Зв’язок гармонічного коливання з обертальним рухом. Графічний метод опису гармонічного коливання.

Розглянемо рівномірний обертальний рух математичної точки, описавши його векторним способом. Нехай радіус-вектор , що визначає положення цієї точки відносно плоскої системи відлікуОХУ, рівномірно обертається навколо центра О з кутовою швидкістю ω. Розглянемо проекцію радіус-вектора на вісь ОХ.

, де (φ₀ – кут між вектором і віссюОХ в момент часу t=0), а . Тоді одержимо:

,

тобто маємо рівняння гармонічного коливання матеріальної точки.

Таким чином, проекцію кінця радіус-вектора, що обертається з кутовою швидкістю ω можна розглядати як зміщення точки при гармонічному коливанні, причому циклічна частота коливань дорівнює кутовій швидкості обертання радіус-вектора, а амплітуда коливань – його модулю.

Рис. 5.6.

Звідси випливає графічний метод опису гармонічних коливань, який називають методом векторних діаграм (рис. 5.6). Він ґрунтується на тому, що гармонічне коливання можна задати за допомогою радіус-вектора математичної точки, що обертається з кутовою швидкістю рівною циклічній частоті коливань, а модуль радіус-вектора дорівнює амплітуді коливань.

Додавання коливань.

а) Додавання коливань одного напрямку з однаковими частотами.

Нехай додаються два гармонічні коливання

, однакового напряму і частоти, але з різними амплітудами і фазами.

Використаємо метод векторних діаграм, згідно якого гармонічне коливання графічно можна представити у вигляді радіус-вектора, який обертається, модуль якого дорівнює амплітуді коливання, а кутова швидкість обертання дорівнює циклічній частоті коливань.

Рис. 5.7.

Таким чином, гармонічні коливання х₁ і х₂ можна представити як проекції векторів і, які обертаються з кутовою швидкістюω. Так як ω = соnst, то кут.γ = сonst → γ =α₁ – α₂ = ωt+φ₀₂ – ωt – φ₀₁= φ₀₂ – φ₀₁ = const.

Так як сума проекцій векторів іна деяку вісь дорівнює проекції на цю вісь вектора=+, то результуюче коливання можна графічно представити у вигляді проекції вектора, що обертається з тією швидкістюω (γ =сonst).

Тобто: х = х₁ + х₂=А cosα, де α = ωt + φ₀, х = А cos(ωt + φ₀).

Висновок. Якщо точка одночасно приймає участь у двох гармонічних коливаннях, що відбуваються в одному напрямку з однаковою частотою, то результуюче коливання також буде гармонічним коливанням, що відбувається в тому ж напрямку і з тією ж частотою, що і складові коливання.

Знайдемо початкову фазу і амплітуду результуючого коливання в момент часу t=0 : α₁ = φ₀₁, α₂ = φ₀₂, α = φ₀.

Тоді з рисунка 5.7. випливає, що

(5-5)

Амплітуду результуючого коливання знайдемо, використовуючи теорему косинусів:

(5-6)

З (5-6) видно, що амплітуда результуючого коливання залежить від різниці фаз складових коливань. Якщо (п = 0,1,2...) то . У випадку, тобто складові коливання відбуваються у протилежних фазах, то амплітуда результуючого коливання, бо за означенням амплітуда величина додатна.

б) Додавання коливань одного напрямку з різними частотами.

Якщо додати два гармонічні коливання одного напрямку з різними частотами, то вектори іобертаються з різними кутовими швидкостямиі. В результаті чого кутγ між ними γ= γ(t). Тому, модуль вектора результуючого коливання =+буде змінюватись з часом, так як і його кутова швидкість. У випадку коли частоти коливаньтаблизькі за значеннями, виникає явище, яке називається биттям. У цьому випадкуі результуючий рух можна розглянути як періодичне коливання з пульсуючою амплітудою. Частота таких коливань дорівнює середньому арифметичному значенню частот складових коливань.

Висновок. Результуюче коливання не є гармонічним.