Згасаючі гармонічні коливання.

Нехай на систему, окрім квазіпружної сили діє і сила опору.

–рух у в’язкому середовищі з малими швидкостями.

,

де b – коефіцієнт опору.

Знак мінус вказує на те, що вектори опору імають протилежні напрямки.

, (5-15)

де – власна частота вільних коливань системи;– коефіцієнт згасання коливань.

Рівняння (5-15) є лінійним диференціальним рівнянням ІІ порядку з постійним коефіцієнтом.

Розв’язок однорідного диференціального рівняння (5-15) при можна записати у вигляді

, (5-16)

де – амплітуда згасаючих коливань як функція часу;– циклічна частота коливань.

Встановимо закономірність зменшення амплітуди згасаючих коливань і визначимо частоту коливань.

Вважатимемо, що втрати енергії системи у процесі коливань в ос­новному зумовлені роботою проти сил опору. За час система зміщується наі втрачає енергію

(5-17)

Звідси випливає, що швидкість зменшення енергії пропорційна кінетичній енергії системи:

(5-18)

Припустимо, що при невеликому згасанні коливань () кінетична енергія дорівнює половині всієї механічної енергіїЕ. Тоді (5-17) набуває вигляду

(5-19)

Це припущення, як видно із (5-19), означає, що енергія згасаючих коливань зменшується тим повільніше, чим меншою стає сама енергія. Розділивши змінні

,

проінтегруємо це рівняння і дістанемо

(5-20)

Сталу інтегрування С визначимо із початкових умов. Якщо в по­чатковий момент часу () механічна енергія системи дорівнювала, то з (5-20) випливає. Перейшовши в рівнянні (5-20) від логарифмів до показникової функції, знаходимо

. (5-21)

Оскільки механічна енергія коливального руху пропорційна квад­рату амплітуди, то з (5-21) випливає залежність амплітуди згасаю­чих коливань від часу:

, (5-22)

де – амплітуда коливань у початковий момент часу (). Отже, амплітуда згасаючих коливань зменшується з часом за експо­ненціальним законом. У загальному випадку закон зменшення амплітуди коливань залежить від характеру сил опору, які діють у системі.

Враховуючи у виразі (5-16) залежність , отримаємо рівняння згасаючих коливань

, (5-23)

де частота коливань ще підлягає визначенню, а початкові значення амплітудиі фазивизначаються для конкретного коливання із початкових умов, як і в разі вільних коливань при відсутності сили опору.

Частоту визначимо з умови, що вираз (5-23) є розв’язком ди­ференціального рівняння (5-15). Тобто підстановка у диференціальне рівняння виразів для,іперетворює ліву частину рівняння в тотожно рівну нулю. Із утвореної таким чином тотожності випливає формула частоти згасаючих коливань

(5-24)

Період згасаючих коливань

(5-25)

Отже, частота згасаючих коливань (5-24) завжди менша від час­тоти власних коливань системи, тобто наявність сил опору в системі () зменшує частоту (збільшує період) коливань. При великому згасанні () система, виведена зі стану рівноваги, не здійснює коливань (), а поступово наближається до положення рівноваги. Такий рух називаєтьсяаперіодичним ().

На рис. 5.16 зображено графік згасаючих коливань. Штрихові лінії зображають закон зменшення амплітуди з часом. Згасаючі коли­вання не є гармонічними, оскільки амплітуда коливань змінюється. У цьому разі під амплітудою розуміють найбільше значення, якого до­сягає відповідна величина (зміщення, швидкість, прискорення) протягом од­ного періоду коливань. У строгому розумінні згасаючі коливання не можна також вважати періодичними. За озна­ченням періодичним є такий процес, при якому за кожен період повто­рюється будь-який стан коливальної системи. Проте в процесі згасаючих коливань стан коливальної системи взагалі точно не повторюється. На­приклад, якщо у два послідовних мо­менти часу ізміщення системи однакові і дорівнюють нулю, то швид­кості в ці моменти неоднакові (), оскільки амплітуда швид­кості зменшується з часом. При малих силах опору згасаючі коливан­ня являють собою процес приблизно періодичний.

Рис. 5.16