Додавання двох взаємно перпендикулярних коливань. Фігури Ліссажу.

Нехай одне гармонічне коливання відбувається вздовж осі Ох, а друге вздовж осі Оу:

Знайдемо рівняння траєкторії результуючого коливання. Для цього виключимо час t.

Помножимо перше рівняння на , а друге наі знайдемо їх різницю:

(5-7)

Помножимо перше рівняння на , а друге наі також знайдемо їх різницю:

(5-8)

Піднесемо до квадрату і почленно додамо (5.7) і (5.8). Одержимо:

Одержали рівняння еліпса в загальному вигляді. Траєкторія результуючого коливання – крива ІІ порядку еліпс. Орієнтація цього еліпса залежить від різниці фаз складових коливань.

Розглянемо окремі випадки:

а) нехай різниця фаз (п = 0,1,2...).

Тоді: , тобто

Висновок. При різниці фаз Δφ=0 точка рухається по відрізку прямої, що проходить через початок координат з кутовим коефіцієнтом , обмеженому амплітудамиА і В коливань (рис. 5.8).

Рис. 5.8.

б) якщо (п = 0,1,2...), то рівняння приймає вигляд:

, тобто.

В цьому випадку результуюче гармонічне коливання здійснюється з частотою ω навколо точки О по відрізку прямої, що нахилена до осі під кутом (рис. 5.8).

в) якщо Δφ=π/2, або 3π/2, то одержимо траєкторію результуючого коливання – еліпс, осі якого співпадають з осями координат

Рис. 5.9.

В першому випадку рух здійснюється за стрілкою годинника, в другому випадку – проти (рис. 5.9).

г) якщо А=В , а Δφ=π/2, або 3π/2, то еліпс перетворюється в коло радіуса R=A=B (рис. 5.10).

Рис. 5.10.

Висновок. Додавання двох взаємно перпендикулярних коливань однакової частоти приводить в загальному випадку до руху точки по еліпсу. В деяких випадках еліпс може виродитись у відрізок прямої або коло. При інших співвідношеннях частот коливань, що додаються, траєкторії результуючих коливань мають більш складну форму. Ці складні лінії називаються фігурами Ліссажу.

Динаміка гармонічного руху. Рух під дією пружних і квазіпружних сил.

Якщо внутрішні сили консервативні, то механічна енергія коливальної системи зали­шається сталою (не витрачається на роботу проти сил опору). Такі вільні коливання називають власними.

Розглянемо основні типи коливальних систем.

а) пружинний маятник – механічна система, що складається з пружини з коефіцієнтом пружності (жорсткістю) k, один кінець якої жорстко закріплений, а на іншому знаходиться вантаж масою m (рис. 5.11).

Коли на масивне тіло діє сила пружності, яка повертає його в положення рівноваги, воно здійснює коливання біля цього положення. Період коливань пружинного маятника визначається:

Рис. 5.11.

При прямолінійному гармонічному коливанні прискорення матеріальної точки змінюється згідно із законом:

,

де

За другим законом Ньютона отримаємо рівняння руху пружного маятника:

(5-9)

; ;

;

(5-10)

При прямолінійному гармонічному коливанні на матеріальну точку діє сила пропорційна зсуву х і направлена, як і прискорення в сторону, протилежну зсуву (у бік положення рівноваги).

Вірне і зворотне твердження.

Силу, що задовольняє умові: вона пропорційна зсуву і направлена вбік протилежно зсуву, називають повертаючою а k – коефіцієнтом повертаючої сили.

Рис. 5.12.

б) Крутильний маятник – механічна система, що є тілом, підвішеним в полі тяжіння на тонкій нитці і яке має лише одну ступінь свободи: обертанням навколо осі, яка задається нерухомою ниткою
(рис. 5.12). Якщо при повороті тіла в нитці виникає момент сил, пропорційний куту поворота, то тіло обертатиметься за гармонійним законом з періодом

,

де I – момент інерції тіла, а D – обертальний коефіцієнт жорсткості маятника.

При крутильних гармонічних коливаннях кутове прискорення:

;

При гармонічних крутильних коливаннях на тіло діє момент сил прямо пропорційний куту повороту і направлений, як і кутове прискорення у бік, протилежний повороту (до положення рівноваги). Момент, що задовольняє відміченим умовам, називається повертаючим, а D – коефіцієнтом повертаючого моменту.

(5-10а)

Такими силами, які б змінювалися згідно із законом , є перш за всесили пружності, які виникають у твердих тілах при малих деформаціях розтягування (стиснення), а також кручення.

Проте, окрім сил пружності, існують і інші сили, які підкоряються вказаним законам.

в) коливання плаваючого тіла (рис. 5.13.)

Рис. 5.13.

;

Сили (моменти сил), що підкоряються закону (), але не є пружними, називаються квазіпружними (майже пружними).

Висновок: Отже, гармонічні коливання матеріальної точки виникають під дією пружних або квазіпружних сил.