушує коливатися.

Резонансна циклічна частота рівна:

Приклади розв’язку типових задач

Приклад 1. Визначити період коливань фізичного маятника, що здійснює малі коливання, який складається з однорідного стержня завдовжки L = 30 см; точка підвісу закріплена на відстані x = 10 см від центру стержня. Накреслити графік залежності періоду коливань від відстані х.

Розв’язання.

При малих відхиленнях від положення рівноваги фізичний маятник здійснює гармонічні коливання з періодом

,

де I – момент інерції стержня відносно осі, яка проходить через точку підвісу, m – маса стержня, x – відстань від центра мас до точки підвісу.

Момент інерції стержня, згідно теореми Штейнера, рівний

Тоді період коливань

= 0,84 с.

Для того, щоб з’ясувати характер графіка залежності періоду Т від відстані х, треба знайти точки екстремуму.

Диференціюючи вираз для періоду Т по х, знайдемо

при

при цьому значенні

Отже, при графік має мінімум. При зменшенні відстані період коливань зростатиме; при, що відповідає положенню байдужої рівноваги.

При , що відповідає гойданню стержня, підвішеного на довгій нитці

і період цього маятника буде рівний періоду математичного маятника

.

Приклад 2. Визначити період коливань стовпчика ртуті U-подібної трубки при виведенні його з положення рівноваги. Площа перерізу трубки S = 0,3 см²; маса ртуті m = 120 г.

Розв’язання.

Рис. 1.

Якщо ртуть, налиту в U-подібну трубку, вивести з положення рівноваги, то вся маса ртуті здійснюватиме коливальний рух (рис. 1).

Очевидно, що коливання кожного рівня здійснюватимуться відносно положення рівноваги, що відповідають висотам рівнів ртуті в обох колінах. Тому різницю рівнів зручно позначити через 2x. Вся маса ртуті знаходитиметься під дією надмірного тиску стовпа ртуті заввишки 2x, тому

, (1)

де D – густина ртуті.

Знак «мінус» в даному випадку говорить про те, що сила тиску, що надається правим стовпчиком зав­вишки 2x, направлена вниз, і правий рівень відносно положення рівноваги зміщений вгору.

Тертя між ртуттю і стінками посудини вважаємо відсутнім.

З рівняння (1) знаходимо

тоді період коливань

= 0,75 с.

Приклад 3. Амплітуда згасаючих коливань за час t₁ = 20 с зменшилася в n₁ = 2 рази. У скільки разів вона зменшиться за час t₂ = 1 хв?

Розв’язання.

Амплітуда згасаючих коливань у момент часу t визначається виразом

, (1)

де А_о – початкова амплітуда, β – коефіцієнт згасання.

По величині відношення можна визначити коефіцієнт згасанняβ.

Логарифмуючи формулу (1) і враховуючи вираз для n₁ отримаємо

(2)

Підставивши з виразу (2) значення β у формулу (1), написану для n₁ моменту часу t = t₂ знаходимо

,

звідки шукане відношення

= 8.

Приклад 4. Згасаюче коливання відбувається згідно із законом (см). Знайти амплітуду післяN = 10 повних коливань.

Розв’язання.

Амплітуда згасаючих коливань у момент часу t може бути виражена, якщо відомий логарифмічний декремент, таким чином:

,

де Θ = βT – логарифмічний декремент, Т – період коливань.

Відношення рівне заданому числу N повних коливань.

Початкова амплітуда А_о, період коливань Т і логарифмічний декремент Θ можуть бути знайдені з порівняння загального виду закону руху згасаючих коливань із заданим.

Розглядаючи заданий закон руху, знаходимо

= 10 см; T = 0,25 c; Θ = βT = 0,05.

Шукана амплітуда

= 6 см.