tjurin_teorija_verojatn_978-5-94057-540-5_1

Поэтому (и для разнообразия) используем иной путь. Мысленно продолжим опыт с извлечением шаров и после k-го извлечения, до полного исчерпания запаса шаров в урне. По окончании каждый шар из имеющихся N получит номер: это номер опыта, когда он был вынут из урны. Таким образом, последовательное извлечение шаров из урны — это их упорядочивание, присвоение им порядковых номеров от 1 до N. Верно и обратное: упорядочивание (перенумерование) шаров эквивалентно в математическом смысле физическому действию: последовательному извлечению шаров из урны. Теперь заметим, что при описанном и «продолженном» опыте все возможные упорядоченности расположения шаров равновозможны. Поэтому для подсчета вероятности какого-либо события надо (всего лишь) подсчитать количество благоприятных этому событию исходов, а затем разделить это количество на общее число исходов. В данном случае общее число исходов — это общее число различных упорядочений N объектов, т. е. N! = 1 ·2 ·… ·N. Те исходы, в которых k-м извлекается белый шар, устроены следующим образом. На k-е место может попасть любой из M белых шаров, а прочие места распределены среди оставшихся N −1 шаров произвольно. Число таких упорядочений подсчитываем так: число способов выбрать один из белых шаров (тот, который займет место k) равно M; число расположений по номерам оставшихся N −1 шаров равно (N −1)! Итого, перемножив, получаем M(N −1)! благоприятных упорядочений. Отсюда

для любого k = 1, 2, …, N. Другими словами, вероятность вытащить белый шар на каждом шаге остается неизменной, т. е. порядок выбора не имеет значения.

Упражнения

1.События A и B таковы, что A происходит всегда, когда происходит событие B. Чему в этом случае равна вероятность P( A |B)?

2.Монету бросают либо до появления герба, либо до двукратного появления решки. Известно, что монета была брошена дважды. Какова при этом условии вероятность того, что герб не выпал ни разу?

3.Бросают две игральные кости. Какова вероятность того, что хотя бы на одной из них выпала шестерка, если на костях выпали разные грани?

4.Известно, что при бросании двух игральных костей выпала по крайней мере одна шестерка. Какова при этом вероятность того, что на костях выпали разные грани?

82Глава 1. Основы теории вероятностей

5.Игральная кость бросается до тех пор, пока в сумме не будет набрано не менее трех очков. Какова при этом условии вероятность того, что кость была брошена 2 раза?

6.В одной урне три белых шара и один черный, в другой — один белый шар и три черных. Бросают монету, и если выпадает герб, то шар наудачу извлекают из первой урны; если выпадает решка, то — из второй.

1) Какова вероятность того, что будет вынут белый шар?

2) Известно, что в результате был вынут белый шар. Какова вероятность того, что он был вынут из первой урны?

3.7.Задачи

1.Двое бросают правильную монету n раз каждый. Покажите, что вероятность того, что у них выпадет одинаковое количество гербов,

равна C2nn.

2.Монету бросают до получения 7 гербов. Какова вероятность того, что потребуется n бросаний?

3.Испытания Бернулли проводят до получения 7 успехов. Какова вероятность того, что число «неудач» при этом окажется равным n?

4.Сколько испытаний Бернулли, где вероятность успеха p = 14 , на-

до провести, чтобы вероятность появления хотя бы одного успеха была не меньше 0,001?

5.Пусть вероятность попадания в цель равна 15 . Какова вероятность при десяти выстрелах попасть в цель не менее двух раз?

6.Какова вероятность при бросании трех игральных костей получить в сумме 5 очков?

7.Как устроить испытания Бернулли, в которых вероятность успеха и неудачи одинаковы?

Предположим, что мы можем проводить какие-то испытания Бернулли. (Вероятность успеха p и неудачи 1 −p в них вам могут быть даже неизвестны. Обозначим «успех» в этих испытаниях +, а неудачу −.) С их помощью мы можем достичь поставленной выше цели следующим образом. Проведем два испытания. Скажем, что мы наблюдаем в этом новом эксперименте из двух бросков «успех», если выпала комбинация (+−), а неудачу — если (−+). В других случаях результат не засчитываем и опыт повторяем. Покажите, что вероятности так определенных успехов и неудач равны 0,5. Найдите распределение случайного числа опытов, которые надо провести до получения результата (успеха или неудачи).

8.Двое играют в кости. Игрок A бросает кость первым. Он выигрывает, если выбрасывает 6. Если нет, то право бросать кость переходит

к B. Он выигрывает, если выбрасывает 1 или 2. Если и B не выиграл, то очередь переходит к A, и т. д. Какова вероятность выигрышей у A и B? (Ответ можно получить без долгих вычислений.) Найдите закон распределения случайной продолжительности игры.

9. Некто хочет открыть дверь. У него три ключа, из которых только один подходит. Человек случайно выбирает ключ и пробует открыть дверь. Если ключ не подходит, он повторяет попытку. Возможны два способа действий:

1)испробованные ключи в дальнейших попытках не участвуют;

2)испробованный (и не подошедший) ключ в последующих выборах участвует наравне с остальными.

Для обоих способов действий найдите вероятности того, что дверь будет открыта с первой, второй и т. д. попытки.

Глава 2

Случайные величины

§1. Случайные величины и их распределения

Вэтом параграфе мы введем понятие случайной величины, рассмотрим дискретные и непрерывные случайные величины и функции распределения случайных величин.

1.1.Случайные эксперименты и случайные величины

Вслучайных экспериментах нас часто интересуют такие показатели, которые имеют числовое выражение. Например, у каждого человека имеется много числовых характеристик: рост, возраст, вес и т. д. Если мы выбираем человека случайно (например, из группы или из толпы), то случайными будут и значения указанных характеристик. Чтобы подчеркнуть, что выражаемый числом показатель или измеряемая в ходе опыта числовая характеристика зависит от его случайного исхода и потому сама является случайной, ее называют случайной величиной. В учебниках порой можно встретить такое определение: случайная величина — это величина, зависящая от случая (или так: значение которой зависит от случая). Хотя это высказывание звучит как тавтология, оно все же имеет смысл, ибо подчеркивает главное: значение случайной величины зависит от исхода случайного эксперимента, определяется им.

Мы все хорошо знаем, что такое закономерность. Например, при формулировке законов природы мы говорим, что если одна величина принимает такое-то значение, то другая примет такое-то. На случайную изменчивость и случайные величины мы обращаем внимание

вменьшей степени, хотя они окружают нас повсеместно. Так, при производстве фасованных продуктов часто не удается обеспечить точное соответствие массы продукта значению, указанному на упаковке. Отклонения в один-два грамма при этом считаются вполне допустимыми. Важно лишь, чтобы эти отклонения не носили систематического характера. Напряжение электрического тока в бытовой сети может отклоняться от стандартного значения и на пять, и на десять вольт. Для уменьшения этих колебаний обычно используют спе-

Таблица 2.1

Диаметры 200 головок заклепок, мм

13,39 13,43 13,54 13,64 13,40 13,55 13,40 13,26 13,42 13,50 13,32 13,31

13,28 13,52 13,46 13,63 13,38 13,44 13,52 13,53 13,37 13,33 13,24 13,13

13,53 13,53 13,39 13,57 13,51 13,34 13,39 13,47 13,51 13,48 13,62 13,58

13,57 13,33 13,51 13,40 13,30 13,48 13,40 13,57 13,51 13,40 13,52 14,56

13,40 13,34 13,23 13,37 13,48 13,48 13,62 13,35 13,40 13,36 13,45 13,48

13,29 13,58 13,44 13,56 13,28 13,59 13,47 13,46 13,62 13,54 13,20 13,38

13,43 13,36 13,56 13,51 13,47 13,40 13,29 13,20 13,46 13,44 13,42 13,29

13,41 13,39 13,50 13,48 13,53 13,34 13,45 13,42 13,29 13,38 13,45 13,50

13,55 13,33 13,32 13,69 13,46 13,32 13,32 13,48 13,29 13,25 13,44 13,60

13,43 13,51 13,43 13,38 13,24 13,28 13,58 13,31 13,31 13,45 13,43 13,44

13,34 13,49 13,50 13,38 13,48 13,43 13,37 13,29 13,54 13,33 13,36 13,46

13,23 13,44 13,38 13,27 13,66 13,26 13,40 13,52 13,59 13,48 13,46 13,40

13,43 13,26 13,50 13,38 13,43 13,34 13,41 13,24 13,42 13,55 13,37 13,41

13,38 13,14 13,42 13,52 13,38 13,54 13,30 13,18 13,32 13,46 13,39 13,35

13,34 13,37 13,50 13,61 13,42 13,32 13,35 13,40 13,57 13,31 13,40 13,36

13,28 13,58 13,58 13,38 13,26 13,37 13,28 13,39 13,32 13,20 13,43 13,34

13,33 13,33 13,31 13,45 13,39 13,45 13,41 13,45

циальное дополнительное оборудование — стабилизаторы напряжения. Чаще всего закономерность и случайность действуют одновременно, формируя значение измеряемой величины. Однако нас сейчас будет интересовать только ее случайная составляющая.

Примерами, где случайная изменчивость действует отдельно от закономерной, так сказать, «в чистом виде» могут служить многие виды массового производства. Рассмотрим пример, заимствованный из книги А. Хальда [31]. В таблице 2.1 приведены размеры головок 200 заклепок, изготовленных станком (который делает их тысячами). Все контролируемые условия, в которых работал станок, оставались неизменными. В то же время диаметры головок несколько изменялись. Характерная черта случайных колебаний — эти изменения выглядят бессистемными, хаотичными. Действительно, если бы в этих изменениях мы смогли обнаружить какую-либо закономерность, у нас появились бы основания, чтобы искать ответственную за эту

86 Глава 2. Случайные величины

закономерность причину, тем самым изменчивость не была бы чисто случайной. Если бы, скажем, с течением времени размер головки заклепки проявил тенденцию к увеличению, мы могли бы попытаться связать это с износом инструмента.

Диаметр головки заклепки, изготавливаемой станком, надо считать случайной величиной. В таблице. 2.1 приведены значения, которые приняла эта случайная величина в 200 опытах. Часто говорят, что случайная величина реализуется во время опыта. Если употребить это слово, то можно сказать, что таблица 2.1 дает 200 реализаций случайной величины. Случайной величиной, в частности, является упоминавшееся ранее число очков, выпадающее при бросании игральной кости. Сумма числа очков, выпавших при бросании двух игральных костей, тоже является случайной величиной (так же как их разность, произведение и т. д.).

Более аккуратное определение случайной величины таково: случайная величина X, связанная с определенным случайным экспериментом, есть функция от его исхода. Если обозначить элементарный исход опыта через ω, совокупность всех элементарных исходов через Ω, а для выражения функциональной зависимости употребить символ f (·), то сказанное можно кратко записать так:

X = f (ω), где ω Ω.

Бывает и так, что числа служат непосредственными исходами случайного эксперимента, а совокупность элементарных исходов Ω— это числовая прямая или ее часть. В этом случае функция f (·) — это обычная числовая функция. Иногда эта функция устроена совсем просто, она является тождественной, т. е. f (ω) =ω. В частности, при измерении времени службы изделия само это время и выступает случайной величиной.

Пример 1. Пример, рассмотрим испытания Бернулли с двумя исходами, которые по традиции будем называть «успех» и «неудача». Если в испытании происходит успех, будем писать «у», а если неудача, то «н». Предположим, что проводятся n испытаний. Любой возможный результат этих n испытаний — какая-либо последовательность длины n, составленная из букв у и н. Первая буква последовательности — результат первого испытания, вторая буква — результат второго и т. д. Каждая из этих последовательностей — элементарный исход ω описанного опыта, а всего таких возможных последовательностей 2n. Традиционно наиболее важная случайная величина (функция от ω) здесь — это число букв у в последовательности ω. Пусть X обозначает это число. По другому говоря, X — это число успехов

в n испытаниях Бернулли. Ясно, что случайная величина X может принимать значения 0, 1, …, n.

Можно рассматривать и другие случайные величины в этом эксперименте, например число неудач, разницу между числом успехов и числом неудач, число успехов в первых m (где m <n) испытаниях и т. д.

Пример 2. Рассмотрим другой математический пример: случайный выбор точки на заданном отрезке [a, b], a <b. Пусть X — координата этой точки. Ясно, что X — случайная величина. Ее значением может быть любое число из [a, b]. Функции от X дают примеры других случайных величин, относящихся к этому случайному эксперименту. Например, b − X — расстояние от случайной точки до правого кон-

и т. д. У каждой из этих случайных величин свое множество возмож-

Каждая случайная величина задает распределение вероятностей на множестве своих возможных значений. Образно говоря, случайная величина переносит вероятности, существующие на Ω, на числовую прямую, точнее — на совокупность своих возможных значений. Чтобы дать полное описание случайной величины, надо указать, каковы ее возможные значения и как между этими значениями распределена вероятность.

Виды случайных величин. В практических задачах обычно встречаются случайные величины двух видов — дискретные и непрерывные, хотя бывают и такие случайные величины, которые не являются ни дискретными, ни непрерывными. В примере 1 случайная величина X (число успехов) была дискретной, в примере 2 (координата случайной точки) — непрерывной. Ниже мы подробно рассмотрим сначала дискретные случайные величины, а потом непрерывные.

Упражнения

1. В социологическом исследовании случайным образом выбирают респондента. В анкете он указывает свой пол, год рождения, семейное положение, число детей в семье, размер годового дохода. Что в этом случае является элементарным исходом эксперимента? Какие из перечисленных характеристик респондента могут рассматриваться как

случайные величины? Есть ли среди них дискретные случайные величины?

2.Опытный стрелок стреляет по стандартной круглой мишени. Что в этом эксперименте является элементарным исходом? Какую числовую характеристику принято в спорте приписывать этому элементарному исходу? Дискретна или непрерывна эта случайная величина? Измерим в этом случайном эксперименте расстояние между центром мишени и местом попадания. Дискретна или непрерывна подобная случайная величина?

3.При покупке лотерейного билета фиксируется приходящийся на него выигрыш. Что в этом случае является элементарным исходом эксперимента, а что случайной величиной?

1.2. Дискретные случайные величины

Определение 1.2.1. Случайную величину называют дискретной, если множество ее возможных значений конечно либо счетно.

Напомним, что множество называют счетным, если его элементы можно перенумеровать (дать каждому элементу свой номер, натуральное число).

Чтобы задать распределение вероятностей для дискретной случайной величины, надо указать вероятность каждого возможного значения этой случайной величины.

Например, число очков, которое может выпасть при бросании игральной кости, — это дискретная случайная величина. У нее всего шесть возможных значений: это числа 1, 2, …, 6. (Эту случайную величину можно рассматривать как тождественную, для которой f (ω) = ω.) Если мы будем знать, какова вероятность каждой из этих шести возможностей, мы сможем затем вычислить вероятность любого случайного события, связанного с этой случайной величиной.

Предположим, что игральная кость в нашем математическом эксперименте правильная. Это выражение означает, что вероятности всех указанных шести исходов одинаковы и, следовательно, равны

16 . Реальная (материальная) игральная кость близка к правильной,

если она сделана из однородного материала в форме куба. Распределение вероятностей числа выпавших очков при бросании правильной игральной кости представим в виде таблицы 2.2.

Суммарное число очков X при двукратном бросании игральной кости тоже дискретная случайная величина. Формально записать эту случайную величину можно следующим образом. Элементарным исходом эксперимента ω здесь являются пары чисел: ω=(α, β), где α

и β — число очков, выпавших при первом и втором броске кости. Случайная величина как функция элементарного исхода в этих обозначениях есть

X = f (ω) = α+β.

Ее возможные значения — это числа 2, 3, …, 12.

Чтобы закончить описание этой случайной величины, остается указать вероятности этих значений. Пространство элементарных исходов в этом опыте — это 36 пар чисел (α, β), где α и β принимают значения 1, 2, …, 6. Если кости правильные, то каждое из этих значе-

ний может появиться с вероятностью 16 . Если бросание костей неза-

висимо, то вероятность появления пары (α, β) — это произведение двух вероятностей: вероятностей появления α при первом броске и β — при втором. Получаем, что вероятность каждой (из 36) пары

(α, β) равна 361 . Далее для каждого события ( X = 2), ( X = 3), … …, ( X = 12) подсчитываем число благоприятствующих этому собы-

тию элементарных исходов и получаем следующую таблицу распределений.

Таблица 2.3

Распределения дискретных случайных величин часто представляются в виде таблиц. Для этого возможные значения случайной величины предварительно нумеруют. Скажем, случайная величина X может принимать значения x1, x2, …, xn. Подчеркнем, что такая нумерация исходов вводится только для удобства записей. Нумерация исходов произвольна и прямой связи со свойствами случайной величины не имеет. (Хотя иногда нумерация возникает естественно из условий задачи, например по возрастанию.) Вместо выбранной нумерации можно использовать любую другую. Вероятностные выводы от этого не должны зависеть.

Предположим, что для возможных исходов случайной величины X мы выбрали какую-то нумерацию, и теперь возможные значения X суть x1, x2, …, xn (всего n различных чисел). Обозначим вероятности этих возможных значений через p1, p2, p3, …, pn соответственно; число pi — это вероятность события ( X =xi):

pi = P( X = xi), i = 1, 2, …, n.

В этих обозначениях распределение величины X представляет таблица 2.4.

Таблица 2.4

Таблицу 2.4 иногда называют рядом распределения дискретной случайной величины. Подобная таблица исчерпывающе описывает дискретную случайную величину.

Упражнения

Для следующих дискретных случайных величин укажите перечень их возможных значений и составьте таблицу распределения вероятностей.

1.Случайная величина X — число орлов при трех подбрасываниях правильной монеты.

2.Случайная величина X — число успехов в трех испытаниях Бернулли при вероятности успеха в одном испытании p =1/3.

3.В партии из 5 деталей две бракованные. Из партии наугад, по очереди выбирают по одной детали, пока не обнаружат все бракованные. Случайная величина X — число выбранных деталей в описанном выше эксперименте.

4.Правильную игральную кость бросают дважды. Случайная величина X — наибольшее число очков, выпавшее за два броска.

5.Правильную игральную кость бросают дважды. Случайная величина X — частное от деления числа очков, выпавших при первом броске, на число очков, выпавших при втором броске.

6.Правильную монету бросают до тех пор, пока не выпадет первый орел. Случайная величина X — число бросков в этом эксперименте.

7.Психологический тест состоит из пяти вопросов, на каждый из которых предложено три варианта ответов. За вариант ответа на во-