Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

Полна неподвижна и называется ст оячей. Покоящиеся точки называни­ ем умами, а точки, совершающие колебания с максимально возможной амплитудой, — пучностями. Понятия длины волны и частоты для стоя­ чей волны имеют тот же смысл, что и для волны бегущей. При этом расстояние между двумя соседними узлами (или пучностями) равно Половине длины волны.

Пусть изучаемая система (например, струна) имеет конечную дли­

Эю значит, что в системе с закрепленными концами стоячие волны таК0Ш>1, что на длине системы L умещается целое число полуволн.

11.1.2. Волновое уравнение

Получим дифференциальное уравнение, описывающее бегущие

201

где /(£) — произвольная дважды дифференцируемая функция. Най­ дем частные производные от u (x ,t). Обозначая g =x —v t и пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, имеем

Сравнивая вторые производные от м по7 и по х, мы замечаем, что они отличаются постоянным множителем и 2, так что

1 d2u d2u

(11.1.15)

u2 d t2 ~ dx2 '

Полученное равенство называется волновым уравнением. В это

уравнение скорость входит как и 2. Поэтому оно описывает волны, рас­ пространяющиеся как в прямом направлении (со скоростью +и), так и в обратном (со скоростью —и). Общее решение можно представить в виде суперпозиции этих волн:

где M[(z) и u2(z) — произвольные функции.

В трёхмерном случае для волны, бегущей в направлении, задавае­ мом вектором скорости v, имеем

u = f(r ~ v t) =F (x - o xt , y - o y t ,z - u zt).

Рассуждения, аналогичные приведённым выше, позволяют получить

11.1.3. У равнение Г ел ьм гол ьца

Пусть функция и(г, t), удовлетворяющая волновому уравнению

Поскольку

202

2) У равнение (11.1.21)

Вычисляем циркуляцию вектора йапряжёНности магнитного поля в

(учтено, что здесь вектор dS направлен вдоль оси х и равен dydz). В ре­ зультате уравнение (11.1.21) принимает вид

204

Полученное уравнение совпадает по виду с волновым уравнением, опиуыншощим волны, распространяющиеся со скоростью v.

Введённая в (11.1.25) величина п называется показателем преломтшш среды.

Аналогично, исключая из системы уравнений (11.1.24) поле Ех, по­

11.1.5. В о л н о в о е у р а в н ен и е дл я п ол я в л и н ей н о й с р е д е

Приведём более общий вывод волнового уравнения. Электромаг­ нитное поле в однородной области пространства, где нет свободных аирядов и токов проводимости, удовлетворяет уравнениям Максвелла:

Получим уравнение, содержащее только одно поле — электриче­ ское. Для этого применим оператор rot к уравнению (11.1.286):

rotrot Е = graddiv Е—АЕ =—АЕ,

Где учтено уравнение (11.1.27а): divE =div(D/s) ==(divD)/^ =0.

Правая часть уравнения (11.1.29) преобразуется с помощью урав­

Тиким образом, приходим к уравнению

205

и 2 dt

где введено обозначение

(11.1.31)

Аналогичным способом получается и уравнение Для магнитного поля:

и2 dt2

11.2.Плоские электромагнитные волны

11.2.1.Соотношение м еж ду амплитудами полей в бегущей электромагнитной волне

Рассмотрим бегущую электромагнитную волну, распространяю­

Между электрическим и магнитным полями в этом случае имеют место соотношения (11.1.23):

Здесь введено обозначение £ =z —u t , а пприх обозначает дифференци­ рование по £ Выполнив интегрирование по £ получим

№ = с- » g i t ) , с (и.2.2)

Перемножив почленно полученные уравнения, находим известное соот­

206

Таким образом, в бегущей волне напряжённости электрического и

11.2.2. П оп ер еч н о ст ь эл ект ром агнит ны х вол н

Рассмотрим гармонические электромагнитные волны, которые мы

Напряжённости электрического и магнитного полей удовлетворя­ ют уравнения Максвелла. Рассмотрим сначала следствия теорем Гаусса:

divE-О, divН =О

(WO справедливо для волн в однородных средах, где D =еЕ, В =/Ж с

Постоянными диэлектрической и магнитной проницаемостями). Найдём

Тнким образом, получаем kE =0. Аналогично, из уравнения divH = 0 ув'ПШавливаехся, что кН =0. Следовательно, векторы Е и Н перпенди­ кулярны направлению распространения, задаваемому волновым векго-

§14) свойство называется поперечност ью электромагнитных волн.

Подстановка сюда гармонических плоских волн (11.2.4) даёт равенства

207

Из свойства векторного произведения следует, что векторы Е, Н и к образуют правую тройку взаимно ортогональных векторов (рис. 11.2.1).

ЖЕ

Найдём соотношение между амплитудами векторов напряжённо­ сти электрического и магнитного полей в плоской волне. Имея в виду, что все векторы, входящие в (11.2.5), взаимно ортогональны, можно записать соотношение между длинами этих векторов:

кЕ =—цН , Ш =— sE.

Сс

Перемножив почленно эти равенства, найдём

сс

Если же равенства разделить почленно, то придём к установленному ранее соотношению

11.2.3. Л ек т ор П ой нт и нга дл я п л о ск о й эл ек т р ом а гн и т н ой волны

Рассмотрим частный случай — плоскую электромагнитную волну в однородной изотропной среде. Эта волна поперечная, и в ней выпол­ няется соотношение (11.2.7) между амплитудами напряжённостей элек­ трического и магнитного полей. Поэтому вектор Пойнтинга направлен по волновому вектору к (рис. 11.2.1).

С учётом сказанного величину вектора S можно записать как

Кроме того, в соответствии с (11.2.7) плотности электрической (wE) и магнитной (wfi) энергий равны, так что

208

11.2.4.Интенсивность излучения

Электромагнитная волна — это электромагнитное поле с периоди­ чески меняющимися полями Е и В. В случае высокочастотных полей удобно рассматривать не мгновенные значения таких величин, как плот­ ность энергии, а значения, усреднённые за период колебаний. Усред­ нённое таким способом значение вектора Пойнтинга называется интен­

11.3. Импульс электромагнитного поля

11.3.1.Импульс электромагнитного поля

Пусть плоская электромагнитная волна распространяется в вакууме ( £ =1, ц =1). Плотность энергии поля в ней равна

Е2 +Н2 Е2

8/Г 4ж

Как известно из теории относительности, если некоторое тело движется со скоростью у, то его полная энергия W и импульс р связаны соотношением

W\

Р=^ ’

непосредственно вытекающим из формул

W =т с2/ y jl-(v / c)2 , р =т\/y jl-(v / c)2 .

В частности, если частица движется со скоростью света, и - с, то связь её импульса и энергии принимает вид

p=W/c.

Вслучае электромагнитного поля удобно рассматривать плотности энергии и импульса, т.е. величины, приходящиеся на единицу объёма. Поскольку поле в вакууме распространяется со скоростью света, то для

209

него связь плотности импульса g и плотности энергии w может быть записана в виде

Для электромагнитной волны величина вектора Пойнтинга есть S = cw , откуда следует w= S/c. Соответственно плотность импульса

оказывается равной g =s/ c2. Поскольку направление распространения

энергии поля совпадает с направлением вектора Пойнтинга, то в век­ торной форме получаем следующее выражение для плотности импульса поля:

сАлс

11.3.2.Д р угой вы вод ф орм улы дл я и м пул ьса п ол я

Рассмотрим следующий процесс: электромагнитная волна погло­ щается телом и передаёт ему свой импульс (рис. 11.3.1).

Падающая

►падает на слой вещества

ипоглощается в нём

Пусть плоская волна падает на среду с £=/и =1 и проводимостью

Л. Тогда по закону Ома электрическое поле волны возбуждает в этой среде ток j =ЛЕ, а магнитное поле действует на возникший ток с силой

Ампера (на единицу объёма среды)

f = - j x B =- E x H =^ S .

С С с

Эта сила за время dt меняет импульс единицы объёма тела на

dg =fdt = Sdt. -

Л с За то же самое время в единице объёма среды поглощается (передаётся от поля веществу) энергия

dw - jEdt =ЛE2dt = АлЛ— dt.

Аж

210