tjurin_teorija_verojatn_978-5-94057-540-5_1

Доказательство. Пусть X1 N(a1 , σ12 ), X2 N(a2 , σ22 ) и случайные величины X1 и X2 независимы. Мы сделаем даже больше, чем утверждает теорема: мы покажем, мы не только покажем, что X1 + X2 подчиняется нормальному распределению, но и найдем параметры этого распределения. Мы докажем, что

X1 + X2 N(a1 +a2, σ12 +σ22 ).

Представим эти случайные величины X1 и X2 в виде линейных функций стандартных случайных величин Z1, Z2 N(0, 1):

X1 = a1 +σ1 Z1 , X2 = a2 +σ2 Z2 ,

причем случайные величины Z1 и Z2 независимы. Теперь

X1 + X2 = (a1 +a2) +σ1 Z1 +σ2 Z2.

Для доказательства теоремы достаточно показать, что случайная величина σ1 Z1 +σ2 Z2 распределена нормально. Для этого вычислим ее функцию распределения

F(t) = P(σ1 Z1 +σ2 Z2 ¶ t), t R1.

Совместная плотность вероятностей пары случайных величин Z1 , Z2 в точке плоскости ( x1, x2) равна

По определению величина F(t) равна интегралу от функции плотности ϕ( x1, x2) по области D, где

D = {( x1, x2) : σ1 x1 +σ2 x2 ¶ t}.

Область D (для t >0) изображена на графике рис. 3.28 а). Обратим внимание на то, что значение плотности ϕ( x1, x2) по-

стоянно на окружностях с центром в нуле. Поэтому интегралы от ϕ( x1, x2) по области D и по области D˜ , которая получается из D поворотом, равны. Область D˜ получим таким поворотом области D,

чтобы граница области D — прямая ( x1, x2) : σ1 x1 +σ2 x2 = t — стала перпендикулярна оси абсцисс. Эта «повернутая» прямая ограничи-

вает область D˜ . Точку оси абсцисс, через которую проходит граница области D˜ , обозначим h. С геометрической точки зрения, |h|— это длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на границу области D. Из геометрических соображений |h| легко вычислить (например, подсчитав площадь треугольника двумя способами):

неса. Как работает этот принцип, будет показано в следующем упражнении.)

2.Ежедневные биржевые стоимости ценных бумаг двух компа-

ний X1 и X2 являются независимыми случайными величинами с одним и тем же нормальным законом распределения с параметрами a = 20 (рублей) и σ2 = 1. Инвестор хочет вложить капитал 40 рублей в эти по сути одинаковые ценные бумаги наиболее надежным образом. Какой из возможных портфелей ценных бумаг для него

предпочтительней: 2 X1 или X1 + X2? Для ответа на этот вопрос можно, например, посчитать вероятность 10% убытков для каждого из

портфелей, т. е. найти P(2 X1 < 36) и P( X1 + X2 <36). (Заметим, что требование одинаковой распределенности случайных величин X1

иX2 в этой задаче не существенно, а вот требования независимости

инормальности этих случайных величин весьма важны.)

3.Усложним упражнение 2. Рассмотрим независимые одинаково нормально распределенные ценные бумаги не двух, а трех компаний. Будем считать наиболее надежным портфель с наименьшей дисперсией. Какой из следующих портфелей ценных бумаг будет наиболее

надежным: 3 X1, 2 X1 + X2 или X1 + X2 + X3?

4.Пусть X1, X2, …, Xn — независимые одинаково распределенные нормальные случайные величины с параметрами a и σ2 . Найдите распределение, математическое ожидание и дисперсию среднего арифметического этих величин.

5.Пусть X1, X2 — независимые одинаково распределенные нормальные случайные величины с параметрами a и σ2 . Найдите распределение случайной величины X1 −X2.

4.2.Компьютерный практикум

Вэтом пункте обсуждаются методы вычисления на компьютере

впакете EXCEL вероятностей вида P( X ¶k), значений плотности в заданных точках и квантилей заданного уровня для произвольного нормального (гауссовского) распределения. Также проводится моделирование последовательности нормально распределенных случайных величин с заданными параметрами a и σ.

4.2.1. Вычисление вероятностей событий, связанных с нормальной случайной величиной. С этим распределением мы уже встречались, обсуждая в гл. 1 вычисление плотности распределения. Вернемся к задаче из п. 2.6 гл. 1. Мы вычислили в этом параграфе в нескольких точках значения плотности нормального распределения, по которому приближенно распределен рост девушек-студенток первого курса. Мы

Рис. 3.30. Использование функции НОРМСТРАСП для вычисления значения функции нормального распределения в точке

эта функция имеет только один аргумент и вычисляется именно функция распределения, а не плотность. В поле ввода аргумента Z можно вводить выражения (см. рис. 3.30). (Это справедливое для всех функций подобного типа свойство мы до сих пор не использовали.) Результат вычислений отображен в этом же окне внизу.

Пример 3.4.2. Решим следующую задачу. Известно, что для массового пошива одежды используют лекала разных категорий размеров. Например, для женщин принята шкала из четырех категорий размеров: 1-я категория для женщин экстра низкого роста (ЭН) соответствует росту до 156 см, 2-я категория для женщин низкого роста (Н) соответствует росту от 156 до 164 см, 3-я категория для женщин среднего роста (С) — росту от 164 см до 172 см, 4-я категория для женщин высокого роста (В) — росту от 172 см. У всех размеров одежды одной категории одинаковая длина, рассчитанная на соответствующие пропорции тела. Рассчитаем для нашей группы девушек-студенток, рост которых распределен по указанному выше нормальному закону, вероятности отнесения к каждой из четырех категорий. Тем самым мы можем приближенно предусмотреть процент одежды каждого роста в общем объеме сшитой одежды для данной группы девушек. Для единообразия вычислений примем, например, для нижней границы ЭН-роста значение 0, а для верхней границы В-роста значение 250 см. Запишем границы каждой категории роста в электронной таблице в виде двух столбцов — A и B. В столбце C запишем вероятности случайно выбранной девушки принадлежать к каждой из четырех категорий размера. Установив курсор в ячейку C1, в поле вставки функции fx введем выражение (формулу) =НОРМСТРАСП((B1−168)/6)−НОРМСТРАСП((A1−168)/6) и

188 Глава 3. Некоторые важные распределения вероятностей

Рис. 3.31. Вычисление вероятностей отнесения к четырем категориям размеров

распространим ее с помощью маркера заполнения на все 4 ячейки столбца C. Результат вычислений изображен на рис. 3.31.

Формула, записанная в строке формул, есть не что иное, как

случайной величины с заданными параметрами попасть в интервал (a, b), левый и правый концы которого записаны в ячейках A1 и B1 соответственно. Обратите внимание на то, что девушки среднего роста (с третьей категорией размера) составляют около 50%.

4.2.2. Вычисление плотности нормального распределения. Гауссовская случайная величина принимает значения на всей действительной прямой. Плотность этого распределения изменяется на всей действительной прямой и задается выражением

Как видно из этого выражения, плотность гауссовской случайной величины определяется двумя параметрами — a (математическое ожидание) и σ (стандартное отклонение). Посмотрим, как выглядит плотность этого распределения при различных значениях параметров a и σ. Сначала изобразим плотность стандартного гауссовского закона распределения с параметрами a =0, σ=1. Для этого в электронной таблице нужно создать переменную, которая будет аргументом этой плотности. Поскольку стандартная гауссовская случайная величина с большой вероятностью лежит в интервале (−3, 3), создадим на этом интервале сетку с некоторым шагом, например 0,25. Для этого создадим считающую переменную A, принимающую целые значения от 1 до 25, и из нее получим новую переменную B по формуле B =−3 +0,25 ·( A −1). Значения функции плотности стандартного