tjurin_teorija_verojatn_978-5-94057-540-5_1

6.Функция f ( x), определенная как

0, если x < 0;

2.2. Вероятности в дискретных пространствах

Основные положения. В дискретных пространствах число элементарных исходов конечно или счетно и каждый элементарный исход ω, ω Ω, получает неотрицательную вероятность p(ω), p(ω) ¾0. Это число p(ω) количественно измеряет шансы на то, что случайный эксперимент закончится именно этим способом (исходом) ω. Мы не исключаем возможности того, что для некоторых ω вероятность p(ω) может оказаться равной нулю. Дело в том, что вычисление вероятностей может быть трудной задачей, и не всегда возможно решить заранее, окажется ли p(ω) для данного ω положительным числом или нулем.

Вероятности элементарных исходов p(ω), ω Ω, должны удовлетворять двум условиям:

Символ Pp(ω) означает сумму всех вероятностей p(ω) по всем элементарным исходам.

В дискретном пространстве каждое событие как подмножество конечного или счетного множества Ω тоже является конечным или счетным множеством элементарных исходов.

Определение 2.2.1. Вероятность P( A) любого события A в дискретном пространстве элементарных исходов есть сумма вероятностей всех элементарных исходов, которые составляют событие A.

Заметим, что следствием этого определения, в силу соотношения (2.2.2), является выполнение равенства

Покажем, как — пользуясь определением 2.2.1 — вычислить вероятность события. Пусть, для начала, A — конечное множество. В этом случае его элементы (элементарные исходы, составляющие A) можно перенумеровать. Запишем эти элементарные исходы как ω1, ω2, … …, ωN , где N — число элементов (точек), составляющих A. Теперь

A ={ω1 , …, ωN },

Мы прибегли к нумерации элементарных исходов только ради того, чтобы представить сумму их вероятностей в привычном виде. Заметим, что введенная для этой цели нумерация исходов была выбрана произвольно. Замечательно, что способ нумерации (порядок перечисления элементарных исходов) не отражается на результате, т. е. на P( A): изменение нумерации приводит лишь к изменению порядка слагаемых в (2.2.4). Поэтому без необходимости эту нумерацию вводить не следует, а участвующую в определении (2.2.4) сумму следует обозначать как-либо символически.XНапример, так:

ω A

жества A.

С дискретными пространствами элементарных исходов часто приходится иметь дело на практике, когда надо осуществлять случайный выбор одного или нескольких объектов из некоторой генеральной совокупности (популяции). Введем возникающие при этом понятия и поясним, как задаются вероятности тех или иных исходов в подобном случайном эксперименте.

Выбор из конечной совокупности элементов. (Продолжение, начало см. в п. 1.1 гл. 1.) Выбор из генеральной совокупности Ω называют случайным, если каждый элемент из Ω может оказаться выбранным с некоторой вероятностью p(ω).

Определение 2.2.2. Простым случайным выбором одного элемента ω из генеральной совокупности Ω называют такой выбор, при котором вероятности оказаться выбранными одинаковы у всех ω Ω.

Ясно, что если генеральная совокупность состоит из N элементов, то p(ω) = N1 для любого ω Ω.

Определение 2.2.3. Случайный выбор n элементов (где n — некоторое заданное число) называют простым, если каждое множество из n элементов генеральной совокупности имеет равную с другими такими множествами из n элементов вероятность быть выбранным.

Простой случайный выбор множества из n элементов можно осуществить последовательно, проводя по очереди простой случайный выбор одного элемента из оставшегося числа элементов в генеральной совокупности до получения n элементов.

Предположим, что часть элементов генеральной совокупности обладает некоторым определенным свойством (далее — свойством A), а другая часть — нет. Для промышленной продукции A может означать, что изделие удовлетворяет техническим требованиям; для маркетинговых исследований A может быть готовностью потребителя купить данный товар; в электоральных исследованиях A может быть готовностью избирателя поддержать данного кандидата и т. д. Пусть M — число таких элементов множества A. Их долю в генеральной со-

вокупности обозначим θ: θ = MN . Во многих случаях исследователей

интересует именно величина θ. Выборочный метод позволяет выяснить если не точное, то хотя бы приближенное значение θ.

Приближенное значение неизвестной величины, когда оно вычислено по наблюдениям, т. е. по результатам случайного опыта, в статистике называют оценкой или статистической оценкой. Обычно в качестве оценки θ берут долю элементов выборки, обладающих свойством A. Если число элементов выборки, обладающих свойством A, обозначить через X, то θb— оценка (приближенное значение) величи-

ны θ по выборке — есть θb= Xn , где n — число выбранных элементов,

или объем выборки.

Несложно найти вероятности событий { X = m}, где m — целое число, 0 ¶m ¶n, для простого случайного выбора n элементов из генеральной совокупности численностью N, среди которых имеется M = θ · N элементов со свойством A. Выбор подмножества численности n из N может быть осуществлен CNn способами. (Заметим, что порядок выбора элементов в этой задаче нам не существен.)

Напомним, что величина CNn (читается «це из N по n») называется числом сочетаний n элементов из N элементов или биномиальным коэффициентом. Для ее расчета удобно ввести понятие факториала произвольного натурального числа k, которое обозначают k! (чита-

ется «k факториал»). По определению k! равно произведению целых чисел от 1 до k:

k! = 1 ·2 ·3 ·… ·k.

Для удобства и единообразия математических записей также принято соглашение, что 0! =1. С помощью факториала величина CNn записывается так:

Итак, число различных выборок n элементов из множества N элементов равно CNn . Событию { X =m} благоприятствует выбор m элементов со свойством A и n −m элементов без этого свойства. Всего таких выборок CMm ·CNn−−mM . Так как при простом случайном выборе вероятности оказаться выбранными одинаковы для всех подмножеств равной численности, получаем соотношение

Рассмотрим простой практический пример, поясняющий сказанное. Социологи, политологи, маркетологи, психологи часто прибегают к работе с фокус-группами, т. е. небольшими группами респондентов, представляющих разные социальные, возрастные и прочие слои населения. Рассмотрим упрощенную задачу по формированию фокусгруппы. В качестве генеральной совокупности рассмотрим всех студентов курса численностью N =100 человек. Среди них выделим подмножество A — учащихся только на отлично. Пусть их число M =20, т. е. отличником является каждый пятый студент. Мы хотим сформировать фокус-группу из n =24 человек для обсуждения качества преподавания на курсе. Для получения объективного мнения прибегнем к процедуре случайного выбора, чтобы избежать односторонних мнений. Какова вероятность того, что в сформированной фокус-группе окажется половина (m =12) отличников (т. е. их доля будет заметно выше, чем в целом по курсу)? Согласно соотношению (2.2.6) имеем

Таким образом, вероятность случайным образом отобрать в фокусгруппу половину отличников невелика. Это событие почти невозможное. Заметим, что для расчета вероятности в этом примере приходится прибегать уже к тем или иным техническим средствам: научному калькулятору, включающему автоматическое вычисление CNn , или, скажем, программе EXCEL на компьютере.

46Глава 1. Основы теории вероятностей

2.Случайный эксперимент может закончиться одним из пяти возможных элементарных исходов ω1 , ω2 , ω3 , ω4 , ω5. Известно, что

p(ω1) =1/16, p(ω2) =1/8, p(ω3) =1/4, p(ω4) =1/2. Найдите p(ω5).

3.В случайном эксперименте с подбрасыванием правильной монеты четыре раза возможны 16 различных элементарных исходов. Какие вероятности, на ваш взгляд, разумно приписать этим исходам?

4.В случайном эксперименте с подбрасыванием правильной монеты три раза орел может выпасть при каждом броске, два раза, один или не выпасть совсем. Какие вероятности разумно приписать этим событиям?

5.Игральную кость бросают один раз. Вычислите вероятности событий: выпало четное число очков; выпало число очков, кратное трем; число выпавших очков простое; число выпавших очков превысило 3.

6.Игральную кость бросают два раза. Вычислите вероятности событий: выпало две шестерки; выпал дубль; на каждой кости выпало четное число очков; на первой кости выпало больше очков, чем на второй.

7.Случайный эксперимент состоит в простом случайном выборе одного числа из отрезка натурального ряда от 1 до 100. Вычислите вероятности событий: выбранное число четное; выбранное число кратно пяти.

8.В студенческой группе 20 студентов, из которых пятеро — юноши. Какова вероятность того, что при простом случайном выборе двух студентов из группы среди них окажутся: один юноша; хотя бы один юноша; хотя бы одна девушка.

9.В описанном выше примере случайного выбора в фокус-группу 24 студентов из 100 вычислите вероятность события отобрать в нее 5 отличников из 20. Является ли это событие почти достоверным?

10.Опытный стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Опишите пространство элементарных исходов этого эксперимента. Можно ли считать все исходы этого случайного эксперимента равновероятными?

2.3. Свойства вероятности

Определения вероятностей в непрерывном и дискретном случаях обеспечивают выполнение общих важных свойств, которыми обладают вероятности событий. Помимо уже отмеченных свойств

дополнительно примем соглашение, что

(вероятность пустого множества равна нулю).

Перечислим некоторые другие свойства вероятности при операциях с событиями:

Если события A и B не пересекаются (несовместны), формула (2.3.5) упрощается:

(Заметим, что благодаря предположению (2.3.3) формула (2.3.6) является частным случаем формулы (2.3.5).) Формулу (2.3.6) часто называют формулой сложения вероятностей.

Из формулы (2.3.6) следует, что для попарно несовместных (непересекающихся) событий A1 , A2 , …, AN выполняется равенство

Можно доказать, что формула (2.3.7) остается верной и для счетного множества слагаемых.

Современная теория вероятностей строится аксиоматически. Перечисленные выше свойства вероятности как числовой функции, заданной на подмножествах пространства элементарных исходов, она берет за основу. Одновременно она уточняет, каким подмножествам из Ω удается приписать вероятность. Вообще говоря, это возможно не для всех подмножеств, т. е. не все подмножества пространства Ω оказываются событиями. (В дискретных пространствах таких затруднений не возникает.) Аксиоматическое построение, предложенное великим русским математиком А. Н. Колмогоровым в тридцатые годы XX в., защищает теорию вероятностей от появления внутренних противоречий. Таких противоречий не всегда удавалось избежать, когда основы ее были не вполне ясны и частично интуитивны.

Упражнения

1. Вероятность события A в некотором случайном эксперименте равна 0,7, а вероятность события B в том же эксперименте равна 0,5. Являются ли события A и B несовместными?

48Глава 1. Основы теории вероятностей

2.Вероятность события A в некотором случайном эксперименте равна 0,4, а вероятность события B в том же эксперименте равна 0,5. Можно ли однозначно утверждать, что события A и B несовместны?

3.Игральную кость бросают два раза. Вычислите вероятности событий: выпал не дубль; хотя бы на одной кости выпало нечетное число очков.

4.Монету бросают 4 раза. Вычислите вероятность того, что при этом выпадет: не менее одного орла; не менее двух орлов.

5.Вероятность того, что один студент получит на экзамене отличную оценку, равна 0,3, вероятность того, что другой получит отличную оценку, — 0,6, а вероятность того, что они оба получат отличную оценку — 0,4. Какова вероятность того, что хотя бы один из них получит «отлично»?

2.4. Объективная (частотная) и субъективная (персональная) вероятности

С логической и математической точек зрения теория вероятностей не вызывает споров или разногласий. Разногласия, однако, существуют относительно области ее применений. Объективистская точка зрения состоит в том, что вероятность — это внутренне присущая событию характеристика, существующая объективно, вне связи с наблюдателем. В реальных случайных экспериментах вероятности событий проявляются в виде частот. О частоте осуществления данного события можно говорить, только если эксперимент можно многократно и независимо повторять в неизменных условиях. Поэтому частотная интерпретация вероятности успешно применяется при анализе массовых явлений: при исследовании массового производства однородных изделий и контроле их качества, в социологических обследованиях, при повторных измерениях в геодезии и астрономии и т. п. Сторонники частотной точки зрения не захотят говорить о вероятности вне этих условий. Они считают непродуктивным применение понятия вероятности к единичным событиям. Они откажутся обсуждать, например, вероятность того, что вакцина против СПИДа будет разработана в течение ближайших пяти лет или что Великобритания в скором будущем присоединится к общей Европейской валюте.

Для обсуждения подобных вопросов частотная вероятность действительно не подходит.

О связи частоты наступления события и его вероятности мы подробно поговорим далее, в гл. 4.

Тем не менее, человеческая речь допускает выражения, оценивающие вероятность перечисленных выше событий. При этом говорят

обычно о субъективной вероятности (точнее, о субъективной оценке возможности наступления того или иного уникального, неповторимого события). Подобные оценки у разных людей или групп людей могут довольно сильно отличаться. Тем не менее, субъективные оценки вероятностей не бесполезны, хотя и являются чаще всего весьма приблизительными и зависящими от личности оценивающего. Сами по себе подобные оценки могут быть использованы для проведения различных расчетов и принятия различных решений. В экономике к подобным оценкам прибегают при составлении инвестиционных планов, в страховании — при оценке политических рисков и т. п.

Упражнения

1.Можно ли с точки зрения частотного подхода говорить о вероятности: успешного выполнения первой подачи игрока в большой теннис; осуществления подачи «навылет»?

2.Можно ли с точки зрения частотного подхода к интерпретации вероятности говорить о вероятности: успешного запуска космического спутника; обнаружения новой планеты в нашей солнечной системе; обнаружения в текущем году неизвестных вирусов, порождающих массовые эпидемии со смертельными исходами?

3.В разработку принципиально нового продукта массового потребления были вложены значительные инвестиции. Попробуйте задать субъективные вероятности следующих событий: инвестиции полностью окупятся в течение 3 лет; инвестиции полностью окупятся

втечение 5 лет; инвестиции полностью окупятся в течение 10 лет; инвестиции полностью не окупятся вообще. Как должны быть согласованы между собой вероятности этих событий? Какая информация может помочь вам при задании субъективной вероятности в подобных задачах?

2.5.Зачем знать вероятности событий?

Всвоей практической деятельности люди стремятся делать обоснованные выводы, опираясь на имеющиеся данные, результаты наблюдений. В тех случаях, когда эти данные носят изменчивый, случайный характер, неизбежен вопрос: а что вообще могло бы быть на их месте? Отсюда мы приходим к идее генеральной совокупности, которую понимаем как совокупность всех мыслимых возможных результатов наших наблюдений или измерений. (В теории вероятностей для формализации идеи генеральной совокупности используется понятие пространства элементарных исходов Ω.) При этом на имеющи-

еся у нас данные мы смотрим как на результат случайного выбора из этой, нередко воображаемой, генеральной совокупности. Обычно мы полагаем, что этот случайный выбор произведен природой. Впрочем, во многих задачах эта генеральная совокупность вполне реальна и выбор из нее произведен активным наблюдателем.

Для краткости будем говорить, что все данные, которые мы собираемся изучить как единое целое, представляют собой одно наблюдение. Природа этого собирательного наблюдения может быть самой разнообразной. Это может быть одно число, последовательность чисел, последовательность символов, числовая таблица и т. д. Обозначим на время это собирательное наблюдение через x. Раз мы считаем x результатом случайного выбора, мы должны указать и ту генеральную совокупность, из которой x было выбрано. Это значит, что мы должны указать те значения, которые могли бы появиться вместо реального x. Обозначим эту совокупность через X. (В математической статистике множество X называют также выборочным пространством или пространством выборок.)

Мы предполагаем далее, что указанный выбор произошел в соответствии с неким распределением вероятностей на множестве X, согласно которому каждый элемент из X имеет определенные (не обязательно равные) шансы быть выбранным. Если X — конечное множество, то у каждого его элемента x есть положительная вероятность p( x) быть выбранным. Случайный выбор по такому вероятностному закону легко понимать буквально. Для более сложно устроенных бесконечных множеств X приходится определять вероятность не для отдельных его точек, а для подмножеств. Случайный выбор одной из бесконечного множества возможностей вообразить труднее, он похож на выбор точки x из отрезка или пространственной области X.

Соотношение между наблюдением x и выборочным пространством X, между элементами которого распределена вероятность, в точности такое же, как между элементарными исходами ω и пространством элементарных исходов Ω, с которыми мы имели дело выше. Благодаря этому теория вероятностей становится основой математической статистики — науки, позволяющей формулировать методы и алгоритмы выводов при анализе и обработке практических данных изменчивого характера.

При вероятностной точке зрения на происхождение наших данных (когда считается, что они получены путем случайного выбора) все дальнейшие суждения, основанные на этих данных, будут иметь вероятностный характер. Всякое утверждение будет верным лишь с некоторой вероятностью, а с некоторой (тоже положительной) веро-